1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 =( )（A）(ad 一 bc)2。（B）一 (ad 一 bc)2。（C） a2d2 一 b2c2。（D）一 a2d2+b2c2。2 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则( )（A）E 一 A 不可逆，E+A 不可逆。（B） EA 不可逆，E+A 可逆。（C） EA 可逆，E+A 可逆。（D）E A 可逆，E+A 不可逆。3 设 是 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E 一 T 不可逆。（B） E+T 不可逆。（
2、C） E+2T 不可逆。（D）E 一 2T 不可逆。4 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*是 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。若 a11，a 12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )（A） 。（B） 3。（C） 。（D） 。5 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵。若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )6 设 A=，其中 A 可逆，则 B-1 等于( )（A）A -1P1P2。（B） P1A-1P2。（C） P1P2A-1。（D）P 2A-1P1。7 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得 B，
3、再将 B 的第一列的一 1 倍加到第二列得 c，记 P= ，则( )（A）C=P -1AP。（B） C=PAP-1。（C） C=P-1AP。（D）C=PAP T。8 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得单位矩阵。记 P1= ，则 A=( )（A）P 1P2。（B） P1-1P2。（C） P2P1。（D）P 2P1-1。9 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP= 。若 P=(1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q-1AQ=( )10 齐次线性方程组 ，的系数矩阵记为 A。若存在三阶矩阵BO 使得 AB=O
4、，则( )（A）=一 2 且B=0 。（B） =一 2 且B 0。（C） =1 且B =0。（D）=1 且B0 。11 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为( )（A）1。（B） 。（C） -1。（D） 。二、填空题12 设随机变量 Xij(i，j=1，2，n；n2)独立同分布，E(X ij)=2，则行列式 Y=的数学期望 E(Y)=_。13 行列式 =_。14 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则行列式B -1 一E=_。15 设矩阵 A= ， E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则B =_。16 设三阶矩阵 A 的特征值为
5、1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则4A -1 一E=_。17 设 A，B 为三阶矩阵，且A=3，B=2，A -1+B=2，则A+B -1=_。18 设 A 为三阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第一行与第二行得到矩阵 B，则BA *=_。19 设 A=(aij)是三阶非零矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式。若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 A=_。20 设三阶矩阵 A 的特征值为 2，一 2，1，B=A 2 一 A+E，其中 E 为三阶单位矩阵，则行列式B=_。21 设 A= ，而 n2 为整数，则 An 一 2An-1=_。22
6、 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E 一T，B=E+ T，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_。23 设矩阵 A= ，且秩(A)=3，则 k=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 A= ，E 为单位矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，则 B=_。25 设矩阵 A= ，且 A3=O。()求 a 的值；()若矩阵 X 满足 XXA2一 AX+AXA2=E，其中 E 为三阶单位矩阵，求 X。考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
7、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式的展开定理展开第一列。=一 ad(ad 一 bc)+bc(adbc)=一(ad 一 bc)2。故选 B。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 (EA)(E+A+A 2)=E 一 A3=E， (E+A)(EA+A 2)=E+A3=E。 故 EA，E+A 均可逆。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由 是 n 维单位列向量可知 ( T)=(T)=，且 1r(T)r()=1，即 1 是矩阵 T 的特征值，且 r(T)=1，所以 T 的特征值为 0(n 一 1 重)和1。 矩阵 E 一 T 的特征
8、值为 1(n 一 1 重)和 0，则 E 一 T 不可逆。E+ T 的特征值为 1(n 一 1 重)和 2，E+2 T 的特征值为 1(n 一 1 重)和 3，E 一 2T 的特征值为1(n 一 1 重) 和一 1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。不可逆的只有 A 选项。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由 A*=AT 及 AA*=A*A=AE ，有 aij=Aij，i ，j=1 ，2，3，其中Aij，为 aij 的代数余子式，且 AA T=AEA 2=A 3A =0或A=1。 而A=a 11A11+a12A12+a13A13=3a1120，于是A =1 ，且 a1
9、1= 。 故正确选项为 A。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 根据 CC*=CE，则 C*=CC -1，C -1= C*。分块矩阵=(一 1)22A B =23=60，即分块矩阵可逆，故答案为 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 由所给矩阵 A，B 观察，将 A 的二，三列互换，再将 A 的一，四列互换，可得 B。根据初等矩阵变换的性质，知将 A 的二、三列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以 E23，将 A 的一、四列互换相当于在矩阵 A 的右侧乘以 E14，即AE23E14=B，其中 E23= ，由题设条件知P1=E1，P 2=E23，因此 B=AP
10、2P1。由于对初等矩阵 Eij 有，E ij-1=Eij，故 P1-1=P1，P 2-1=P2。 因此，由 B=AP2P1 及逆矩阵的运算规律，有 B -1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 而P-1= ，则有 C=PAP-1。故应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件可知，矩阵 P1，P 2 正是和题中所给的初等变换对应的初等矩阵，根据初等矩阵的性质，有 B=AP1 和 E=P2B，从而 E=P2AP1，即 A=P2-1P1-1=P2P1-1，因此选 D。 另一方面，由于对矩
11、阵 A 作一次初等行 (列)变换，相当于用对应的初等矩阵左(右) 乘矩阵 A，所以根据题意可知选项 A，B 是错误的，而 P1-1P1，所以选项 C 也是错误的。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 由 P-1AP= 可知矩阵 A 可相似对角，且可逆矩阵 P 的列向量 1， 2， 3 与对角矩阵 的特征值 1，1，2 一一对应。由此可知，=1是矩阵 A 的二重特征值，且 =1 对应的特征向量为 1， 2，则 1+2 还是属于 =1的特征向量。从而 Q-1AQ= ，故选 B。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB=O 知， r(A)+r(B)3，又
12、AO，BO，于是 1r(A)3，1r(B) 3，故A=0，B=0，即A =(1 一 )2=0，得 =1。应选C。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 其中(1)变换：将 1 行乘以(一 1)再分别加到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第 1 列。 由阶梯形矩阵知，当 1+(n 一 1)a=0，即 a= 时，有 r(A)=n 一 1，故应选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 由行列式的定义知，行列式是由 n 个元素 Xij 的乘积组成的 n!项和式，每一项都是 n 个元素的乘积 ，这 n 个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部
13、n!项中每项都带有正号或负号。 由于随机变量Xij(i，j=1，2 ，n ；n2)独立，所以有 所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和。即有 而Xij(i，j=1，2 ，n ；n2)同分布，且 EXij=2。所以，(行列式的性质：若行列式两行(列) 成比例，则行列式为 0)。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 4+3+22+3+4【试题解析】 令 D4= ，将行列式按第一列展开可得D4=D3+4，所以 D4=(2D2+3)+4=2(D1+2)+3+4 =4+3+22+3+4。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 24【试题解析】 ABA，B 有相同的特征值 。由矩阵
14、 B-1 是矩阵 B 的逆矩阵，它们所有特征值具有倒数的关系，得 B-1 有特征值 2，3，4，5，由 B-1 的特征矩阵为E 一 B-1， B-1 一 E 的特征矩阵为E 一(B -1 一 E)=(+1)EB-1，可以看出 B 与 B-1 一 E 的特征值相差 1，所以 B-1 一 E 有特征值1，2，3，4。由矩阵的行列式等于其特征值的乘积，知 B -1 一E= i=1234=24。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，有 B(AE)=2E，于是有BA-E =4 ，而AE=2，所以B =2。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3【试题解析】 A 的特征值为
15、 1，2，2，所以 A-1 的特征值为 1， ，所以 4A-1一 E 的特征值为 41 1=3，4 1=1，故4A -1 一E=311=3。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 3【试题解析】 A+B -1=B -1(BA+E)=B -1(BA+A-1A) =B -1(B+A-1)A =B -1(B+A -1)A = (B+A-1)A = 23=3。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 27【试题解析】 由题意可知 BA *=BA *， 其中B= 一A = 一3，A *=A 3-1=9，则BA *=一 27。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 一 1【试题解析】 由于以 ai
16、j+Aij=0，结合伴随矩阵的定义可以得到 A*=一 AT。两边同时求行列式可得A *=A T，也即A 2=一A ，从而可以得到A =0或A=一 1。 若A=0，则 AA*=AE=O，即 AAT=O。再结合 r(AAT)=r(A)，会得到 A=O，产生矛盾。从而A=一 1。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 21【试题解析】 假设 A 的特征值为 A，则 B=A2 一 A+E 有特征值 2 一 +1。由题设可知矩阵 A 的特征值为 2，一 2，1。所以矩阵 B 的特征值为 3，7，1。则B =3 71=21。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 O【试题解析】 A= ，根据矩阵的乘法
17、，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有故有 A n 一 2An-1=An-2(A2 一 2A)=O。 或由 A2=2A，式子左右两端同右乘 An-2，得 A2A n-2=2A An-2，即 An=2An-1，得 A n 一 2An-1=O。 或由 A2=2A，式子左右两端同右乘A，得 A2A=A 3=(2A)A=2A2=2(2A)=22A，式子左右两端再同乘 A，得A3A=A 4=A2(2A)=2A3=22 2A=23A，依此类推，得 A n-1=2n-2A，A n=2n-1A，所以 A n 一 2An-1=2n-1A 一 22n-2A=2n-1A 一 2n-1A=O。【知识模块
18、】 线性代数22 【正确答案】 一 1【试题解析】 由题设，有 AB=(E 一 T)(E+ T) =E 一T+ T T =E 一 T+ (T)T =E 一 T+ T 一2aT =E+(一 12a+ )T=E，于是有一 12a+ =0，即 2a2+a 一 1=0，解得 a=，a=一 1。由于 a0，故 a=一 1。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 一 3【试题解析】 由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换)。不改变矩阵的秩，故对 A 进行初等变换可见只有当 k=一 3 时，r(A)=3。故 k=一 3。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24
19、【正确答案】 【试题解析】 由题设 A *BA=2BA 一 8E，由于A= 一 20，所以 A 可逆。上式两边左乘 A，右乘 A-1，得 AA *BAA-1=2ABAA-1 一 8AA-1 A B=2AB 一 8E(N用公式：AA *=AE，AA -1=E)， AB 一 2AB=一 8E(移项)， (AE 一2A)B=一 8E(矩阵乘法的运算法则)，将A=一 2 代入上式，整理得 (E+A)B=E。 由矩阵可逆的定义，知 E+A，B 均可逆，且【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 () 由题设可知 A 的特征根必满足 3=0，也即 A 的特征值为 0，则 tr(A)=3a=0，故 a=0。 ()由题设可知 X(EA2)一 AX(EA2)=E，则(X AX)(E一 A2)=E，从而 X=(E 一 A)-1(EA2)-1=E(EA2)(EA-1 =(EAA2+A3)-1=(EAA2)-1，易得 EAA2= ，则通过初等变换可得X= 。【知识模块】 线性代数
