1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )2 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P 1 AP（B） C=PAP1 （C） C=PTAP（D）C=PAP T3 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则( )
2、（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆4 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若|A|=2 ，|B|=3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )5 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ 为( )6 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，则 A=( )（A）P 1P2（B） P11
3、 P2（C） P2P1（D）P 2P11 7 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P1 AP= 若 P=(1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q1 AQ=( )8 设 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）E T 不可逆（B） E+T 不可逆（C） E+2T 不可逆（D）E 2 T 不可逆9 设 A，B 为 n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X 的秩，(XY)表示分块矩阵，则( )（A）r(A AB)=r(A)（B） r(A BA)=r(A)（C） r(A B)=maxr(A)，r(B)（D）r(A B)r(A T BT)10 设 n 阶方阵
4、A 的秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量都线性无关（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组（D）任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出11 设 A 为 n 阶方阵且|A|=0，则( )（A）A 中必有两行(列) 的元素对应成比例（B） A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（C） A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（D）A 中至少有一行(列)的元素全为 012 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是( )（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2，
5、 s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向量线性无关13 设有任意两个 n 维向量组 1， m 和 1， ， m，若存在两组不全为零的数1， m 和 k1，k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1k 1)1+( mk m)m=0，则( )（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1+1， m+m， 1 1， m m 线性无关（D） 1+1， ， m+m， 1 1， m m 线性相关二、填空题14 设矩阵 A= ，E 为 2 阶单位矩阵，
6、矩阵 B 满足 BA=B+2E，则|B|=_15 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_16 设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2 ，|A 1 +B|=2，则|A+B 1 |=_17 设 A 为 3 阶矩阵，|A|=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则|BA *|=_18 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， |A|为 A 的行列式， Aij 为 aij 的代数余子式若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 |A|=_19 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的向量组若A1=1+2，A 2=2+3，A 3=1+3，则
7、|A|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设矩阵 A= ，且 A3=0()求 a 的值；()若矩阵 X 满足XXA 2AX+AXA 2=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X21 假设 D 是矩阵 A 的 r 阶子式，且 D0，但含 D 的一切 r+1 阶子式都等于 0那么矩阵 A 的一切 r+1 阶子式都等于 022 已知向量组 1， 2， s(s2)线性无关设1=1+2， 2=2+3， s1 =s1 +s， s=s+1试讨论向量组 1， 2， s的线性相关性23 设 1=(1， 1，1) ， 2=(1，2，3) ， 3=(1，3，t) (1)问当 t 为何值时，向
8、量组1， 2， 3 线性无关? (2) 问当 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关? (3)当向量组 1， 2， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合24 试证明 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是行列式其中 iT 表示列向量 i 的转置，i=1，2 ， n25 已知向量组 () ： 1， 2， 3； () 1， 2， 3， 4； () ： 1， 2， 3， 5如果各向量组的秩分别为 R()=R()=3 ，R()=4 证明：向量组()：1， 2， 3， 5 4 的秩为 4考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题
9、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件 A*=AT，即 其中 Aij 为|A|中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，3)，得 aij=Aij(i，j=1，2，3) ，故有|A|= a1jA1j= a1j2= a112=3a1120 再从 AT=A*两端取行列式，得|A|=|AT|=|A*|=|A|2，即|A|(1|A|)=0 由此得|A|=1所以，有 a112=13|A|=13，本题主要考查伴随矩阵的概念及行列式按行(列)展开法则条件 AT=A*与条件 aij=Aij(对所有的 i，j)是等价的本题还用到伴随矩阵的一个结果：对任何n(n
10、2)阶方阵 A，成立|A *|=|A|1 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于所以，C=PAQ=PAP 1 ，只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于(EA)(E+A+A 2)=EA 3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：EA 和 E+A 均是可逆的 本题主要考查逆矩阵的定义，其中的方阵多项式分解因式
11、可以类比通常多项式的公式：1x 3=(1x)(1+x+x 2)，1+x3=(1+x)(1x+x 2)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 1 记矩阵 C= ，则 C 的行列式 |C|=(1) 4 =|A|B|=60，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC*=|C|E，得 C*=|C|C1故只有选项 B 正确2 记矩阵 并记|C|的(i ，j)元素的代数余子式为 Aij(i，j=1 ，2，3，4)，则计算可得：A11=0， A21=0，A 31=|A|h，A 41=|A|f ，A 12=0，A 22=0，A 32=|A|g，A 42=|A|e，A 13=|B|d， A23=|B|b
12、，A 33=0，A 43=0，A 14=|B|c，A 24=|B|a，A 34=0，A 44=0于是由伴随矩阵的定义(C *的(i ，j) 元为 Aji)，得因此选 B【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 Q=1+2， 2， 3 所以QTAQ 故只有选项 A 正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1=I，两端左乘 P21 ，两端右乘 P11 ，得A=P21 P11 ，因 P21 =P2，而 P11 P1，故只有 D 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 1 Q( 1+a2， 2， 3)=(1， 2， 3)
13、 =PM 其中，矩阵于是，Q 1 AQ=(PM)1 A(PM)=M1 (P1 AP)M 因此选 B2 已知 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) (A1，A 2，A 3)=(1， 2，2 3)A1=1，A 2=2，A 3=23 A(1+2)=A1+A2=1+2 AQ=A(1+2， 2， 3)=(A(1+1)，A 2，A 3)=(1+2， 2，2 3)=(1+2， 2， 3) 两端左乘 Q1 ，得 Q1 AQ= ，故选 B3 由已知 A 相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知 1， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2 1+20(否则 1， 2 线性相关
14、，与 1， 2， 3 线性无关矛盾)，且A(1+2)=A1+2=1+2，因此 1+2 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量从而知 1+2， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出( 1+2， 2， 3)1 A(1+2， 2， 3)=diag(1，1，2)，即 Q1 AQ=diag(1，1，2)因此选 B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 1 如果取 2 维单位向量 = ，则题中 4 个选项中的矩阵依次为其中只有选项 A 中的矩阵是不可逆的，其余均可逆，故选 A2 对于任意的 n 维单位列向量 ，可以证明选
15、项 A 中的矩阵的行列式必等于零，为简明起见，以 n=3 为例来证明(一般情形的证明类似)设 =(1， 2， 3)T 是任意的 3 维单位列向量，则 a12+a22+a32=1，选项 A 中的矩阵的行列式为(不妨设 a10)det(E T) 分别将第2 行的 a2 倍、第 3 行的 a3 倍加到第 1 行上去，并利用 a12+a22+a32=1，得行列式的第 1 行为零行，故该行列式等于零，从而知选项 A 中的矩阵是不可逆的，故选A3 对于单位列向量 ，有 T=1，由于(E T)=( T)=0，故齐次线性方程组(E T)x=0 存在非零解 ，因此矩阵 E T 不可逆，故选 A4 对于单位列向量
16、 ，有 T=1，于是有(E+ T)(E (T)T=E， (E+T)1 =E T；(E+2 T)(E (T)T=E， (E+2T)1 =E T；(E2 T)(E2 T)=E2 T2 T+4(T)T=E， (E2 T)1 =E2 T【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 1 由于矩阵 AB 的列向量可以由矩阵 A 的列向量组线性表出，所以A 的列向量组的最大线性无关组是矩阵(A AB)的列向量组的最大线性无关组，而矩阵的秩也等于它的最大线性无关列向量组所含向量的个数，因此有 r(A AB)=r(A)，故选项 A 是正确的2 如果取 2 阶矩阵 则 r(A BA)=2，r(A)=1，
17、故选项 B 不对；如果取 2 阶矩阵 则 r(A B)=2， maxr(A)，r(B)=1，故选项 C 不对；如果取 2 阶矩阵则 r(A B)=1，r(A T BT)=2，故选项 D 不对；于是只有选项 A是正确的【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 因为， 1， 2， s 线性相关 该向量组中至少存在一个向量，它可以由该组中其余 s1 个向量线性表示而“存在一个向量 ”的反面是“任意一个向量都不”，故有： 1， 2， s 线性无关 该组中任意一个向量都不能由其余 s1 个向量线性表示
18、，即知 C 正确注意备选项 A、B 及 D 都是向量组1， 2， s 线性无关的必要条件而非充分条件例如，向量组 1=(1，1)，2=(2，2)中不含零向量，但却线性相关，故 A 不对；向量组 1=(1，2，3)，2=(4，5，6)， 3=(3，3，3)中任意两个向量的分量不成比例，而且有一部分向量1 与 2 线性无关，但 1， 2， 3 线性相关，这说明 B、D 都不对【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 由题设等式，得 1(1+1)+ m(m+m)+k1(1 1)+km(m m)=0且 1， m，k 1， km 不全为零，故向量组1+1， ， m+m， 1 1， m m
19、 线性相关【知识模块】 线性代数二、填空题14 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BAB=2E B(AE)=2E 两端取行列式，得|B|AE|=|2E|因|AE|= =2，|2E|=2 2|E|=4 所以有 2|B|=4，从而得|B|=2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3【试题解析】 由于 A+B1 =(AB+E)B1 =A(B+A1 )B1 =A(A1 +B)B1 ，两端取行列式，并利用|ABC|=|A|B
20、|C|及|B 1 |=|B|1 ，得|A+B 1 |=|A|A 1 +B|B 1 |=32=3【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 27【试题解析】 1 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知|B|=3再利用|A *|=|A|1 =|A|2=9，得|BA *|=|B|A*|=27 2 记交换 3 阶单位矩阵的第 1 行与第2 行所得初等矩阵为 E12，则 B=E12A，由于 AA*=|A|E=3E，得BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意|E 12|=1，所以|BA *|=|3E12|=33|E|12=27【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1【试题解析】 由 A
21、O，不妨设 a110，由已知的 Aij=a ij(i，j=1，2，3) ，得及 A=(A *)T，其中 A*为 A 的伴随矩阵以下有两种方法：方法 1：用 AT 右乘 A=(A *)T 的两端，得 AAT=(A *)AT=(AA *)T=(|A|I) T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A| 2=(1)3|A|3，或|A| 2(1+|A|)=0，因|A|0，所以|A|=1方法 2：从 A=(A *)T 两端取行列式，并利用|A *|=|A|2，得|A|=(1) 3|A*|=|A| 2，或|A|(1+|A|)=0，因|A|0，所以|A|=1【知识模块】 线性代数19 【正确答
22、案】 2【试题解析】 将题给的关系式写成矩阵形式：A 1 2 3=1 2 3 记矩阵 P=1 2 3，则因 1， 2， 3 线性无关，知矩阵 P 可逆，从而有 P1 AP两端取行列式，得|A|=|B|=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 () 由 A3=O 两端取行列式，得|A| 3=0，从而得|A|=0，而|A|=a 3，所以 a=0()1 由已知的 XXA 2AX+AXA 2=E，得 X(EA 2)AX(E A 2)=E即(EA)X(E A 2)=E 由()知 由于EA， EA 2 均可逆，所以 X=(EA) 1 (EA 2) 12
23、 同 1 一样可得(EA)X(E A 2)=E 所以X=(E A)1 (EA 2)1 =EA 2)(EA) 1 =EAA 2+A31 =EAA 21 由()知 EA A 2 所以X=(E AA 2)1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 在题设条件下可以证明 A 的秩为 r，故 A 中一切 r+1 阶子式都为0证明 A 的秩为 r 的方法不是唯一的，下面利用“ 初等变换不改变矩阵的秩”来证明 A 的秩为 r设 A=(aij)mn 满足题设条件，不失一般性，设 rmn，并设 A 的非零的 r 阶子式 D 位于 A 的左上角，即 由题设，A 的左上角的 r+1 阶子式(它含 D) 故 Dr+1
24、 的行向量组线性相关，而 Dr+1 的前 r 行线性无关，所以 Dr+1 的第 r+1 行可由前 r 行线性表示因此，通过把 A 的前 r 行的适当倍数加到 A 的第 r+1 行，就可把 A 化成由行列式的性质知上面化成矩阵的前 r+1行中的一切 r+1 阶子式都是 A 的相应子式因此前 r+1 行中含 D 的子式都为 0，于是有 ar+1，r+1 =ar+1，n =0，即经上述初等变换已将 A 的第 r+1 行化成了零行同理可通过初等行变换将 A 的第 r+2，第 m 行都化成零行，即经若干次初等行变换可将 A 化成 由于 D0，故 B 中非零子式的最高阶数为 r，即 B 的秩为 r，故 A
25、 的秩为 r【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 假设有一组数 x1，x 2，x s，使得 x11+x22+xss=0 将题设的线性表示式代入上式并整理，得(x s+x1)1+(x1+x2)2+(xs1 +xs)s=0 由于1， 2， s 线性无关，故有 此方程组的系数行列式为 s 阶行列式：因此有(1)若 s 为奇数，则 D=20，故方程组(*)只有零解，即 x1，x 2，x s 必全为 0这时，1， 2， s 线性无关； (2)若 s 为偶数，则 D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为 0 的一组数 x1，x 2，x s，使 x11+x22+xss=0这时，向量组1， 2， s
26、线性相关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1 由于行列式 所以，当t5 时，D0，此时向量组 1， 2， 3 线性无关；当 t=5 时，D=0，此时向量组1， 2， 3 线性相关当 t=5 时，对矩阵 1T 2T 3T作初等行变换： 1T 2T 3T由此即知 3= 1+222 对矩阵 A=1T 2T 3T作初等行变换： 由此可知，当 t5时，r(A)=3，此时向量组 1， 2， 3 线性无关；当 t=5 时，r(A)=2，此时向量组1， 2， 3 线性相关，此时，有 于是得 3= 1+22【试题解析】 本题主要考查向量组的线性相关性与向量组所构成矩阵的秩的关系，以及如何求解线性表示的问
27、题注意，向量 由向量组 1， n 线性表示的问题，等价于一个非齐次线性方程组的问题，这个方程组的增广矩阵为【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 记 n 阶矩阵 A1 2 n，则 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是|A|0另一方面，由有|ATA|=|AT|A|=|A|2=D从而，|A|0 与 D0 等价由此可见， 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 D0【试题解析】 本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念注意，矩阵乘法的本质是“左行乘右列”，由此可知矩阵( iTj)nn 的第 i 行 iT1 iT2 iTn可以写成 iT1 2 n，因此可将矩阵( iTi)nn 写成 AT
28、A 的形式，从而建立起行列式 D 与|A|的关系，这是本题证明之关键【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 1 因 R()=R()=3 ，所以 1， 2， 3 线性无关，而1， 2， 3， 4 线性相关，故存在数 1， 2， 3，使得 4=11+22+33 (*)设有数k1，k 2，k 3，k 4，使得 k11+k22+k33+k4(5 4)=0 将(*)式代入上式并化简，得(k1 1k4)1+(k2 2k4)2+(k3 3k4)3+k45=0，由 R()=4 知 1， 2， 3， 5 线性无关，所以 得 k1=k2=k3=k4=0，故 1， 2， 3， 5 4 线性无关，即其秩为 42 同证 1 可知存在数 1， 2， 3，使得 4=11+22+33 所以有5 4= 11 22 33+5 即 5 4 可由向量组()线性表示，于是知( )可由()线性表示又 5=4+(5 4)=11+22+33+(5 4)即 5 可由向量组()线性表示，于是知() 可由() 线性表示因此，向量组()与向量组( )等价， R()=R()=4 【试题解析】 本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系注意 1 是利用定义证明向量组()线性无关，其中利用了“若 1， r线性无关，而 1， r， 线性相关，则 可由 1， r 线性表示”的结论【知识模块】 线性代数
