1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 都是 nn 矩阵，则必有 【 】（A）A+B =A+B（B） AB=BA（C） AB=BA（D）(A+B) -1=A-1+B-12 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r，则 【 】 （A）r 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定3 设 n 阶矩阵 A 非奇异(行2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则 【 】（A）(A *)*=An-1A（B） (An)n=An+1
2、A（C） (An)n=An-2A（D）(A n)n=An+2A4 设 A、B 为同阶可逆矩阵，则 【 】（A）AB=BA （B）存在可逆矩阵 P，使 p-1AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B5 设 n(n3)阶矩阵 的秩为，n 一 1，则 a 必为 【 】 6 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P17 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有【 】（A）当A=a(a0)时，B =a（B）当 A=a(a0)时， B=一 a（C）当 A0 时，B=0 （
3、D）当A=0 时，B=08 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11，为 【 】 9 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 ，则【 】（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=PAP T10 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A_=0，则【 】（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E
4、+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆11 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A =2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为【 】 12 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 若P=(a1，a 2，a 3)，Q=(a 1+a2，a 2，a 3)，则 QTAQ 为【 】 13 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 ，则 A=【 】（A）P 1P2（B） P-11P2（C） P2P1（D）P 2P-1114 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，
5、且 若P=(a1，a 2，a 3)，Q= (a 1+a2，a 2，a 3)，则 Q-1AQ=【 】 二、填空题15 设矩阵 ，则 A-1=_16 若 A 和 B 都是 n 阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于 n( )17 设 A 和 B 为可逆矩阵， 为分块矩阵，则 X-1_18 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且A =a， B=b， ，则C=_19 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_20 设 其中 ai0，i=1，2，n，则 A-1=_21 设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=_22 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2B48E，其中
6、 ，E 为单位矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，则 B=_23 设 ，而 n2 为正整数，则 A*一 2An-1=_24 设矩阵 且秩(A)=3，则 k_25 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E 一aaT，B=E+ ，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= _26 设矩阵 ，则 A3 的秩为_ 27 设 A，B 为 3 阶矩阵，且A =3， B=2， A_-1+B=2，则A+B -1=_28 设 A 为 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_29 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵
7、， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 ，求矩阵 B31 设 A 是 3 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，A 的行列式 ，求行列式(3A)-1 一 2A*的值32 已知 X=AX+B，其中 求矩阵 X33 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0，试证明矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)34 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵
8、 其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，I 为 n阶单位矩阵 (1)计算并化简 PQ； (2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 aTA-1ab35 设矩阵 ，且 A3=O ( )求 a 的值； ()若矩阵 X 满足 X 一 XA2 一 AX+AXA2=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于AB=AB =BA，及BA=BA即知AB=BA 总成立，故(C)正确注意其它备选项都未必成立【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为，
9、用可逆矩阵 c 右乘矩阵 A 相当于对 A 施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有 r(AC)=r(A)本题主要考查“初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质注意，用矩阵乘法表示等价矩阵的形式：A 与 B 行等价 存在可逆矩阵 P，使得PA=B； A 与 B 列等价存在可逆矩阵 Q，使得 AQ=B；A 与 B 等价 存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ=B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A*=AA-1，得(A *)*=A(A*)-1，又A *=An-1，故(A *)*=An-1(AAn-1)-1= 故(C)正确本题综合考查 A*与
10、A-1 的关系、A*的行列式、逆矩阵的运算等知识本题亦可由(A *)-1=，从而得(A *)*=An-1A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为，方阵 A 可逆 A 与同阶单位阵 E 行等价，即存在可逆矩阵 P，使 PA=E同理，由于 B 可逆，存在可逆矩阵 M，使 MB=E故有PA=MB，=PAM -1=B，记 M-1=Q，则 P、Q 可逆，使 PAQ=B于是知(D) 正确本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系注意，A、B 为同阶可逆矩阵，则 A、B 都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知(D) 正确但 A、B 却未必相似，故(B
11、)不对；也未必合同，故(C)不对这里应特别注意，A 和 B 有相同的秩，这只是 A 与 B 相似的必要条件而非充分条件，也只是 A 与 B 合同的必要条件而非充分条件至于备选项 (A)，可举反例如下： 和 B= 都可逆，但【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 r(A)=n1n，故必有A =0，而 因此，或者，或者 a=1显然，当 a=1 时，有 r(A)=1n1，所以，有时，A 的左上角的 n 一 1 阶子式等于，可知此时确有 r(A)=n 一 1)，故(B) 正确本题主要考查矩阵的秩的概念及简单 n 阶行列式的计算注意，作本题时，完全可以以 3 阶矩阵来推算【知识模块
12、】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 是经 A 的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有 B=AP2P1，故 B-1=P-11p2-1A-1，而 P-11=P1，P -12=P2，故有 B-1=P1P2A-1 本题主要考查矩阵的初等列变换与初等方阵的关系、方阵乘积取逆矩阵及初等方阵的逆矩阵等运算注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以本题 4 个备选项中的矩阵乘积一般是不同的【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 等价是指 A 可经若干次初等变换化成 B如果对 A 分别施行一次第 1、2、3 种初等变换得到方阵 B，则由行列式的性质知，依
13、次有B =一A，B =kA(常数 k0)，B =A可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变因此，只有(D)正确本题主要考查等价矩阵的概念及行列式的性质【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件 A*=AT，即 其中 Aij 为A中元素 aij 的代数余子式 (i，j=1，2，3)，得 aij=Aij(i，j=1，2，3)，故有 再从 AT=A*两端取行列式，得 A=AT=A*=A2，即A (1 一A )=0 由此得A =1所以，有 本题主要考查伴随矩阵的概念及行列式按行(列)展开法则注意，条件 AT=A*与条件
14、 aij=Aij(对所有的 i，j)是等价的本题还用到伴随矩阵的一个结果：对任何 n(n2)阶方阵 A，成立A *=An-1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于 所以，C=PAQ=PAP -1，只有选项(B)正确本题主要考查矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系必须注意，对矩阵 M 作一次初等行变换，相当于用一个相应的初等矩阵左乘 M，而对 M 作一次初等列变换，则相当于
15、用一个相应的初等矩阵右乘 M，左乘与右乘是不同的，不可混淆另外，由于逆矩阵对应于逆变换，所以，本题求 P-1，只需将 E 的第 2 行的一 1 倍加到第 1 行，即得P-1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 由于(EA)(E+A+A 2)=E 一 A3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：EA 和 E+A 均是可逆的 本题主要考查逆矩阵的定义，其中的方阵多项式分解因式可以类比通常多项式的公式：1 一 x3=(1 一 x)(1+x+x2)，1+x3=(1+x)(1 一 x+x2)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 解 1
16、 记矩阵 ，则 C 的行列式，因此 C 为可逆矩阵，由公式CC*=CE，得故只有选项(B) 正确 解 2 记矩阵，并记C的(i ，j) 元素的代数余子式为 Aij(i，j=1， 2，3，4)，则计算可得： A11=0， A21=0，A 31=Ah，A 41=一A f， A 12=0，A 22=0，A 32=一Ag，A 42=Ae， A13=Bd，A 23=一Bb ，A 33=0，A 43=0， A 14=一 Bc，A 24=Ba，A 34=0，A 44=0于是由伴随矩阵的定义(C *的(i，j) 元为 Aij)，得 其中因此选(B)本题综合考查伴随矩阵的基本概念和分块矩阵的基本运算从解 2 可
17、见，本题如果没有 A、B 都可逆的条件，则结论(B)仍然正确，可见解 2 的方法适用更广些但当 A、B 都可逆时，解 1 的方法更实用更简单本题也可构造适合题意的简单矩阵 A、B ，然后运用排除法，读者可以一试【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 由于 Q=a1+a2，a 2，a 3=a1，a 2，a 3 所以故只有选项(A)正确本题主要考查矩阵的基本运算；其中，建立矩阵 Q 与 P 的关系是关键，读者应该熟练掌握这种表示方法本题运算中，若注意到其中的初等矩阵并应用初等矩阵左(右)乘矩阵与矩阵初等变换的关系，还可简化运算【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析
18、】 由题设条件有 P2AP1=I，两端左乘 P-12，两端右乘 p-11，得 A=P-12P-11，因 P-12=P2，而 -11P1，故只有(D) 正确 本题主要考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的逆矩阵，类似题目已考过多次，属于很基本的教学要求内容，应熟练掌握【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 其中，矩阵，易求出 于是，Q -1AQ=(PM)-1A(PM)=M-1(P-1AP)M 因此选(B) 解 2 已知 A(a1，a 2，a 3)=(a1，a 2，a 3) (Aa1，Aa 2，Aa 3)=(a1，a 2，2a 3)Aa1=a1，Aa 2=a2，A
19、a 3=2a3=A(a1+a2)=Aa1+Aa2=a1+a2=AQ=A(a1+a2，a 2，a 3)=(A(a1+a2)，Aa 2，Aa 3)=(a1+a2，a 2，2a 3)=(a1+a2，a 2，a 3)两端左乘 Q-1，得 Q-1，故选(B) 解 3 由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1，1，2)，知 a1，a 2，a 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2a 1+a20(否则 a1，a 2 线性相关，与 a1，a 2，a 3 线性无关矛盾) ，且A(a1+a2)一 Aa1+Aa2=a1+a2，因此 a1+a2 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量 从
20、而知 a1+a2，a 2，a 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 (a 1+a2，a 2，a 3)-1A(a1+a2，a 2，a 3)=diag(1，1，2)，即 Q-1AQ=diag(1，1，2)因此选(B)本题主要考查矩阵乘法、特则是矩阵乘法的按列表示的应用解 1 中矩阵 M 是一个第 3 类初等矩阵，求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式 本题中，矩阵 Q 的可逆性可以根据 Q 的 3 个列向量线性无关而知道，也可以由 Q=(a1，a 1， a 1) 是两个可逆矩阵的乘积而知 Q 可逆【知识模块】 线性代数二、填空题15
21、【正确答案】 【试题解析】 解 1 利用初等行变换法： 故 A-1=A解 2 利用分块求逆法：记矩阵 ，则 B-1=B，于是有 解 3 可以看出矩阵 A 满足 A2=E，故由逆矩阵的定义即知 A-1=A 本题考查求逆矩阵的运算注意公式 主要用于低阶可逆矩阵求逆阵以及用于理论问题例如对于 2 阶可逆方阵由上述逆矩阵公式易得 初等变换法是求逆矩阵的一般方法分块对角矩阵可用分块求逆法，例如当方阵 P、Q 都可逆时，有 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 “ 是”【试题解析】 证 1 若 r(A)=n，则 A 可逆，给 AB=O 两端左乘 A-1，得 B=O，这与BO矛盾，故必有 r(A) n
22、证 2 由 AB=O 知，矩阵 B 的每一列都是齐次方程组Ax=0 的解，又 BO，故方程组 Ax=0 有非零解，故必有A=0 ，即 r(A)n 本题主要考查满秩方阵(或可逆方阵)的性质注意本题中的矩阵 A 为方阵如果 A 为mn 矩阵( 未必是方阵)且满足 AB=O，其中 B0，则类似证 2，可以得出 r(A)n的结论，但因为 A 可能不是方阵，所以对 A 不能论及可逆或不可逆的问题【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 解 设 A、B 分别为 m 阶、n 阶可逆方阵，设 其中X12，X 21 分别为 m 阶、n 阶方阵，则有 XX-1=Em+n，即 由分块矩阵的乘法，得 A
23、X 21=Em，AX 22=O， BX11=O， BX 12=En 因为 A、B 均为可逆矩阵，所以解得 X21=A-1，X 22=O， X11=O， X 12=B-1 于是得 本题主要考查分块矩阵的乘法和求逆阵运算求解本题可以类比 2 阶同类矩阵的求逆阵运算，例如一般地，利用分块矩阵乘法可以验证(设A1，A 2，A m 均为可逆方阵)： 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 解 1 从O A的第 m 行开始，依次将O A 的每一行作，z 次相邻两行的交换，把它移到B O的下边去，则经 mn 次相邻两行的交换，就将O A 移到了B O的下边，因此有 解 2
24、如知道行列式的拉普拉斯展开法则，则可将C 按其前 m 行展开，得 C =A(一 1)1+2+m+(n+1)+(n+m)B=(一 1)nmab 本题主要考查行列式性质的应用及分块对角方阵行列式的计算注意，对于分块对角方阵(其中 A1，A 2，A m 都是方阵) 有C =A1A2Am【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 O【试题解析】 因为 r(A44)=2，即 A 中非零子式的最高阶数为 2，故 A 的 3 阶子式全为 0，即 A 的每个元素的余子式全为 0，从而每个元素的代数余子式全为 0，故A*=O，从而有，r(A *)=0 本题考查矩阵的秩及伴随矩阵等概念注意，对于 n 阶方阵 A，A
25、 的每个元素的余子式就是 A 的一个 n 一 1 阶子式，因此，当 r(A)n一 1 时，A 的每个元素的余子式、从而代数余子式都为 0，而 A*的元素是 A 的元素的代数余子式，故此时有 A*=0，从而有 r(A*)=0一般地成立：若 r(Amn)n一 1，则 r(A*)=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 解 1 初等行变换法： 上面分块矩阵中右边的矩阵就是 A-1 解 2 令， n 一 1 阶方阵(对角矩阵) 则 ，于是有 ，其中 本题考查逆矩阵的计算注意矩阵的求逆运算和乘法运算是矩阵运算的重点，应熟练掌握【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 由
26、A*A=AE，当A0 时，得 ，故有(或者由 A-1= )，而A=10，所以 本题主要考查逆矩阵、伴随矩阵的概念及它们之间的关系必须理解并牢记公式 AA*=A*A=AE，因为它是处理A 的逆矩阵及伴随矩阵有关问题的一个基本公式从解答中可见，只要弄清楚A、A -1 及 A*之间的关系，本题并不需要求出 A*【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 解 1 由题设等式得 (A *一 2E)EA=一 8E 两端左乘 A，并利用AA*=AE=一 2E，得(一 2E 一 2A)BA=一 8A 即 (E+A)BA=4A 两端右乘 A-1，得 (E+A)B=4E 故 解 2 由题设等式得 (A
27、 *一 2E)EA=一 8E 由此可知(A *一 2E)及 A 都可逆，两端左乘(A*一 2E)-1，两端右乘 A-1，得 B=一 8(A*一 2E)-1A-1=一 8A(A*一 2E)-1=一 8(AA*一 2A)-1 解 3 同解 2，由题设等式可得 B=一 8(A*一 2E)-1A-1 而故本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念注意，求解矩阵方程，一般要先作“字母运算”，进行化简整理，然后再作数值计算特别注意，在有关 A*的运算中，往往要利用公式 AA*=A*A=AE 进行化简【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 O【试题解析】 因为 所以，当n=2 时，有 An 一 2An-1=A
28、2 一 2A=O 当 n2 时，有 An 一 2An-1=An-2(A2 一 2A)=An-2O=O 因此，总有 An 一 2An-1=0(，n2) 本题主要考查矩阵的乘法运算注意求方阵的 n 次幂，一般要先就 n=2 进行计算(有时还需再就 n=3 等进行计算)，然后归纳其规律并得出结论(有时还需用数学归纳法加以证明)例如本题由 n=2 时为零矩阵：A2 一 2A=O，以下结论就很明显，上式两端左乘 A，即得 n=3 时亦为零矩阵，若两端左乘 An-2，即得一般结论 An 一 2An-1=O【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 一 3【试题解析】 因秩(A)=3，=A =(k+3)(k
29、一 1)3=0，=k=一 3 或 k=1，而当 k=1 时显然有秩(A)=1，故必有 k=一 3(而且当 k=一 3 时，A 的左上角的 3 阶子式等于一40，故此时的确有秩(A)=3但作为单项选择题，这里可以不验证当 k=一 3 时有秩(A)=3) 本题主要考查矩阵的秩的概念及简单行列式的计算注意，秩(A)=3，即 A 中非零子式的最高阶数为 3，故必有A =0，由此即可确定 k 的取值范围，这比用初等变换法(秩(A)=3，=由 A 化成的阶梯形阵中非零行的个数为 3)来确定 k的值显然要简单【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 A-1=B，得 又易验证矩阵 TO
30、，故得 但 T=a2=22，代入上式，得 =一 1，或 (舍去)，故 =一1本题主要考查逆矩阵的概念及矩阵乘法运算规律注意 T 是一个 n 阶方阵，而 T却是一个数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=1本题综合考查矩阵秉法运算及矩阵的秩的概念【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 3【试题解析】 由于 A+B-1=(AB+E)B-1=A(B+A-1)B-1=A(A-1+B)B-1， 两端取行列式，并利用ABC= ABC及 B-1=B-1，得A+B -1=AA-1+BB
31、-1=本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵及方阵的行列式的运算及有关运算律【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 一 27【试题解析】 解 1 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知B =一 3再利用A *=An-1=A2=9，得 BA*=BA*=一 27 解 2 记交换 3 阶单位矩阵的第 1行与第 2 行所得初等矩阵为 E12，则 B=E12A，由于 AA*=AE=3E，得BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意 E12=一 1，所以BA *=3E12=33E12=一 27 本题综合考查行列式、伴随矩阵及矩阵初等变换等有关概念及计算伴随矩阵的知识是本题考查的重点，其中所用的几个
32、公式，如 AA*=AE，A *=An-1，都很基本且常用，应熟练掌握【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 AO，不妨设 A110，由已知的 Aij=一 aij(i，j=1 ，2，3)，得 及 A=一(A *)T，其中 A*为 A 的伴随矩阵以下有两种方法： 方法 1：用 AT 右乘 A=一(A *)T 的两端，得 AA T=一(A *)AT=一(AA *)T=一(AI) T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得 A2=(一1)3A3，或A 2(1+A)=0，因A 0，所以 A=一 1 方法 2：从 A=一(A *)T 两端取行列式，并利用A *=A2，
33、得 A=(一 1)3A*=一 A2，或A (1+A)=0，因A0，所以A =一 1本题综合考查行列式的计算和伴随矩阵的有关概念本题要求方阵A 的行列式，需要建立关于方阵 A 的等式，所以将已知的 9 个数相等的条件 Aij=一 aij(i，j=1， 2，3) 转化成两个 3 阶方阵相等： A=一(A *)T，这是本题求解的关键还应注意在处理有关伴随矩阵的问题时，伴随矩阵的定义及基本公式AA*=A*A=AI 是两个基本出发点本题还用到方阵行列式及伴随矩阵行列式的其它常用性质，如：A T=A， AB=AB(A，B 为同阶方阵)，kA =kA(k 为常数)，A*=An-1(A 为，n 阶方阵)【知识
34、模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 【正确答案】 由题设等式得(A 一 2E)B=A，其中 E 是单位矩阵矩阵可逆，用(A 一 2E)-1 左乘上式两端，得 【试题解析】 本题综合考查矩阵的代数运算注意，求解矩阵方程，一般需经移项、提取公因子等步骤将方程化简成下列的某种形式：AX=C，XA=C,AXB=C，这时，若未知矩阵 X 的系数矩阵可逆，则给两端左乘或右乘相应的可逆矩阵就可解出矩阵 X 来但一定要注意矩阵乘法不满足交换律，左乘和右乘一般是不同的，因此要从 AXB=C(当 A、B 可逆时)解出 X，就需用 A-1 左秉两端，而用 B-1 右乘两端，得 X
35、=A-1CB-1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 因为 ，所以【试题解析】 本题主要考查逆矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念由于一般地有P+QP+Q，所以本题将(3A) -1 一 2A*化成一个方阵是求解关键本题亦可由 及A *=A2，得(3A) -1 一 2A*=注意，对于n 阶可逆方阵 A，由 AA-1=E 两端取行列式，即得 ；由 A*=AA-1，即得A *=AnA-1=An-1；由于用数 k 乘 A 是用 k 去乘 A 的每个元素，故有kA=knA【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由题设等式 X=AX+B，得(EA)X=B，由于矩阵 可逆，故得【试题解析】 本题综合考查
36、矩阵的代数运算，其重点是求逆矩阵和矩阵乘法运算注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以这里从 XAx 中提取右边的公因子矩阵 X 时要写成(EA)X；而要从(EA)X=B 中解出矩阵 x 时要用(E 一 A)-1 左乘(而不是右乘)该式两端【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 由 Ak=0，有 (E A)(E+A+Ak-1)=E+A+Ak-1 一 A 一一 Ak-1一 Ak=EAk=E，由逆矩阵的定义即知 EA 可逆，且有 (E 一 A)-1=E+A+Ak-1【试题解析】 本题主要考查逆矩阵的定义及方阵多项式的乘法注意，若同阶方阵 A、B 满足 AB=E，则有 A-1=B，B -1=A因此，要
37、验证 B 是 A 的逆矩阵，只需验证 AB=E 或 BA=E 二者之一就够了本题中(EA) -1 的表达式是如何想到的呢?读者可以类比多项式的乘法：(1 一 x)(1+x+xk-1)=1 一 xk【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 (1) 因为 AA*=A*A=AI，故(2) 由(1)可得 PQ =A2(baTA-1a)而PQ =PQ，且由 P 的定义知P=A 0，故由上式得 Q= A(baTA-1a)由此可知Q0b 一 aTA-1a0，即矩阵 Q 可逆 aTA-1ab【试题解析】 本题综合考查分块矩阵的乘法、伴随矩阵的性质、方阵可逆的条件注意，两个分块矩阵，只要左边矩阵关于列的分法与右
38、边矩阵关于行的分法是一致的，就可以相乘，相乘的法则也是“左行乘右列”，这里特别要注意相乘的小块矩阵的左右次序要与相乘的两个大矩阵的左右次序保持一致，例如，PQ 的第 2 行第 2 列处的小块矩阵为 【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 () 由 A3=0 两端取行列式，得A 3=0，从而得A =0，而A =a3，所以 a=0 ( )解 1 由已知的 X 一 XA2 一 AX+AXA2=E，得 X(EA 2)一 AX(E 一A2)=E 即 (E 一 A)X(E 一 A2)=E 由()知 由于 EA，E 一 A2 均可逆，所以 X=(E 一 A)-1(EA2)-1 解 2 同解 1 一样可得 (E 一 A)X(E 一 A2)=E 所以 X=(E 一 A)-1(E 一 A2)-1=E 一 A2)(EA)-1 =EAA2+A2-1=EAA2-1 由()知 所以 【试题解析】 本题综合考查方阵的行列式、矩阵的线性运算、矩阵乘法、求逆矩阵及求解矩阵方程等基本运算注意本题()的求解利用了“方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积”，不必算出 A3在()的求解中应注意，由矩阵方程PXQ=E 求未知矩阵 X，应两端左乘 P-1，两端右乘 Q-1【知识模块】 线性代数
