1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是( )（A） 1+2， 2+3， 3 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 13 2+223，3 1+525 32 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m1 ，则( )（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，
2、但可由()线性表示（C） m 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 ()线性表示，但不可由()线性表示3 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k12+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关4 设 1， 2， ， s 均为 n 维列
3、向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 12 2， 22 3， 32 1（D） 1+22， 2+23， 3+216 设向量组： 1， 2， r 可由向量组：
4、1， 2， s 线性表示下列命题正确的是( )（A）若向量组线性无关，则 rs（B）若向量组线性无关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性无关，则，rs7 设 1= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 48 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C
5、 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价9 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件10 设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关二、填空题11 设矩阵 A= ， 3 维列向量 =(a，1，1) T，已知 A 与 线性相关，则a=_12 设行向量组(2，1，1，1)，(
6、2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a=_13 设矩阵 A= ， 1， 2， 3 为线性无关的三维列向量组，则向量组A1，A 2，A 3 的秩为_ 14 若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足的条件是_15 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设向量 1， 2， t 是齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ t 线性无关17 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(
7、2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关?当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出17 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示18 求 a 的值；19 将 1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示20 求解线性方程组21 已给线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解
8、?有无穷多解 ?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解22 已知线性方程组 (1)a，b 为何值时，方程组有解?(2)在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解23 设有 3 维列向量 问 取何值时(1)可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一?(2) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一?(3) 不能由 1， 2， 3 线性表示?23 设 3 阶矩阵 BO，且 B 的每一列都是以下方程组的解：24 求 的值；25 证明|B|=0 考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
9、。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A 组线性相关(第 3 个向量是前 2 个向量的差)；B 组也线性相关(第 3 个向量是前 2 个向量的和)；对于 C 组，设有一组数 x1，x 2，x 3，使得x1(1+22)+x2(22+33)+x3(33+1)=0 即(x 1+x3)1+(2x1+2x2)2+(3x2+3x3)3=0 因为1， 2， 3 线性无关，所以 解得此齐次方程组只有零解x1=x2=x3=0，故 C 组线性无关由于矩阵 的秩为 3，知 C 组线性无关，故选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，存在常数 k1，k 2， km 使得 k11+k
10、22+kmm= (*)且必有 km0(否则 km=0，则由上式知 可由()线性表示，这与已知条件矛盾)于是得 即 m 可由()线性表示另一方面，如果 m 可由() 线性表示： m=11+22+ m1 m1 将上式代入(*)式，则得=(k1+km1)1+(k2+km2)2+(km1 +kmm1 )m 1 即 可由()线性表示，这与已知条件矛盾，故 m 不能由()线性表示综合以上两方面的结果，即知 B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 1 可举如下反例，说明 B 不正确：向量组 1= 线性相关，虽然 k1=1、k 2=0 不全为零，但 k11+k22= 02 由于 A、C
11、 及 D 的结论正确，故只有 B 不正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 1 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k11+k22+kss=0 两端左乘矩阵 A，得k1A1+k2A2+ksAs=0 因 k1，k 2，k s 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关2 用排除法若 A=O 为零矩阵，则A1，A 2，A s 均为零向量，从而 A1，A 2，A s 线性相关，于是选项BD 均不对若 A= ，则 1、 2 线性无关，且 A1=1 与A2=2 线性无关，故选项 C 也不对，所以只有选项 A
12、正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 2)+(2 3)+(3 1)=0 即选项 A 中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项 A 正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 1 由于() 可由() 线性表示，所以有 r()r()，而 r()S ，当()线性无关时，就有 r=r()r( )S，所以选项 A 正确2 设 V 是由向量组()生成的向量空间，则 V 的维数S，由条件知() V，当( )线性无关时，V 的维数r ，故有 rS，从而知选项 A 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 1 用排除法：当
13、c10 时，A 组、B 组都线性无关；当 c3+c40 时，D组线性无关因此，只有选项 C 正确2 对下列矩阵作初等行变换： A=1 3 4可知矩阵 A 的秩最大是 2，因此，A 的列向量组1， 3， 4 线性相关，故选项 C 正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 1 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选 B2 用排除法若取矩阵则 B 可逆，C=AB 可见：矩阵C 的
14、行向量组与矩阵 A 的行向量组不等价；矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组不等价；矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组不等价所以，选项A，B，C 都不正确，因而只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 1 记向量组()： 1+k3， 2+l3；向量组()： 1， 2， 3()是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 1+k3， 2+l3=1， 2， 3 当()线性无关时，矩阵 1， 2， 3为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组()线性无关，所
15、以，()线性无关是()线性无关的必要条件但()线性无关不是() 线性无关的充分条件，例如当 k=l=0时，( )线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关2 设有常数 x1，x 2，使得 x1(1+k3)+x2(2+l3)=0 即 x11+x22+(x1k+x2l)3=0，若() 线性无关，则 x1=x2=x1k+x2l=0，故由定义知()线性无关但若()线性无关，()却未必线性无关，例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=0，则()线性无关，但()却线性相关因此，() 线性无关是() 线性无关的必要非充分条件【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A
16、【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1 2 n，X=(x 1，x 2，x n)T，则方程组AX=0 的向量形式为 x11+x22+xnn=0，因此，AX=0 只有零解 X=0，等价于上式只在 x1=x2=xn=0 时成立亦即 A 的列向量组 1， 2， n 线性无关故A 正确，B 显然不对【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由条件，存在常数 ，使得A=，即由此解得 a=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 12【试题解析】 由条件知行列式=(a1)(2a1)=0 又 a1，所以，a=12【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 由矩阵 A
17、 的初等行变换 知矩阵A 的秩为 2由 1， 2， 3 线性无关矩阵 1 2 3为满秩方阵由矩阵乘法，有A1 A2 A3=A1 2 3，由于用满秩方阵乘矩阵后矩阵的秩不改变，所以矩阵A1 A2 A3的秩等到于矩阵 A 的秩，等于 2，即向量组 A1，A 2，A 3 的秩为2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 为不等于 1 的任意常数【试题解析】 方程组的系数行列式为 =(1)0 2 由于该齐次方程组只有零解 D0，故得 1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a 1+a2+a3+4=0【试题解析】 对方程组的增广矩阵 B作初等行变换：可见 r(A)=3，由原方程组有解，应有 r( )
18、=r(A)=3故得 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设有一组数 k0，k 1，k t使得 k0+k1(+1)+kt(+t)=0 即(k0+k1+kt)+k11+ktt=0 (*) 用矩阵 A 左乘(*) 式两端并注意Ai=0(i=1，t)，得 (k 0+k1+kt)A=0 因为 A0，所以有 k 0+k1+kt=0 (*) 代入(*)式，得 k11+ktt=0 由于向量组 1， t 是方程组 Ax=0 的基础解系，所以 k 1=kt=0 因而由(*)式得 k0=0因此，向量组 ，+ 1，+ t 线性无关【知识
19、模块】 线性代数17 【正确答案】 1 记 A=(1， 2， 3， 4)，则=(a+10)a3 于是当 a=0 或 a=10 时， 1， 2，a 3， 4线性相关当 a=0 时， 10，且 2， 3， 4 均可由 1 线性表出，故 1 为1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31， 4=41当 a=10 时，对 A 施以初等行变换，有=(1， 2， 3， 4)由于 2， 3， 4为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1= 2 3 4，故 2， 3， 4 为1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1= 2 3 42 记A=(1， 2， 3， 4)，
20、对 A 施以初等行变换，有当 a=0 时，A 的秩为 1，因而1， 2， 3， 4 线性相关，此时 1 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且2=21， 3=31， 4=41当 a0 时，再对 B 施以初等行变换，有=C=(1， 2， 3， 4)如果 a10，C 的秩为4，从而 A 的秩为 4，故 1， 2， 3， 4 线性无关如果 a=10，C 的秩为 3，从而 A 的秩为 3，故 1， 2， 3， 4 线性相关由于 2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1= 2 3 4于是 2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=
21、2 3 4【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 14 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 0=|1， 2， 3| =a5，于是 a=5此时，1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示2 考虑下列矩阵的初等行变换可见当 a5 时， 1， 2， 3 可由1， 2， 3 线性表示；当 a=5 时， 1， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 a=5【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令矩阵 A=1
22、2 3 1 2 3，对 A 施行初等行变换从而，1=21+42 3， 2=1+22， 3=51+1022 3【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：已将 化成了简化行阶梯阵，其中与首非零元对应的未知量为 x1，x 2，x 4，选它们为约束未知量，则剩下的未知量x3 就是自由未知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通解为若令 x3=k，则可得方程组的参数形式的解x1=3 k，x 2=8+2k，x 3=k，x 4=6(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 以 A 表示方程组的系数矩阵，以 A B表示增广矩阵对增广矩阵A B施行初等行变换：由此
23、可知：(1)当k12 时，r(A)=rA B=4，方程组有唯一解； (2)当 k1=2 时，有所以，当 k1=2 且 k21 时，则 r(A)=3，rA B=4，方程组无解；当 k1=2 且 k2=1 时，则 r(A)=rA B=34，方程组有无穷多解，此时有已将增广矩阵化成了简化行阶梯阵，选取 x1，x 2，x 4 为约束未知量，则 x3 为自由未知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通解： 取 x3=c(c 为任意常数)，得方程组的一般解：x 1=8，x 2=32c，x 3=c，x 4=2(c 为任意常数)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 =A b作初等行变换：
24、(1)由阶梯形矩阵可见 r(A)=2，故当且仅当 r(A)=2 时方程组有解，即当b3a=0，22a=0，亦即 a=1，b=3 时方程组有解(2)当 a=1，b=3 时，有由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为(x3，x 4，x 5 任意)令 x3=x4=x5=0，得原方程组的一个特解为 *=(=2，3，0，0，0) T 在(*)式中令常数项均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为 (x3，x 4，x 5 任意)由此即得导出组的一个基础解系为 1=(1，2，1，0，0) T， 2=(1，2，0，1，0)T， 3=(5，6，0，0，1) T 所以，原方程组的全部解(其中 x=(x
25、1，x 2，x 3，x 4，x 5)T)为 x=*+k11+k22+k33 (k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，得线性方程组其系数行列式为 =2(+3)(1)若 0 且 3，则|A|0，方程组有唯一解，此时， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示(2)若 =0，则|A|=0 ，且方程组为一齐次方程组，因而有无穷多个解，此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一(3)若 =3，对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 可见 r(A)=2r( )=3，故方程组无解，从而 不能由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 BO，故 B 至少有一个非零列向量依题意所给齐次线性方程组有非零解，故其系数行列式|A|必为 0，即 由此可得=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 B 的每一列都是所给方程组 AX=0 的解，故有 AB=O 由AO，必有|B|=0否则|B|0，则 B 可逆，用 B1 右乘 AB=O 两端，得 A=O这与AO 矛盾，故必有|B|=0【知识模块】 线性代数
