1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (08 年 )设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3O，则 【 】（A）E A 不可逆，E A 不可逆（B） EA 不可逆，EA 可逆（C） EA 可逆，EA 可逆（D）E A 可逆，E A 不可逆2 (09 年 )设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A2，B3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 【 】（A）（B）（C）（D）3 (09 年 )设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP 若P(
2、1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 QTAQ 为 【 】（A）（B）（C）（D）4 (11 年 )设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2行与第 3 行得单位矩阵记 则 A 【 】（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-15 (12 年 )设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 Q-1AQ 【 】（A）（B）（C）（D）6 (87 年 )设 n 阶方阵 A 的秩 r(A)rn，那么在 A 的 n 个行向量中 【 】（A
3、）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量都线性无关（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组（D）任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出7 (89 年 )设 A 为 n 阶方阵且 A0，则 【 】（A）A 中必有两行(列) 的元素对应成比例（B） A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（C） A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（D）A 中至少有一行(列)的元素全为 08 (90 年 )向量组 1， 2， ， s，线性无关的充分条件是 【 】（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s，中任意两个向量的分量不成比例（C
4、） 1， 2， s，中任意一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表示（D） 1， 2， s，中有一部分向量线性无关9 (96 年 )设有任意两个 n 维向量组 1， m 和 1， m，若存在两组不全为零的数 1， m 和 k1， ，k m，使( 1k 1)1 ( mk k)m( 1k 1)1( mk m)m0，则 【 】（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1， m 和 1， m 都线性无关（C） 1 1， m m， 1 1， m m 线性无关（D） 1 1， m m， 1 1， m m 线性相关10 (97 年) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是
5、【 】（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 1 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 25 3二、填空题11 (94 年) 设 A 其中 ai0，i1，2，n，则 A-1_12 (95 年) 设 A ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1_13 (98 年) 设矩阵 A，B 满足 A*BA2BA8E，其中 A ，E 为单位矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，则 B_14 (99 年) 设 A ，而 n2 为正整数，则 An2A n-1_15 (01 年) 设矩阵 A 且秩(A) 3，则 k_ 16 (03
6、年) 设 n 维向量 (a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵AE T，BE aaT，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (87 年) 求解线性方程组18 (88 年) 已给线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解? 有无穷多解?在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解19 (90 年) 已知线性方程组 (1)a，b 为何值时，方程组有解? (2)在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解20 (91 年) 设有 3 维列向量 问 取何值时 (1) 可由 1， 2，
7、3 线性表示，且表达式唯一? (2) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一? (3) 不能由1， 2， 3 线性表示?21 (92 年) 设 3 阶矩阵 BO，且 B 的每一列都是以下方程组的解： (1)求 的值；(2)证明B 022 (93 年)k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解23 (94 年) 设有线性方程组 (1)证明：若 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解； (2)设 a1a 3k，a 2a 4k(k0) ，且已知 1(1，1，1)T， 2(1，1，1) T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解24
8、 (00 年) 设向量组 1(a，2，10) T， 2(2，1，5) T， 3(1，1，4)T， (1，b，c) T试问：当 a，b，c 满足什么条件时 (1) 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一? (2) 不能由 1， 2， 3 线性表出? (3) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一? 并求出一般表达式25 (02 年) 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解26 (03 年) 已知齐次线性方程组 其中 0试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时， (1
9、)方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系27 (04 年) 设有向量 1(1，2，0) T， 2(1 ，a2，3a)T， 3(1，b2，a2b) T，(1，3，3) T试讨论当 a、b 为何值时， (1)不能由 1， 2， 3 线性表示； (2) 可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式28 (05 年) 已知齐次线性方程组 同解， 求 a，b，c 的值29 (07 年) 设线性方程组 与方程() ： 12 2 3a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解30 (08 年)
10、设 n 元线性方程组 Ab，其中 ( )证明行列式A (n1)a n； ()当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 1； () 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于(EA)(EAA 2)EA 3E，(EA)(EAA 2)E A3E ，故由可逆矩阵的定义知： EA 和 EA 均是可逆的【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 记矩阵 C ，则 C 的行列式C(1)4 AB60，因此 C 为可逆矩阵，由公
11、式 CC*C E，得 故只有选项 B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 Q 1 2， 2， 3 1， 2， 3 故只有选项 A 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1I，两端左乘 P2-1，两端右乘 P1-1P1-1，得AP 2-1P1-1，因 P2-1P 2，而 P1-1P1，故只有 D 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1， 1，2) ，知 1， 2， 3 是 A 的 3个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2 1 20(否则 1， 2 线性
12、相关，与 1， 2， 3 线性无关矛盾)，且 A(1 2)A 1A 2 1 2，因此1 2 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量 从而知 1 2， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 (1 2， 2， 3)A-1(1 2， 2， 3)diag(1，1， 2)， 即 Q-1AQdiag(1，1，2)因此选 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 由题设等式，得 1(1 1) m(m
13、 m)k 1(1 1)k m(m m)0 且 1， m，k 1，k m 不全为零，故向量组1 1， m m， 1 1， m m 线性相关【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A 组线性相关(第 3 个向量是前 2 个向量的差)；B 组也线性相关(第 3 个向量是前 2 个向量的和)；对于 C 组，设有一组数 1， 2， 3，使得 1(12 2) 2(223 3) 3(33 1)0 即( 1 3)1(2 12 2)2(3 23 3)3 0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 解得此齐次方程组只有零解1 2 30，故 C 组线性无关 由于矩阵 的秩为 3，知 C 组线性
14、无关，故选 C【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 初等行变换法： 上面分块矩阵中右边的矩阵就是 A-1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AAE，当A0 时，得 A*( A)：E，故有(A *)-1，而A10，所以【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由题设等式得(A *2E)BA8E 两端左乘 A，并利用AA*AE2E，得(2E2A)BA8A 即(EA)BA4A 两端右乘 A-1，得(EA)B4E 故 B4(E A) -1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 O【试题解析】 因为 A2 2A 所以，当 n2 时，
15、有 A*2A n-1A 22A O 当 n2 时，有 An2A n-1A n-2(A22A)A n-2OO 因此，总有 An2A n-1O(n2)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 因秩(A) 3 ， A(k3)(k1) 30， k3 或 k1，而当 k1 时显然有秩 (A)1，故必有 k3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 由 A-1B，得 又易验证矩阵 T0，故得 0 但T 22a 2，代入上式，得 12a0，或 (2a1)(a1)0 a1，或 a (舍去)，故 a1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【
16、正确答案】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 已将 化成了简化行阶梯阵，其中与首非零元对应的未知量为 1， 2， 4，选它们为约束未知量，则剩下的未知量 3 就是自由未知量，于是得方程组的用自由来知量表示的通解为若令 3 k，则可得方程组的参数形式的解 13k， 282k， 3k， 46 (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 以 A 表示方程组的系数矩阵，以 A B表示增广矩阵对增广矩阵A B施行初等行变换： 由此可知： (1)当 k12 时，r(A) rA B4，方程组有唯一解； (2)当 k12 时，有 所以，当 k12 且 k21 时，则r(A)3，rA B4，方
17、程组无解； 当 k12 且 k21 时，则 r(A)rA B34，方程组有无穷多解，此时有 已将增广矩阵化成了简化行阶梯阵选取 1， 2， 4 为约束未知量，则 3 为自由未知量，于是得方程组的用自由未知量表示的通解： 取 3c(c 为任意常数)，得方程组的一般解： 18， 232c， 3c， 42(c 为任意常数) 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换： (1)由阶梯形矩阵可见 r(A)2，故当且仅当 r(A)2 时方程组有解，即当 b3a0，22a0，亦即a1，b3 时方程组有解 (2) 当 a1，b3 时，有 由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为
18、 令 3 4 50，得原方程组的一个特解为 *(2，3， 0，0，O) T 在(*) 式中令常数项均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为 由此即得导出组的一个基础解系为 1(1，2，1，0，0) T， 2(1，2，0，1，0) T， 3(5 ，6，0，0，1) T 所以，原方程组的全部解(其中 ( 1， 2， 3， 4， 5)T)为 * k11 k22k 33(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 11 22 33，得线性方程组 其系数行列式为 (1)若 0 且 一 3，则A0，方程组有唯一解，此时， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表
19、示 (2)若 0，则A0，且方程组为一齐次方程组，因而有无穷多个解，此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一 (3)若 3，对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 可见 r(A)2r( )3，故方程组无解，从而 不能由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)因 BO，故 B 至少有一个非零列向量依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故其系数行列式A必为 0，即 由此可得 1 (2)因B 的每一列都是所给方程组 AX0 的解，故有 ABO 由 A0，必有B 0否则B 0，则 B 可逆，用 B-1 右乘 ABO 两端，得 AO ，这与AO 矛盾，故必有B0【
20、知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换： 由此可知 (1)当 k1 且k4 时，r(A)r( )3，方程组有唯一解此时，由 得方程组的唯一解为：(2)当 k 1 时，r(A)2r( )3，方程组无解 (3)当 k4 时，有 r(A)r( )23故方程组有无穷多解由阶梯形矩阵得同解方程组： 令 3c，得方程组的全部解：【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)增广矩阵 为一方阵，其行列式显然为4 阶范德蒙行列式的转置： (a 2a 1)(a3a 1)(a4a 1)(a3a 2)(a4a 2)(a4a 3) 由 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，知 0
21、，从而知矩阵 的秩为 4但系数矩阵 A 为 43 矩阵，有r(A)3(或由 A 左上角的 3 阶子式不等于零知 r(A)3)，故 r(A)r( )，因此方程组无解 (2)当 a1a 3k，a 2a 4k(k0) 时，方程组为 因为2k0，故 r(A) r( )2，从而原方程组相容且它的导出方程组的基础解系应含有 321 个解向量 因为 1， 2 是原非齐次方程组的两个解，故 1 2 是对应齐次方程组的解，且 0，故 是导出方程组的基础解系 于是原非齐次方程组的通解为 X 1c ，(c 为任意常数)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设有一组数 k1，k 2，k 3，使得 k 11k 22
22、k 33 该方程组的系数行列式 (1)当 a4 时，A0，方程组有唯一解， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表出 (2)当 a4 时，对增广矩阵作行的初等变换，有 若 3bc1 ，则秩(A)秩( )，方程组无解， 不能由 1， 2， 3 线性表出 (3)当 a4，且3bc1 时，秩 (A)秩( )23，方程组有无穷多解， 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一此时，解得 k 1t，k 22tb1，k 32b1(t 为任意常数) 因此有 t 1(2tb1) 2(2b 1) 3【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方程组的系数行列式 (1)当 ab 且 a(1n)b 时，方程组仅有零解
23、(2)当 ab 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有 原方程组的同解方程组为 1 2 n0 方程组的基础解系为 1( 1，1，0，0)T， 2(1，0，1，0) T， n-1(1，0，0，1) T，方程组的全部解为 c 11c 22c n-1n-1 (c1，c 2，c n-1 为任意常数 ) (3) 当 a(1n)b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有 原方程组的同解方程组为 其基础解系为(1， 1，1) T方程组的全部解是 c(c 为任意常数)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方程组的系数行列式 为一“行和” 相等行列式，将各列加至第1 列，然后提取第 1 列的公因子(b ai)，
24、再将第 1 列的(a i)倍加至第 i 列(i2，n) ，就将行列式化成了下三角行列式： (1)当A0，即 b0 且b 0 时，方程组仅有零解； (2)当 b0 时，原方程组的同解方程组为 a11a 22a nn0， 由 0 知 a1，a 2，a n 不全为零，不妨设 a10，则得原方程组的用自由未知量表示的通解为 由此得方程组的一个基础解系为当 b 时，有 b0，对原方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：将第 1行的( 1)倍分别加至第 2，3，n 行，得 用 乘第 i 行(i 2，3，n)，得 将第 i 行的(a i)倍加至第 1 行(i2，3， ，n)，并利用 b 0，得因此得原方程组的用
25、自由未知量表示的通解为 2 1， 3 1， n 1，( 1 任意) 令 11，则得原方程组的一个基础解系为 (1，1， ，1) T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设有一组数 1， 2， 3 使得 11 22 33 (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换： (1)当 a0，b 为任意常数时，有 可知 r(A)r()，故方程组(*)无解， 不能由 1， 2， 3 线性表示 (2)当 a0，且 ab 时，r(A)r( )3，方程组(*)有唯一解： 11 ， 2 ， 30故此时 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示为： (3)当 ab0 时，对 施行初等行变换： 可知 r(A)r(
26、)2，故方程组(*)有无穷多解，通解为： 11， 2 C ， 3C 其中 C 为任意常数故此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 C 3，其中 C 为任意常数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有非零解因为方程组() 与() 同解，所以方程组()的系数矩阵的秩小于 3 对方程组()的系数矩阵施以初等行变换： 从而 a2 此时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为 故(1，1，1) T 是方程组()的一个基础解系 将11， 21， 31 代入方程组()可得：b1，c2 或 b0，c 1 当b1，c2 时，对方程组
27、() 的系数矩阵施以初等行变换，有 由于(1)式与(2)式右边矩阵的行向量组等价，故方程组()与() 同解 当 b0，c1 时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为 由于(1)式与(3)式右边矩阵的行向量组不等价，故方程组() 与( ) 的解不相同 综上所述，当 a2，b1，c2 时，方程组( )与()同解【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方程组()的系数矩阵 A 的行列式为 (1)当A 0，即 a1且 a2 时，方程组( )只有零解，而零解 (0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1且 a2 时，( )与()无公共解； (2)当 a1 时，由 A 的初等行变换 得方程组()的通
28、解为 c(1，0，1) T，其中 c 为任意常数显然当 a1 时，()是()的一个方程，() 的解都满足() 所以，当 a1 时，()与()的所有公共解是c(1，0， 1)T，其中 c 为任意常数； (3)当 a2 时，由 A 的初等行变换 得()的通解为 k(0，1，1) T，要使它是( )的解，将其代入方程()，得k1，故当 a2 时，( )与()的公共解为 (0， 1，1) T【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 把A化成上三角行列式 ()该方程组有唯一解 A0，a0此时，由克莱姆法则，将 Dn 第 1 列换成 b，得行列式 所以， () 当 a0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 (0，1，0，0)T k(1，0，0 ，0) T 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数
