1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 19及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：20，分数：54.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 （分数：4.00）(1).求 y的值；（分数：2.00）_(2).求可逆方阵 P，使(AP) T (AP)为对角阵（分数：2.00）_2.设 4阶方阵 A满足条件 （分数：2.00）_3.设 （分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_5.设 （分数：2.00）_6.设 （分数：2.00）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满
2、足条件 T =0记 n阶矩阵 A= T ，求：（分数：4.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_(2).矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_7.设 A= （分数：2.00）_8.已知 3阶实对称矩阵 A的特征值为 6，3，3， 1 =(1，1，1) T 是属于特征值 1 =6的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_9.已知矩阵 A=(a ij ) nn (n2)的秩为 n一 1，求 A的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量（分数：2.00）_10.设 n阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A有 n个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B的特征向量；(2)B
3、 相似于对角矩阵（分数：2.00）_11.若矩阵 A= 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_12.设矩阵 A= （分数：2.00）_设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 为 R n 中的非零向量，方阵 A= T （分数：4.00）(1).证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m1 A，并求出 t；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P 1 AP为对角阵 A（分数：2.00）_设 n阶矩阵 （分数：4.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P 1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1
4、 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：6.00）(1).求矩阵 B，使 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 B；（分数：2.00）_(2).求 A的特征值；（分数：2.
5、00）_(3).求一个可逆矩阵 P，使得 P 1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 为 A的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 （分数：4.00）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关；（分数：2.00）_(2).令 P= 1 ， 2 ， 3 ，求 P 1 AP（分数：2.00）_13.设 A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 19答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：20，分数：54.00)1
6、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 （分数：4.00）(1).求 y的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3EA=8(2 一 y)=0，y=2)解析：(2).求可逆方阵 P，使(AP) T (AP)为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A T =A，可知(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P，由配方法：X T A 2 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )A 2 (x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T =x 1 2 +x 2 2 +5(x 3 + x 4 2 ，令 ，即X=PY 则 X T A 2 X y
7、1 2 +y 2 2 +4y 3 2 + y 4 2 故所求可逆阵 且使 (AP) T (AP)=P T A 2 P= 若用正交矩阵化实对称阵 A 2 为对角阵，则可取 且使 (ALP) T (AP)=P T A 2 P= )解析：2.设 4阶方阵 A满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 +A=(一 1) 4 一 A知 A有一个特征值 =一 ，由 AA T =2I，A 2 =2 4 =16，及A0，得A=一 4，由特征值的性质知 A * 有一个特征值为 )解析：3.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 解得 a=5，b=6，计算可得对应于特征值 2，2；6 的
8、线性无关特征向量分别可取为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ， 3 =(1，一 23) T ，于是可取 P= 1 2 3 = )解析：4.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA= =(+1) 2 ( 一 1)=0，得 A的全部特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =1故 A可对角化A 的属于 2重特征值 1 = 2 =一 1的线性无关特征向量有 2个方程组(一 EA)x=0的基础解系含 2个向量3 一 r(一 EA)=2r(EA)= =1k=0当 k=0时，可求出 A的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(一 l，2，0
9、) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故令 P= 1 2 3 = )解析：5.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知方程组(2E 一 A)x=0的基础解系含 2个向量，故 2EA的秩为 1，得x=2，y=一 2， )解析：6.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 r(A)=rA3，a=一 2，Q= )解析：设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n阶矩阵 A= T ，求：（分数：4.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确
10、答案：由于 T = T =0，故 A 2 = T T =( T ) T =(0) T =O)解析：(2).矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 2 =0，故 A的特征值全为零因 0，0，不妨设 a 1 0，b 1 0，则由 则 A的属于特征值 0的线性无关特征向量为 )解析：7.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得实对称矩阵 A的特征值为 2，2，0，故存在可逆矩阵 P，使 1 AP= ，故 P 1 BP=P 1 (kE+A) 2 P=P 1 (kE+A)P 2 =(kE+P 1 AP) 2 = )解析：8.已知 3阶实对称矩阵 A的
11、特征值为 6，3，3， 1 =(1，1，1) T 是属于特征值 1 =6的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的属于特征值 2 = 3 =3的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则由实对称矩阵的性质，有 0= 1 T =x 1 +x 2 +x 3 ，解这个齐次线性方程得其基础解系为 2 =(一1，1，0) T ， 3 =(1，1，一 2) T ，则 2 ， 3 就是属于 2 = 3 =3的线性无关特征向量 1 ， 2 ， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 A的标准正交的特征向量为，1= (1，1，一 2) T ，于是得正交矩阵 )解析：9.
12、已知矩阵 A=(a ij ) nn (n2)的秩为 n一 1，求 A的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * A=AE=O，知 A的 n一 1个线性无关的列向量都是方程组 A * X=0的解向量，即 =0 至少是 A * 的 n一 1重特征值，而上述 n一 1个列向量即为对应的线性无关的特征向量又由全部特征值之和等于 A 11 +A 22 +A nn (A ij 为 a ij 的代数余子式)，故 A * 的第 n个特征值为 A kk ，由 r(A * )=1，故 A * 的列成比例，不妨设 A 11 0，则有常数 k 2 ，k n ，使 于是
13、A 11 +A 22 +A nn =A 11 +k 2 A 12 +k n A 1n ，且有 可推知(A 11 +A 12 +A 1n ) T 为 A * 的对应于特征值 )解析：10.设 n阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A有 n个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A有 n个互不相同特征值，故 A有 n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)必成立故只需证明(1)设 为 A之特征向量，则有数 ，使 A=，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得 A(B)=(B)若 B0，则
14、 B 亦为 A的属于特征值 的特征向量因(EA)x=0的解空间为 1维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B之特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B的属于特征值 0的特征向量总之， 必为 B之特征向量，由于 的任意性说明 A的特征向量都是 B的特征向量)解析：11.若矩阵 A= 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 ， 2 =6， 3 =一 2，由 A相似于对角阵知矩阵 6EA的秩为 1，a=0 )解析：12.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * 的属于特征值 的特征向量为 ，则由 A可逆知 A * 可逆有 0，A *
15、=，A= ，比较两端对应分量得方程组 3+b= ，解之得 b=1或 b=一 2，a=2，再由A=3a 一 2=4，= )解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 为 R n 中的非零向量，方阵 A= T （分数：4.00）(1).证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m1 A，并求出 t；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A m =( T )( T )( T )=( T ) m1 T =( T ) m1 ( T )=( a i m1 ) m1 A=t m1 A，其中 t= )解析：(2).求可逆矩阵 P，使 P 1 AP为对角阵 A（分数：2.00）_正确答案：
16、(正确答案：AOA T =A，1r(A)=r( T )r()=1，r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩故矩阵 A只有一个非零特征值，而有 n1重特征值 1 = 2 = n1 =0A 的属于特征值 0的线性无关特征向瞳可取为(设 a 1 0)： 1 =(一 ，1，0，0) T ， 2 =(一 ，0，1，0) T ， n1 =(一 ，0，0，1) T ；属于特征值 n = a i 2 的特征值为 ，令矩阵 P= 1 2 n1 ，则有 P 1 AP=diag(0，0，0， a i 2 )对角阵其中， n 的求法可利用特征值的性质： 1 + 2 + n1 + n =(A的主对角线元
17、素之和) )解析：设 n阶矩阵 （分数：4.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 当 b0 时， E A= = 一 1一(n 一 1)b 一(1b) n1 ， 故 A的特征值为 1 =1+(n一 1)b， 2 = n =1一 b 对于 1 =1+(n一 1)b，设对应的一个特征向量为 1 ，则 = 1 =1+(n一 1)b 1 解得 1 =(1，1，1) T ，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1 =k(1，1，1) T ，其中 k为任意非零常数 对于 2 = n =1b，解齐次线性方程组(1b)EAx=0由 )解析：(2).求可逆矩阵 P，
18、使 P 1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 当 b0 时，A 有 n个线性无关的特征向量，令矩阵 P= 1 2 n ，则有 P 1 AP=diag(1+(n一 1)b，1b，1b) 2 当 b=0时，A=E，对任意 n阶可逆矩阵 P，均有 P 1 AP=E)解析：设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为
19、1 = 2 =6是 A的二重特征值，故 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量有 2个，有题设可得 1 ， 2 ， 3 的一个极大无关组为 1 ， 2 ，故 1 ， 2 为 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量 由 r(A)=2知A=0，所以 A的另一特征值为 3 =0 设 3 =0对应的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 2 T =0(i=1，2)，即 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 P= 1 2 ，则有 )解析：设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，
20、A 2 = 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 （分数：6.00）(1).求矩阵 B，使 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件，有 A 1 ， 2 ， 3 =A 1 ，A 2 ，A 3 = 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 = 1 ， 2 ， 3 所以，B= )解析：(2).求 A的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 C= 1 ， 2 ， 3 ，则由(1)知 AC=CB，又因 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，知 C为 3阶可逆方阵，故得 C 1 AC=B，计算可
21、得 B特征值为 1 = 2 =1， 3 =4，因相似矩阵有相同特征值，得 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =4)解析：(3).求一个可逆矩阵 P，使得 P 1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于 1 = 2 =1，解方程组(E 一 B)x=0，得基础解系 1 =(一 11，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T ；对应于 3 =4，解方程组(4EB)x=0，得基础解系己=(0，1，1) T 令矩阵 Q= 1 2 3 = 则有 Q 1 B Q= 因 Q 1 BQ=Q 1 C 1 ACQ=(CO) 1 A(CQ)，记矩阵 PCQ一 1 ， 2 ， 3 )解析：设
22、 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 为 A的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 （分数：4.00）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在一组常数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 用 A左乘式两端，并利用 A 1 =一 1 ， 2 = 2 ， 一 k 1 1 +(k 2 +k 3 ) 2 +k 3 3 =0 一，得 2k 1 1 一 k 3 2 =0 因为 1 ， 2 是 A的属于不同特征值的特征向量，所以 1 ， 2 线性无关，从而由式知走 k 1 =k
23、 3 =0，代入式 得 k 2 2 =0，又由于 2 0，所以k 2 =0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：(2).令 P= 1 ， 2 ， 3 ，求 P 1 AP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件可得 AP=A 1 ， 2 ， 3 =A 1 ，A 2 ，A 3 = 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 由()知矩阵 P可逆，用 P 1 左乘上式两端，得 P 1 AP= )解析：13.设 A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=(1，2，1) T 为 A的属于特征值 1 的特征向量，A=，比较两端对应分量解得 a=一 1， 1 =2由 A的特征方程解得 A的特征值为 2，5，一 4正交矩阵 Q= )解析：
