1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（ ）（A）0（B） a2（C） a2（D）na 22 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆；A 一 E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设则必有（ ）（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B4 现有四个向量组 （1
2、 ，2，3） T，（3，一 1， 5） T，（0，4，一 2）T，（ 1，3，0） T； （a ，1，b，0，0） T，（c ，0，d，2，0）T，（ e，0，f，0，3） T； （a，1，2，3） T，（ b，1，2，3）T，（ c，3，4，5） T，（d，0，0，0） T； （1， 0，3，1） T，（一 1，3，0，一2） T，（2，1，7，2） T，（4，2，14，5） T。 则下列结论正确的是（ ）（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（B）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为（C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为（D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为5 设
3、向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则必有（ ）（A） 1， 2， 1 线性无关（B） 1， 2， 2 线性无关（C） 2， 3， 1， 2 线性相关（D） 1， 2， 3， 1+2 线性相关6 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=
4、0 有非零解7 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是（ ）（A） 1+2（B） k1（C） k（ 1+2）（D）k（ 1 一 2）8 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是（ ）（A）矩阵 AE 是不可逆矩阵（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似（C）矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交（D）方程组 AX=0 的基础解系由一个向量构成9 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的（ ）（A）充分必要条件（B）必要而非充分条件（C）充分而非必要条件（D）既非
5、充分也非必要条件10 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则 A 与 C（ ）（A）等价但不相似（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）等价，合同且相似二、填空题11 行列式 =_。12 已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= 则C3=_。13 已知 矩阵 X 满足 A*X=A1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_。14 设 B 是三阶非零矩阵，且 AB=0，则 a=_。15 任意一个三维向量都可以由 1=（1，0，1） T， 2=（1，一 2，3）T， 3=（a，1 ，2） T 线性表示
6、，则 a 的取值为_ 。16 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_。17 若 ，则 X=_。18 设 有二重特征根，则 a=_。19 设 =（1，一 1，a） T，=（1，a ，2） T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_。20 设 f（x 1，x 2）= ，则二次型的对应矩阵是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 证明： =anxn+an1xn1+a1x+a0。22 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*=diag（1，1，1，8），且 ABA1=BA1+3E，求 B。23 设 1， 2， ， n 是一组 n 维向量，
7、证明它们线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可由它们线性表示。24 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。25 设方程组 与方程（2）x 1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。26 设矩阵 行列式|A|=一 1，又 A*的属于特征值 0 的一个特征向量为 =（一 1，一 1，1） T，求 a，b，c 及 0 的值。27 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 求 a，b 的值及矩阵 P，使 P1AP=B。28 设 且存在正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （1，2，1） T，求 a，Q。29 已知二次型 f（
8、x 1，x 2，x 3）=（1 一 a）x 12+（1a）x 22+2x32+2（1+a）x 1x2 的秩为 2。 （）求 a 的值； （）求正交变换 x=Qy，把 f（x 1，x 2，x 3）化为标准形；（）求方程 f（x 1，x 2，x 3）=0 的解。30 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r（B）=n 。考研数学三（线性代数）模拟试卷 101 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a2jA2
9、j+a2njA2nj=a1jA2j+aA2nj 并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零。所以应选 A。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有（AE）B=A。若 A 可逆，则|（AE ）B|=|AE|B|=|A|0，所以|B|0，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题正确。因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题正确。对于命题，用分组因式分解，即ABAB+E=E，则有（AE）（B 一 E）=E ，所以得
10、AE 恒可逆，命题正确。所以应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。 由于（1，0，0） T，（0，2
11、，0） T，（0，0，3） T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组 线性无关。所以应排除 C。 向量组 中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。由排除法，所以应选 D。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 3 线性无关，且 2 不能由 1， 2， 3 线性表示知，1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1=（1，0，0，0） T， 2=（0，1，0，0）T， 3=（0，0，1，0）
12、T， 2=（0，0，0，1） T， 1=1，知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D，由于 1， 2， 3 线性无关，若 1， 2， 3， 1+2 线性相关，则 1+2可由 1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，从而 2 可由1， 2， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r（A ）=n 或r（A）n，以此均不能推得 r（A）=r（A|b），所以选项 A、B 均不正确。而由Ax=b 有无穷多个解可知，r（A）=r（A|b）n 。根据齐次线性方程组有非零
13、解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 一 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k（ 1 一 2）。选 D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1=0，则选项 B 不正确；若 1=一 20，则1+2=0，此时选项 C 不正确。【知识模块】 线
14、性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE 的特征值是一1，0，一 2。由于 =0是矩阵 AE 的特征值，所以 A 一层不可逆。因为矩阵A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。（或由 A A+E+E 而知 A+E 可相似对角化）。由矩阵 A 有一个特征值等于 0 可知 r（A）=2，所以齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 n 一 r （A）=32=1 个解向量构成。选项 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅
15、仅线性无关并不一定正交。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B，故|E 一 B|=|E一|P 1AP|=|P1（E 一 A）P|=|P 1|AEA|P|=|EA|，即 A 与 B 有相同的特征值。但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似。例如虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于 r（A）r（ B），A，B 不可能相似。所以，相似的必要条件是 A，B 有相同的特征值。所以应选 B。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AEij=B，E
16、 ijB=C，故 C=EijB=EijAEij。 因 Eij=EijT=Eij1，故 C=EijAEij=Eij1AEij=EijTAEij，故 A 与 C 等价，合同且相似，故应选 D。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 120【试题解析】 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即=10（21）（31）（41）（32）（42）（43）=120。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA 一 2AB=CB，得 2CAC=2AB 一 B，因此有 C（2AE）=（2A E）B。因为所以 C=（2A E）B（
17、2AE ） 1，于是 C3=（2A 一 E）B 3（2AE） 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=|A|E 代入已知矩阵方程，得|A|X=E+2AX，移项可得（|A|E 一 2A）X=E，因此 X=（|A|E 一 2A） 1。已知|A|=4，所以 X=（4E 一 2A） 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=O，则有 r（A）+r（B）3，又已知矩阵 BO，因此r（B）1，那么 r（A） 3，则行列式|A|=0。而【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个三维向量都可以用 1=（1
18、，0，1） T， 2=（1，一 2，3）T， 3=（a，1，2） T 线性表示，则 1， 2， 3 必线性无关。又 1， 2， 3 为 3 个三维向量，故可考虑其行列式，即|1， 2， 3|= =2（a3）0，即 a3。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 其中 x2，y 2 是任意常数【试题解析】 矩阵 不可逆，故可设可得线性方程组 故 x1=2 一x2，y 1=3 一 y2，所以 其中 x2，y 2 是任意常数。【知识模块】 线性代数18
19、 【正确答案】 2 或【试题解析】 =（ 一 2） 2 一 2一 2（a2）=0。如果 =2是二重根，则 =2是 2 一 2一 2（ a 一 2）=0 的单根，故 a=2。如果 2 一 2一 2（a2）=0 是完全平方，则有 =4+8（a2）=0 ，满足 =1是一个二重根，此时【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 k（1，一 1，1） T，k0【试题解析】 令 B=T，则矩阵 B 的秩是 1，且 T=a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 B= （ T）=（ T
20、）=2， 即 =（1，一1，1） T 是矩阵 B 属于特征值 =2的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。=3x1x2+5x12+2x22+3x1x2=（x1，x 2） 因此对应的矩阵为【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 本题可利用递推法证明。左边=xD n+（一 1） n+2a0=xDn+（一 1） 2n+2a0=xDn+a0。显然 D1=an，根据上面的结论有左边=xD n+a0=x（xD n1+a1）+a 0=x2Dn1+
21、xa1+a0=xnD1+an1xn1+a1x+a0=anxn+an1xn1+a1x+a0=右边，所以，命题成立。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 在 A*=|A|A1 两端取行列式可得|A *|=|A|4|A1|=|A|3，因为A*=diag（1，1，1，8），所以|A *|=8，即|A|=2。由 ABA1=BA1+3E 移项并提取公因式得，（AE）BA 1=3E，右乘 A 得（AE）B=3A ，左乘 A1 得（EA 1）B=3E 。由已求结果 |A|=2，知得（E 一 A1） 1=diag（2， 2，2， ）因此 B=3 （EA 1） 1=diag（6，6，6，一 1）。【知识模块】
22、 线性代数23 【正确答案】 必要性： 1， 2， s 是线性无关的一组 n 维向量，因此r（ 1， 2， n）=n。对任一 n 维向量 b，因为 1， 2， s，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 1， 2， n，b 线性相关。 综上所述r（ 1， 2， n，b）=n。 又因为 1， 2， n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 1， 2， ， n 线性表示。 充分性：已知任一 n 维向量 b 都可由1， 2， n 线性表示，则单位向量组： 1， 2， n 可由 1， 2， n 线性表示，即 r（ 1， 2， n）=nr （ 1， 2， n）， 又 1， 2， n 是一组 n 维向
23、量，有 r（ 1， 2， n）n。 综上，r（ 1， 2， n）=n。所以1， 2， n 线性无关。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r（A） =1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=（一 1，1，0，0） T， 2=（一 1，0， 1，0） T， n1=（一1，0，0，1） T，于是方程组的通解为 x=k11+kn1n1，其中 k1，k n1 为任意常数。当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有当 a=时，r（A）=n1n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 =（1，2
24、，n） T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 把方程组（1）与（2）联立，得方程组则方程组（3）的解就是方程组（1）与（2）的公共解。对方程组（3）的增广矩阵作初等行变换，有因方程组（3）有解，所以（a 一 1）（ a 一 2）=0。当 a=1 时， 此时方程组（3）的通解为 k（一 1，0，1） T（k 为任意常数），此即为方程组（1）与（2）的公共解。当a=2 时， 此时方程组（3）有唯一解（0，1，一 1） T，这也是方程组（1）与（2）的公共解。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AA *=|A|E=一 E。对于 A*=0
25、，用 A 左乘等式两端，得（1）一（3）得 0=1。将 0=1 代入（2）和（1），得 b=一 3，a=c 。由|A|=一 1 和a=c，有 =a 一 3=一 1，即得 a=c=2。故 a=2，b=一3，c=2， 0=1。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 AB，得 解得 a=7，b=一 2。由矩阵 A 的特征多项式|EA|= =2 一 4 一 5，得 A 的特征值是 1=5， 2=一 1。它们也是矩阵 B 的特征值。分别解齐次线性方程组（5E A）x=0，（一 EA）x=0，可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=一 1 的特征向量依次为 1=（1，1）T， 2=（一 2，1） T。
26、分别解齐次线性方程组（ 5E 一 B）x=0，（一 EB）x=0 ，可得到矩阵 B 的属于 1=5， 2=一 1 的特征向量分别是 1=（一 7，1） T， 2=（一1，1） T。令 P1= ，则有 P11AP1= =P21BP2。取P=P1P21= 即有 P1AP=B。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 按已知条件，（1，2，1） T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是1，那么 知矩阵 A 的特征值是 2，5，一 4。对 =5，由（5E 一 A）x=0 得基础解系 2=（1，一 1，1） T。对 =一 4，由（一 4EA）x=0 得基础解系 3=（一 1，0，1） T。因为 A 是实对
27、称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化2， 3，即【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 因此a=0。（）由（）中结论 a=0，则 由特征多项式=（ 一 2）（ 一 1） 21=（ 一 2） 2 得矩阵 A 的特征值 1=2=2， 3=0。当 =2，由（2EA ）x=0 得特征向量1=（1，1，0） T， 2=（ 0，0，1） T。当 =0，由（0EA）x=0 得特征向量3=（1，一 1，0） T。容易看出 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1=（1，1，0） T， 2=（0 ，0，1）
28、 T， 3= （1，一 1，0） T。那么令Q=（ 1， 2， 3）= 则在正交变换 x=Qy 下，二次型f（x 1， x2，x 3）化为标准形 f（x 1，x 2，x 3）=x TAx=yTy=2y12+2y22。（）由f（x 1， x2，x 3）=x 12+x22+2x32+2x1x2=（x 1+x2） 2+2x32=0，得 所以方程f（x 1， x2，x 3）=0 的通解为 k（1，一 1，0） T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，所以 r（B TAB）=n ，又因为r（B TAB）r（B）n，所以 r（B）=n 。 充分性：因（B TAB） T=BTAT（B T）T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵。 若 r（B）=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0。 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有（Bx ） TA（Bx）0。于是当 x0，有 xT（B TAB）x=（Bx） TA（Bx）0，故BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
