1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A+B = A+B（B）若 AB=0，则 A=0 或 B=0（C） AB=AB（D）AB=AB2 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A= 1， 2， 3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 1， 2， 3， 1+2为 ( )（A）m+n（B） m 一 n（C）一 (m+n)（D）n 一 m3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必
2、有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=04 设 A，B，A+B，A -1+B-1 皆为可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -15 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (AB)*=A*一 *（D）(A+B) *一定可逆6 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn-1A*（D）k n(n-1)A*7 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列
3、成立的是( )（A）A=0（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=0（D）若 A 可逆，则 A=E8 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)9 设 P1=，则 m，n 可取( ) （A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=210 设 A=，则 B 为( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P111
4、 设 P= ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6 时，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=2二、填空题12 设 D= ，则 A31+A32+A33=_13 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E 一 A=E 一 2A=E 一3A=0，则B -1+2E=_14 设 A 为三阶正交阵，且A0，BA= 一 4，则E ABT=_15 设 A 为 n 阶矩阵，且A一 a0，则(kA) * =_16 设 A，B 都是三阶矩阵，A= ，且满足(A *)-1B=ABA+2A2，则B=_17 设矩阵 A，B
5、满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，则 B=_18 =_19 设 A= ，B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 AB=0，则 t=_20 设 A= ， B0 为三阶矩阵，且 BA=O，则 r(B)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=022 设 A=(aij)nn 是非零矩阵，且A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A023 计算 D2n=24 计算 (ai0，i=1，2，n)25 设 D= ，求 Ak1+Ak2+Akn26 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，B
6、=2，求27 设 A=E 一 T，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2=A 的充分必要条件是 为单位向量； (2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵28 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P=(1)计算 PQ；(2)证明 PQ 可逆的充分必要条件是TA-1b29 设矩阵 A 满足(2E C-1B)AT=C-1，且B= ，求矩阵 A30 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证明： r(A)231 设 是 n 维单位列向量，A=E 一 T证明：r(A)n32 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= ，其中 n233 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r
7、(A)=1 的充分必要条件是存在，2 维非零列向量，使得 A=T34 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明：存在常数 k，使得(A *)2=hA*35 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=A n-2A36 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，且 AB=0证明：r(A)+r(B)n考研数学三（线性代数）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(C) 显然不对，设 ，显然 A，B 都是非零矩阵，但 AB=O，所以 AB=0 ，B 不对，选 D【知识模块】 线性代数2 【正确
8、答案】 D【试题解析】 1， 2， 3， 1+2= 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 3， 2 =一 1， 2， 3， 1一 1， 2， 3， 2 =一 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3=n 一 m， 选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)n m，于是AB=0 ，选 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) -1B(A-1+B-1)=(A+B)A-1-1(BA-1
9、+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *=AB(AB) -1=ABB -1A-1=BB -1A A -1=B*A*，所以选 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以(kA) *=kn-1A*，选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2=A，所以 A(E 一 A)=0，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(EA)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E-A)=0，A=
10、E，选 D 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 显然由，r(A)=mn ，得 r(A)= =mn ，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 P 1AP1= 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1= =E13，且 Eij2=E，P 1mAP2n=P1AP2，则m=3，n=5，即选 B【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，所以 B-1=P2-1P1-1A-1 或 B-1=P1-1P2-1A-1
11、，注意到 Eij-1=Eij，于是 B-1=P2P1A-1 或 B-1=P1P2A-1，选 C【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Q0，所以 r(Q)1，又由 PQ=0 得 r(P)+r(Q)3，当 t6时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选 C【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A35=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 60【试题解析】 因为EA=E 一 2A= E 一 3A=0 ，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B 的特征值为
12、，1，从而 B-1 的特征值为1，2，3，则 B-1+2E 的特征值为 3，4，5，故B -1+2E=60【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 -4【试题解析】 A0A=一 1 EAB T=AA TABT=A (ABT)T= 一AB=BA=一 4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k n(n-1)an-1【试题解析】 因为(kA) *=kn-1A*，且A *=A n-1，所以 (kA) *= k n-1A*=k n(n-1)A n-1=kn(n-1)an-1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 A=一 3，A *=AA -1=一 3A-1，则(A *)-1=ABA+
13、2A2 化为一=ABA+2A2，注意到 A 可逆，得一 B=BA+2A 或一 B=3BA+GA，则 B=一6A(E+3A)-1，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA=2BA 一 8E，得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A，于是一 2B=2AB 一 8E，(A+E)B=4E ，所以 B=4(A+E)-1=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，从而r(A)1，又 r(A)1，
14、r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1【试题解析】 BA=Or(A)+r(B)3 ，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATA=E，两边取行列式得A T=1，因为A0，所以 A=一 1 由E+A = ATA+A=(A T+E)A=AA T+E=一A T+E =一(A+E) T=一E+A 得E+A=0 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是
15、非零行，则 A=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由B = 123=2 得 3=1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) *的特征值为因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B *=4，(2B)*= 4B*=4 3B *=256，故【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)令 T=k
16、，则 A2=(E 一 T)(E 一 T)=E 一 2T+kT，因为 为非零向量，所以 TO，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T= T，所以 A2=A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(E-A)=n，因为 EA=T0，所以 r(E 一 A)1，于是 r(A)n 一 1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)PQ=(2)PQ=A 2(b 一 TA-1)， PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 TA-1b【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由(2E C-1B)AT=C-1，得 AT=(2EC-1B)-
17、1C-1=C(2EC-1B)-1=(2CB)-1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r()=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 A 2=(E 一 T)(E 一 T)=E 一 2T+T T，因为 为单位列向量，所以 T=1，于是 A2=A由 A(E 一 A)=O 得 r(A)+r(EA)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(EA)=r(E)=n，得 r(A)+r(EA)=n因为 EA=T0，所以 r(EA)=r(T)=r()=1，故 r(A)=n 一 1n【知识模块】
18、 线性代数32 【正确答案】 AA *=A*A=AE 当 r(A)=n 时， A0，因为A *= A n-1，所以A *0 ，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n 一 1 时，由于 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A0，故r(A*)1，又因为 A=0，所以 AA*=AE=O ，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)n 一 1 时，由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，所以 A*=0，故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 设 r(A)
19、=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，令 A=，故 A=T，显然 ， 为非零向量设 A=T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 (A *)*A*=A *E= A n-1E，当 r(A)=n 时，r(A *)=n，A *=AA -1，则(A *)*A*=(A*)*AA -1=A n-1E，故(A *)*=A n-2A当r(A)=n 一 1 时，A=0，r(A *)=1，r(A *)*=0，即 (A*)*=0，原式显然成立当r(A)n1 时，A=0，r(A *)=0，(A *)*=0，原式也成立【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=O，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX=O 的一组解，而方程组 AX=O 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n 一 r(A)，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数
