1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关2 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3
2、 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定3 设 A=(1， 2， m)，若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有k11+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O4 下列命题正确的是( ) （A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线
3、性无关，则 1+2， 2+3， n+1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆5 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数6 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解（C）
4、ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n7 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s
5、 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价9 设 A 是 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n10 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1 一 2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)11 设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 m
6、n 矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)12 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有
7、非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解13 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题14 设 ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_15 设 A= ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=0，则a=_，b=_16 设 为非零向量，A= ，为方程组 AX=0 的解，则a=_，方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设向量组() 1，
8、 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组(I)与向量组()的秩为 3，而向量组() 的秩为 4证明：向量组 1， 2， 3， 54的秩为 418 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆19 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是20 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关21 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向
9、量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示22 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak-10，而 Ak=0证明：向量组 ，A ，A k-1 线性无关23 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关 (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示； (2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量。24 设向量组 1， 2， n-1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2 正交证明： 1， 2 线性相关25 设齐次线性方程组 ，其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，
10、方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解26 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O，求方程组 AX=0 的通解27 a，b 取何值时，方程组 有解?28 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解29 设(I) ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1= ，r(B)=2 (1)求方程组(I)的基础解系；(2)求方程组()BX=0 的基础解系；(3)(I) 与() 是否有公共的非零解 ?若有公共解求出其公共解30 设 (1)求(I)，()
11、的基础解系； (2)求(I)， ()的公共解31 ，问 a，b，c 取何值时，(I)，( )为同解方程组 ?32 33 34 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组35 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n (1)证明 =n； (2) 设1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明：1， 2， r， 1， 2， s 线性无关36 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=037 证明
12、：r(AB)minr(A) ，r(B)38 证明：r(A)=r(A TA)39 设 A 是 mn 矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= =rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n 一 r+1 个40 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b 为常数41 设 A= ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解?有解时求出全部解考研数学三（线性代数）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性
13、表示，所以口 1，口 z，口 s，at 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以口。可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选 C【知识模块】 线性
14、代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 Ax=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O 选 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无
15、关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故 A 不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交B 不对； 1， 2， ， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D 不对，选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵
16、，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)nr(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， s，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表示，若 1， 2， r 不可由 1， 2， r 线性表示，则1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛
17、盾，选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选 A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n 一 1，l， 2 一 1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选C【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组
18、BX=0 的解，则 n 一 r(A)n 一r(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选 B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 仙为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选 A【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯
19、一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=则向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2，1【试题解析】 A ，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又 BO，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3，k(一 3，1，2) T【试题解析】 AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是 A=方程组 AX=0 的通解为 k(一 3，1，2) T【知识模块】 线性代数三、
20、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示 因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5-4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 一 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所
21、以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A TA= ，r(A)=r(ATA)，向量组 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)T=n，即 r(ATA)=n 或 ATA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是0 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关， 1， 2， t 线性无关， 令k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k
22、11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关 k=k 1=k1=0， ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 a，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示， 取 ，则e1，e 2，e n 可由 1， 2， n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2，
23、n 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 l0+l1A+l k-1Ak-1=0(*)(*)两边同时左乘 Ak-1 得 l0Ak-1=0，因为 Ak-10，所以 l0=0；(*)两边同时左乘 Ak-2 得 l1Ak-1=0，因为 Ak-10，所以l=0，依次类推可 l2=lk-1=0，所以 ，A，A k-1 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k 11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=-l11-l22令y=k11+k22=-l11-l22，因为 1，
24、 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，l 2 都不全为零，所以 0(2)令 k11+k22+l11+l22=0，所以 =k1 一 3k2=一 k1+02【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A= ，因为 1， 2， n-1 与 1， 2 正交，所以A1=0，A 2=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n 一 1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 D= =a+(n 一 1)b-(a 一 b)n-1(1)当 ab，a(1一 n)b 时，方程组只有
25、零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，其通解为 X=k1(一 1，1，0，0) T+k2(一 1，0，1，0)T+kn-1(一 1，0，0，1) T(k1，k 2，k n-1 为任意常数)；(3)令 A=，当 a=(1 一 n)b 时，r(A)=n 一 1，显然(1，1，1)T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然
26、基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9时，r(B)=1， 1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 C (C 为任意常数)，；当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，由 A(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (3)a=1，b= 一 1 时，通解为 X=k1(1，一 2，1，0) T+k2(1，一 2，0，1) T+(一1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方程组 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因
27、为 有非零解，故方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (I)方程组(I) 的基础解系为 (2)因为 r(B)=2，所以方程组() 的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组()的基础解系；(3)方程组(I)的通解为 k11+k22=一 k2=k2，取 k2=k，则方程组 (I)与方程组()的公共解为 k(一 1，1，1，1) T(其中 k为任意常数)【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 令，方程组(I)可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 ATY=
28、0 及 =0若方程组(I)有解，则 r(A)=r(Ab) ，从而 r(AT)= ，又因为()的解一定为( )的解，所以()与() 同解；反之，若 ()与()同解，则 r(AT)= ，从而 r(A)=r(Ab)，故方程组(I)有解【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 则()可写为 BY=0，因为 1， 2， n 为(I)的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关， A1=A2=A n=0A( 1， 2， n)=OAB T=OBA T=0 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0
29、的一个基础解系【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， n-r 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， n-r， 0 线性无关，若1， 2， n-r， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k n-r，k 0，使得k11+k22+kn-rn-r+k00=0，若 k0=0，则 k11+k22+kn-rn-r=0，因为1， 2， n-r 线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0，从而 1， 2， n-r， 0 线
30、性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， n-r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， n-r， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n 一 r(AB)n 一 r+1，r(AB)r 一 1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与ABX=0 同解【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 (1)因为 n=r(CA+DB)=(2)因为只有零解，从而方程组 AX=0 与 BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，
31、则 r(A)n，从而A=0， 于是 A*b=A*AX=AX=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而(A *)n，又 A110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n 一 1 因为r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量 由A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X=0 的基础解系 因为 A*b=0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)= =n 一 1n，即方程组
32、 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量，因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)一 r(BTAT)r(AT)=r(A)， 所以r(AB)minr(A)，r(B) 【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可 若 AX0=0，则ATAX0=0 反之，若
33、 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0(AX 0)T(AX0)一 0AX 0=0， 所以 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n一 r 个线性无关的解向量，设为 1， 2， n-r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0=0， 1=1+0， 2=2+0， n-r=n-r+0，显然 0， 1， 2， n-r，为方程组 AX=b 的一组解 令 k00+k11+kn-rn-r=0，即 (k 0+k1+kn-r)0+k11+k22+kn-rn-r
34、=0， 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+kn-r=0，于是 k 11+k22+kn-rn-r=0， 注意到1， 2， n-r 线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0， 故 0， 1， 2， n-r 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n 一 r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设1， 2， n-r+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解， 令 1=2 一 1， 2=31， n-r+1=n-r+21，根据定义，易证 1， 2， n-r+1 线性无关，又1， 2， ， n-r+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n 一r+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 nr+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 n 一 r+1 个【知识模块】 线性代数40 【正确答案】 【知识模块】 线性代数41 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
