1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 齐次方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B0 使得AB=0，则（A）=-2 且丨 B 丨=0（B） =-2 且丨 B 丨0 （C） =1 且丨 B 丨=0（D）=1 且丨 B 丨0 二、填空题2 设 n 阶矩阵 A= ，则丨 A 丨=_.3 五阶行列式 D= =_.4 设矩阵 A= ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则丨 B 丨=_.5 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则丨 B 丨=_
2、6 设 A= ，而 n2 为正整数，则 An-2An-1=_.7 设 A= ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 t=_.8 设 A= B=P -1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵、则 B2004-2A2=_.9 设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 T= 。则T=_.10 设矩阵 A=(nij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为_.11 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若丨 A 丨=2，丨 B丨=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为_.12
3、设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=_.13 设 A，B 为，n 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 C=，则 C 的伴随矩阵 C*=_.14 设 A= ， E 为 4 阶单位矩阵，且 B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B) -1=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 A= nn,x= ，b=证明行列式丨 A 丨=(n+1)a n.考研数学三（线性代数）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数二、
4、填空题2 【正确答案】 (-1) n-1(n-1)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 1-a+a 2-a3+a4-a5【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 1/9【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 0【试题解析】 A n-2An-1=（A-2E)A n-1 （A-2E)A=0 An-2An-1=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 -3【试题解析】 由 AB=0，对 B 按列分块有 AB=A( 1,2， 3) =(A1,A2，A 3) =(0，0，0) 即 1,2， 3 是齐次方程组的 Ax=0 的解. B0 ，所以 Ax=0 有非零解.
5、知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 A 2004=(A2)1002=E. B2004-2A2 =P-1A2004P-2A2 =P-1EP-2A2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 3【试题解析】 T 是秩为 1 的矩阵， T 是一个数，两者不能混淆。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 丨 A 丨=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a1120 义由A*=AT，两边取行列式并利用丨 A*丨=丨 An-1 及丨 AT 丨=丨 A 丨得丨 A 丨 2=丨 A丨 从而丨 A 丨=1 因此，3a 112=1.【知识模块】
6、线性代数11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2E【试题解析】 虽可以南 A 先求出(E+A) -1，再作矩阵乘法求出 B，最后通过求逆得到(E+B) -1 但这种方法计算量太大 若用单位矩阵恒等变形的技巧，我们有 B+E=(E+A)-1(E-A)+E =(E+A)-1(E-A)+(E 十 A)=2(E+A)-1， (E+B) -1=2(E+A)-1-1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用归纳法记 n 阶行列式丨 A 丨的值为 Dn当 n=1 时 D1=2a，命题正确；当 n=2 时，D 2= =3a2，命题正确；设 nn=(n+1)an，命题正确当n=k 时，按第一列展开，则有 Dk= k-1+a2(-1)2+1k-1=2aDk-1-a2Dk-2=2a(kak-1)-a2(k-1)ak-2=(k+1)ak丨 A 丨=(n+1)an【知识模块】 线性代数
