1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 等于 ( )（A）c -2m（B） m（C） cm（D）c 3m2 A 是 n 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则|A *|= ( )（A）|A|（B） |A-1|（C） |An-1|（D）|A n|3 设 A 是 n 阶矩阵，则 = ( )（A）(-2) n|A|n（B） (4|A|)n（C） (-2)n|A*|n（D）|4A| n4 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（A）没有等于零的 r-1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零（
2、B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零（C）有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零5 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n 且 |A|0（B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出6 设 则下列向量中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，一 2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，一 2T二
3、、填空题7 设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 = _ 8 设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A) *|=_9 设 Amn，B nn，C nm，其中 AB=A，BC=O ，r(A)=n，则|CAB|= _ 10 已知一 2 是 的特征值，其中 b0 是任意常数，则x=_ 11 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 已知 ，求 An13 设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为
4、 14 已知向量组 1， 2， s+1(s1)线性无关， i=i+ti+1，i=1，2，s 证明：向量组 1， 2， s 线性无关14 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2证明：15 A1，A 2，A 3 线性无关；16 求|A|17 设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A TA)=r(A)；(2)A TAX=ATb 一定有解18 已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=1， 0，1，1 T， 2=2，1，0，一 1T， 3=0，2，1，一 1T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组( )，求 ()的基础解
5、系19 设 Amn，r(A)=m ，B m(n-m)，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=20 设三元线性方程组有通解 求原方程组21 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵22 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是n 维非零向量证明：， 正交23 已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AAT 正定的充要条件是 r
6、(A)=m考研数学三（线性代数）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由故选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=|A|E，两边取行列式，得|A|A *|=|A|n 若|A|0 ，|A *|=|A|n-1=|An-1|； 若 |A|=0，则|A *|=0，故选 (C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的
7、(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C) ，(D)均不成立，请读者自行说明理由【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n，Ax=b有唯一解 (A) 是充分条件，但非必要条件， (B)是必要条件，但非充分条件(可能无解)， (C)是必要条件，但非充分条件 (b 由 1， 2， n 表出，可能不唯一) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因 A2= 故 2 是 A 的对应于 =一 2 的特征向量 其余的考 1
8、， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 -2(a 3+b3)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1倍加到第 23 列，得到=2(a+b)(-a2+ab-b2)=-2(a3+b3)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2 n2-n.5n-1【试题解析】 (2A)(2A) *=|2A|E，(2A) *=|2A|(2A)-1，=|2n-1.5A-1|=(2n-1.5)n|A-1=2n2-n.5n-1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (-1) n【
9、试题解析】 因 AB=A， A(B-E)=O，r(A)=n故 B-E=O，B=E，且由 BC=O，得C=O，故 |CAB|=|B|=(一 1)n【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 一 4【试题解析】 |E 一 A|=|1 一 2E 一 A|=0，可求得 x=一 4【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 对 A 分块为，则 B=3E+J，于是 B2=(3E+j)2=3nE+Cn13n-1J+Cn23n-2j2+jn，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)将 A
10、 中各列加到第一列，得若 a=0，则|A|=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0(2)令 A=1， 2， n，A -1=1， 2， n，E=e1，e 2，e n，由 A-1A=E，得 A -11， 2， n=e1，e 2，e n， A -1j=ej，j=1，n， A -11+A-12+A-1n=e1+e2+en，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0 成立，即 k 1 (1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1) =k1 1+(k1f+k2)2+(k2t+k3)3+(ks-1f+ks)s+ksts+1=0 因 1， 2
11、， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A 1，A 2，A 3=2， 3， 1+3， 1， 2=1， 2， 31， 2， 3C，其中 C 是可逆阵，故A1，A 2，A 3 和 1， 2， 3 是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)设 r(A)=r1，r(A TA)=r2，由于 AX=0 的解都满足(A TA)X=AT
12、(AX)=0，故 AX=0 的基础解系(含 n 一 r1 个无关解 )含于 ATAX=0 的某个基础解系(含 n 一 r2 个无关解) 之中，所以 n-r1n 一 r2，故有 r2r1，即 r(A TA)r(A) 又当 ATAX=0 时(X 为实向量)，必有 XTATAX=O，即 (AX)TAX=0，设AX=b1，b 2，b mT，则(AX) T(AX)= =0，必有 b1=b2=bm=0，即AX=0，故方程组 ATAX=0 的解必满足方程组 AX=0，从而有 n 一 r(ATA)n 一 r(A)，r(A)r(ATA) 由，得证 r(A)=r(ATA) (2)A TAX=ATb 有解 (ATA
13、)=r(ATA|ATb) 由(1)知 r(A)=r(AT)-r(ATA)，将 AT，A TA=B 以列分块，且 B=ATA 的每个列向量均可由 AT 的列向量线性表出，故 AT 和 B=ATA 的列向量组是等价向量组，A Tb 是 AT 的列向量组的某个线性组合，从而 r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb)，故 r(ATA)=r(AT)=r(AT| ATb)=r(ATA |ATb)，故(A TA)X=ATb 有解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22+k33= 代入添加的两个方程，得 得解： 1=2，一 3，0 T， 2=0，1，-1 T，故
14、方程组()的基础解系为 1=21-32=-4，3，2，5 T， 2=1 一 3=2，-1，一 1，0 T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=一 1， 2， n-m，因已知 AB=O，故知 B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，rB=n-m 知， 1， 2， n-m 是AX=0 的基础解系若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， n-m线性表出，且表出法唯一，即 =x1B1+x22+xn-mn-m=1， 2， n-m，即存在唯一的 ，使 B=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax 1+bx2+cx3=d，由
15、 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 得解-gk，-5k，3k T，即 a=-9k，b=-5k，c=3k，k 是任意常数，=1，-1，3 T 是非齐次方程解，代入得 d=-b5k，故原方程是 9x 1+5x2-3x3=-5【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关 11+22， 22+33 线性无关 11+22， 22+33， 33+11=1， 2， 3 秩为 3因为1， 2， 3 线性无关， A 是可逆阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两边右乘 ，得 TAT=T， T=T， ( 一 )T=0，故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由(AA T)T=(AT)TAT=AAT，所以 AAT 是对称阵 必要性若 AAT 正定，r(AA T)=mr(A)，又 r(Amn)m，故 r(A)=m 充分性若 r(A) =m，则齐次方程组 ATX=0 只有零解，故对任意 X0，均有 ATX0，故 X TAATX=(ATX)T(ATX)0， 即 AAT 正定【知识模块】 线性代数
