1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 维向量组 1， 2， m(3mn)线性无关的充分必要条件是 【 】（A）存在不全为 0 的数 k1，k 2，k m，使 k12+k22+kmm0（B） 1， 2， m 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， m 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出（D） 1， 2， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出2 设 4 阶方阵 A 的行列式A =0，则 A 中 【 】（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任
2、一列向量是其余列向量的线性组合3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 【 】（A）当 mn 时，必有行列式AB 0（B）当 mn 时，必有行列式AB =0（C）当 nm 时，必有行列式AB 0（D）当 nm 时，必有行列式AB =04 设 n 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则，z 维列向量组 1， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（A）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A=1 m与矩阵 B=1 m等价5 设 1， 2， ， m 均为 n 维向量
3、，则 【 】（A）若 k11+k22+kmm=0，则 1， 2， m 线性相关（B）若对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11+k22+kmm0，则1， 2， m 线性无关（C）若 1， 2， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11+k21+kmm=0（D）若 01+02+0 m=0，则 1， 2， m 线性无关6 设有向量组 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1， 2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一 2，2，0) ， 5=(2，一 1，5，10)则该向量组的极大无关组是 【 】（A） 1， 2， 3（B） 1， 2
4、， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 57 设矩阵 A 的秩为 R(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式（D）非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解8 若向量组 1， 2， 3 线性无关； 1， 2， 4 线性相关，则 【 】（A） 1 必可由 2， 3， 4 线性表示（B） 2 必不可由 1， 3， 4 线性表示（C） 4 必可由 1， 2， 3 线性表示（D） 1 必不可由 1， 2， 3 线性表示9 设 A、B 为
5、满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关10 设向量组() ： 1， 2， ， r 可由向量组()： 1， 2， r，线性表示，则 【 】（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关二、填空题11 12 13 14 Dn=15 Dn=16 17 18 行列式 的
6、第 4 行各元素的余子式之和的值为_19 方程 =0 的全部根是_20 方程 的实根为_21 方程 的全部根是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设矩阵 A=I 一 aaT，其中 I 是 n 阶单位矩阵a 是 n 维非零列向量，证明：22 A2=A 的充要条件是 aTa=1；23 当 aTa=1 时，A 是不可逆矩阵23 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B24 证明 B 可逆；25 求 AB-125 设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB26 证明：A 一 E 为可逆矩阵；27 当 时，求 A28 设矩阵 矩阵 X 满
7、足关系式 AX+E=A2+X，求矩阵 X29 设 3 阶方阵 A 的逆阵为 求(A *)-130 已知 3 阶方阵 A=(aij)33 的第 1 行元素为：A 11=1，a 12=2，a 13=一 1其中 A*为A 的伴随矩阵求矩阵 A31 已知 3 阶方阵 A 的行列式A =2，方阵 其中 Ao 为 A 的(i，j)元素的代数余子式，求 AB32 设矩阵 ，矩阵 B 满足(A *)-1RA*=BA*+8A，其中 A*为 A 的伴随矩阵，求矩阵 B考研数学三（线性代数）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 线性
8、代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时，有 r(AB)r(A)nm，故 m 阶方阵 AB 为降秩方阵，即AB=0或解：当 m n 时，方程组 BX=0 中的方程个数 n 小于未知量个数m，故 BX=0 有非零解，从而方程组(AB)X=0 有非零解 =AB=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 当 A=1 m与 B=1 m等价时， A 与 B 有相同的秩，由已知条件知 A 的秩为 m，故 B 的秩亦为 m，即 1， m 线性无关；若 1， m线性无关，则矩阵 A 与 B 有相同的秩 m，A 与 B 又都是 nm 矩阵，故
9、A 与 B 有相同的秩标准形(矩阵)P ，于是 A 与 P 等价，B 也与 P 等价，由等价的性质即知 A与 B 等价综上可知(D)正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由下列矩阵的初等行变换：A= T1 T5=，知 1， 2， 4 是一个极大无关组或用排除法：因 3=31+2， 5=21+2，故(A)、(C) 、(D)组都是线性相关的，因而只有(B) 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 此时有 m=R(A)R(Ab)m，=R(A)=R(A b)=mn，故方程组AX=b 必有无穷多组解【知识模块】 线性代数
10、8 【正确答案】 C【试题解析】 由部分组与整体组线性相关性的关系知 1， 2 线性无关，而1， 2， 4，线性相关，= 4=11+22=11+23+03，即 4 可由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=O 知 B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，又由BO 知 B 至少有一列非零，故方程组 Ax=0 有非零解，因此 A 的列向量组线性相关同理由 BTAT=(AB)T=O 知 BT 的列向量组即 B 的行向量组线性相关【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知秩()秩()，而秩( )s，故秩()s，当
11、 rs 时，有秩()sr，故 ()必线性相关【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 -3【试题解析】 把行列式的各行都加到第 1 行，得 本题考查行列式的计算注意 4 阶及 4 阶以上的行列式已不再具有对角线计算法则高阶行列式的基本计算方法是利用行列式的性质简化计算，化为三角形行列式及按一行(列)展开(降阶)是计算中最常用的两种方法元素是数字的行列式总可以化成上(或下)三角形行列式，所以本题可有多种计算方法【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (a 1a4b1b4)(a2a3b2b3)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1 一 x2 一 y2 一 z2【试题解析】 将第
12、2 列的(一 x)倍、第 3 列的(一 y)倍、第 4 列的(一 z)倍都加到第1 列，则化成了上三角行列式【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 n!(2 一 n)【试题解析】 从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(一 1)倍加到第 1 列(j=2，3，n)，则化成了上三角行列式【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a n+(一 1)n+1bn【试题解析】 按第 1 列展开【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 x 4【试题解析】 先把第 2，3，4 列都加到第 1 列并提出第 1 列的公因子 x，再将第1 列的 1 倍、(一 1)倍、1 倍分别加至第 2，3，4 列，然后按
13、第 4 行展开【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1 一 a+a2 一 a3+a4 一 a5【试题解析】 先把第 2，3，4，5 行都加至第 1 行，再按第 1 行展开，得 D5=1 一aD4，一般地有 Dn=1aDn-1(n2)，并应用此递推公式【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 28【试题解析】 可直接计算，亦可利用展开法则，得所求值等于行列式22*【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1，2，3【试题解析】 利用范德蒙行列式得 f(x)=(21)(31)(x 一 1)(32)(x 一 2)(x 一3)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 t=6【试题解析】 注意行
14、列式各行元素之和均等于 6 一 t，f(t)=(t 一 6)(t2+3)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 x=0，x=1【试题解析】 f(x)=5x(x 一 1)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 2=A(I 一 AAT)(I 一 aaT)=I 一 aaTI 一 2AAT+a(aTa)aT=I 一 AAT 一aaT+(aTa)aaT=0(aTa 一 1)anT=0(注意 aaT0)aTa=1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 当 aTa=1 时，A 2=A，若 A 可逆，则有 A-1A2=A-1A，
15、即A=I，=a Ta=0，这与 aTa0，矛盾，故 A 不可逆【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因A0，而B= 一A 0，故层可逆【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 记 Eij 是 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得的初等方阵，则 B=EijA，因而 AB-1=A(EijA)-1=AA-1E-1ij=Eij【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 ABBA=0，=(A E)B 一(AE)=E，=(AE)(B 一 E)=E，即知 AE 可逆【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A=E+(B+E) -1= (或 A=B
16、(BE)-1)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (AE)X=A 2 一 E，且 AE 可逆=X-(AE) -1(AE)(A+E)=A+E=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (A *)-1=【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由(A *)T= 知 A11=一 7，A 12=5，A 134，=A =a11A11+a12A12+a13A13=一 1，又由 AA*=AE=一 E，=A= 一(A *)-1=【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 B 可看作是由 A*交换 1、3 两列得到的，故 B=A*【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A=1 ，(A *)-1= ，故题设方程即 ABA*=BA*+8A，两端右乘 A 并利用 A*A=AE=E，得 AB=B+8A2，=(AE)B=8A 2，=B=8(AE) -1=A2=【知识模块】 线性代数
