1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 与 B 的秩 【 】（A）必有一个为零（B）均小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）均等于 n2 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为【 】 3 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，变换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则【 】（A）交换 A*第 1 列与第 2
2、列得 B*（B）交换 A*第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*第 1 列与第 2 列得一 B*（D）交换 A*第 1 行与第 2 行得一 B*4 设 A，B，C 均为竹阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B一 C 为 【 】（A）E（B）一 E（C） A（D）一 A二、填空题5 已知向量组 1=(1，2，3，4)， 2=(2，3，4，5) ， 3=(3，4，5，6)，4=(4， 5，6， 7)，则该向量组的秩为_6 设 aibi0(i=1，2，n)，则矩阵 的秩为_7 设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2， ，则 r(AB)=_8 已知向量组 1
3、=(1，2，一 1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，一 4，5，一 2)的秩为2，则 t=_9 若向量组() ： 1=(1，0，0) T， 2=(11，0) T， 3=(1，1，1) T 可由向量组()：1， 2， 3， 4 线性表示，则()的秩为10 若向量组 1=(1，1，) T， 2=(1， ，1) T， 3=(，1，1) T 线性相关，则=_11 若向量组 1=(1，一 a，1，1) T， 2=(1，1，一 a，1) T， 3=(1，1，1，一 )T 线性无关，则实数 的取值范围是12 设 3 阶方阵 A 的特征值 1， 2， 3 互不相同， 1， 2， 3 依次为对应于1
4、， 2， 3 的特征向量，则向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关的充分必要条件是 1， 2， 3 满足_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设实对称矩阵 A 满足 A2=O，证明：A=O 14 设 B 是元素全都为 1 的，n 阶方阵(n1)证明：15 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，A +B=0，证明：A+B =015 设16 求 An(n=2，3，)；17 若方阵 B 满足 A2+ABA=E，求 B18 设有矩阵 Amn，B nm，已知 En 一 AB 可逆，证明：E nBA 可逆，且(E nBA)-1=En+B(Em 一
5、AB)-1A19 设 4 阶实方阵 A=(Aij)44 满足：(1)a ij=Aij(i，j=1，2，3，4，其中 Aij 是 aij 的代数余子式)；(2)a 110，求A20 实 a 为实的， n 维非零列向量， E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵为对称的正交矩阵21 设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 ，求 B22 设矩阵 矩阵 A 满足关系式 A(E一 C-1B)TCT=E，化简此关系式并求矩阵 A23 设矩阵 A 的伴随矩阵 矩阵 B 满足关系式ABA -1=BA-1+3E，求矩阵 B24 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，求矩阵 X25 已
6、知 AP=PB，其中 求矩阵 A 及 A526 设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=I，其中 I 为 n 阶单位矩阵，且 A0，求 A+I考研数学三（线性代数）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 应选 B 因 AO，BO，故 r(A)1，r(B)1又 AB=O=，r(A)n，否则 r(A)=n，则 A 可逆，有 A-1AB=0，即 B=0，这与 B0 矛盾，故必有 r(A)n，同理有 r(B)n，故只有(B)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 应选 D 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)
7、，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(1，2)=B，be(3，2(1)=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C ，于是得所求逆矩阵为 所以只有选项(D)正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 应选 C 记交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等方阵为 P，则有 PA=B，B =一Ap- -1=P且由 A 可逆知 B 可逆于是由 B*=B-1，得 B*=一A(PA)-1=(AA-1)P-1=一 A*P，或 A*P=一 B*，再由初等列变换与初等方阵的关系知，交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*，因此
8、选项(C)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 应选 A 由 B=E+AB=(EA)B=E=EA=B-1 由 C=A+CA=C(EA)=A =CB-1=A=C=AB 所以，BC=B AB=(EA)B=B-1B=E故选项(A) 正确【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 由=B，知r(1， 2， 3， 4)=r(B)=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1【试题解析】 由 ，知 r(A)=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 为满秩方阵，故 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 3【试题解析】 由 ，知其
9、秩为 2t=3【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 3【试题解析】 由条件，有 3=r()r(11)3，r( )=3【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1 或一 2【试题解析】 由行列式 1 3 3=一( 一 1)2(+2)=0，=1 或 =一 2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 1 3 3=1， 3，3 线性无关 r(1， 3， 3)=3一 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 230【试题解析】 设 k11+k2A(1+2)+k3A2(1+2+3)=0，由 Aj=jj(j=1，2，3)，得k33+k2(11+22)+k3(211+222+233
10、)=0，即(k 1+1k3+21k3)1+(2k2+22k3)2+(23k3)3=0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组故向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关方程组(*)只有零解方程组(*)的系数行列式 =2230，故所求条件为 230【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 A 2=AAT=0 的(i，i) 元素为 ，即 A=0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由B=EO=E(其中 B2=nB)，=(EB) -1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A 2=E， = A一1，同理有B=1，又
11、 A=一B ，=A B=一1故A+B =AE+EB=AB2+A2B=A(B+A)B=AB+AB=一A+B，=A+B=0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A 2=4E=A2m=(A2)m=4mE，A 2m+1=A2mA=4mA(m=1，2，)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 2=4E，=A -1= B=A-1(E+AA2)=A-1+EA=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 只要验证(E nBA)E+B(En 一 AB)-1A=En【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 a ij=Aij(i， j=1，2，3，4)，=AT=A*，=A= AT=A*
12、=A3，=A =0，1，一 1，又【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 记正常数 ，则 A=EbaaT，=A T=ET 一 b(aT)TaT=EbaaT=A，故 A 为对称矩阵，又由 ，得 A4T=AA=(E 一 baaT)(E 一 baaT)=EbaaTbaaT+b2a(aTa)aT=E，故 A 为正交矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 化简成 A(CB)T=E，故 A=(CB)T-1=(CB)-1T=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由A *=An-1，有 A3=8，得 A=2给题设方程两端右乘 A，得AB=B+3A，两端左乘 A*并利用 A*A=AE=2E，得 2B=A*B+6E，=(2EA *)B=6E， =B=6(2EA*)-1 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (AB)X(AB)=E=X=(AB) -1(AB)-1=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因 P 可逆，得 A=PBP-1A5=(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)=PB5P-1=PBP-1=A【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A+I= A+AAT=A(I+AT)=AI+AT=A(I+AT)T=AI+A=AA+I=(1 一A )A+I=0，又 1 一 A0=A+T=0【知识模块】 线性代数
