1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 72 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则必有【 】（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E2 设 则必有【 】（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B3 设 A、B、A+B、A -1+B-1 均为 n 阶可逆阵。则(A -1+B-1)-1=【 】（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -1二、填空题4 设 a=(1，0，
2、一 1)T，矩阵 A=aaT，n 为正整数， a 为常数，则aE 一 An= _5 设 a 为 3 维列向量， aT 是 a 的转置，若 ，则aTa=_6 设 3 阶方阵 A、B 满足 A2BAB=E其中 E 为 3 阶单位矩阵，若，则B =_7 设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB=2A+B， ，则(AE)-1=_8 设矩阵 ，已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A 一 2E)与秩(A E)之和等于_9 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_10 设 ，B=p -1AP，其中 P 为三阶可逆矩阵，则 B20
3、04 一2A2=_11 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 a11=1，b=(1 ，0， 0)T，则线性方程组 Ax=b 的解是_12 设 a1，a 2，a 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(a 1,a2,a3)，B=(a1+a2+a3，a 1+2a2+4a3， a1+3a2+9a3)如果A =1，则B =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设行列式 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13 整除，不计算行列式 D，试证明 D 能被 13 整除14 设行列式 不具体计算 D，试利用行列式的定义证明D=015 求下列行列式的值： 16 计算下列
4、n 阶行列式： (其中未写出的元素均为 0，下同)17 证明(其中 ab)三对角行列式 考研数学三（线性代数）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 应选 D 由题设条件 A(BC)=E，知 A 与 BC 互为逆矩阵，=BCA=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 应选 C 注意依次对 A 施行下列两种初等行变换，即得矩阵 B：先将 A 的第 1 行加到第 3 行，再将所得矩阵的 1、2 两行互换，两次初等行变换所对应的初等方阵依次为 P2、 P1，故有 B=P1P2A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 应选 C 由(A
5、 -1+B-1)A(A+B)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，或 A(A+B) -1B=B-1(A+B)A-1-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1 即知只有(C)正确【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 A n=(aaT)(aaT)(aaT)=a(aTa)(aTa)aT=a2n-1aT= aEAn=a2(a 一 2n)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 设，a Ta=a21+a22+a23=1+1+1=3【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 (A 2E)B=A+E，
6、=(A+E)(AE)B=A+E，因 A+E 可逆，两端左乘(A+E)-1，得(AE)B=E，两端取行列式，得 AEB=1，因AE=2，得【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (AE)B 一 2A=0，(AE)B 一 2(AE)=2E，(AE)(B 一 2E)=2E，(AE)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 p-1AP=B，=p -1(A 一 2E)P=P-1AP 一2E=B 一 2E，即 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，故有 r(A 一 2E)=r(B 一 2E)=，同理得 r(AE)=r(BE)= ，故 r(A 一 2E)+r(AE)=3+1=4【
7、知识模块】 线性代数9 【正确答案】 由于 A*A=AE 一 3E，用 A 右乘题设方程两端，得3AB=6B+A，=3(A 一 2E)B=A，两端取行列式，得 27A 一 2EB=A，因 A 一2E=1， A=3，得【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由于 ，A 4=(A2)2=E，A 2004=(A4)501=E501=E，故 B2004 一 2A2=P-1A2004P 一 2A2=E 一 2A2=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故，又 A-1=AT，故方程组 Ax=b 的解为 x=A-1b=ATb=【知识模块】 线性代数12
8、【正确答案】 利用矩阵乘法，可将 B 写为 两端取行列式，得B =A【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 将 D 的第 l 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列，则所得行列式第 4 列每个元素都有公因子 13【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 按定义 D=，其中 a3j3，a 4j4，a 5j5 分别取自 D 的第 3、第 4、第 5 行和 D 的 3 个不同列，而 D 的后 3 行中取自 3 个不同列的元素中最多有 2 个不为零，最少有 1 个为零，即 a3j3，a 4j4，a 5j5
9、 这 3 个数中至少有 1 个为零，因而 D 的展开式中每一项都为零，从而知 D=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)160 注意行列式元素之和均相等(2)一 10【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)(一 1)n-1(n 一 1)xn-2先将第 2 行的(一 1)倍加到第 i 行(i=3，n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n 一 1列都加到第 1 列，则得上三角行列式 (2)(x 一 1)(x 一 2)(x 一 n+1)将第 1行的(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，得上三角行列式 (3)n!(1+x+ + )先把第 1 行的
10、(一 1)倍加到第 i 行(i=2，3，n)，再把第 j列的 倍加到第 1 列(j=2 ，3，n) ，则得上三角行列式 (4)n+1按第 1行展开，并将(1，2) 元素的余子式按第 1 列展开，得递推公式 Dn=2Dn-1 一 Dn-2，=D n 一 Dn-1=Dn-1Dn-2，由此可得 Dn 一 Dn-1=Dn-1Dn-2=D2 一D1=1，=D n=1 一 Dn-1=2+Dn-2=(n 一 2)+D2=n+1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 Dn=(a+b)Dn-1 一 abDn-2，=D n 一 aDn-1=b(Dn-1aDn-2)，=D n 一 aDn-2=bn-2(D2 一 aD1)=bn，对称地有 Dn 一 bDn-1=an，再由方程组 ，解得亦可用数学归纳法证明【知识模块】 线性代数
