1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出2 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关3 设 A 为
2、n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解4 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )5 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n 且 A0（B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量
3、组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出6 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解7 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n8 设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，
4、则方程组 有解的充要条件是 ( )（A）r(A)=r(Ab) ，r(B)任意（B） AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） A0，b 可由 B 的列向量线性表出（D）B0，b 可由 A 的列向量线性表出9 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )二、填空题10 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是_11 方程组 的通解是_12 方程组 有解的充要条件是_13 设线性方程组 有解，则方程组右端 =_。14 已知非齐次线性方程
5、组 A 34=b 有通解 k11，2，0，2T+k24，1，1，1 T+1，0，1，1 T，则满足方程组且满足条件x1=x2， x3=x4 的解是_ 15 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22 3=1+2+3+4=1+32+3+24， 则 Ax= 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知线性方程 (1)a，b 为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解17 已知 1=3，2，0 T， 2=1，0，2 T 是线
6、性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 18 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，1，2，0 T记 j=a1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1 ，2，5问：(1) 4 能否由1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由 (2)4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由19 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解20 设 Amn，r(A)=m ，B n(nm) ，r(B)=nm，且满足关系 AB=O证明：若
7、 是齐次线性方程组 AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=21 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解22 设三元线性方程组有通解 求原方程组23 已知方程组() 及方程组()的通解为 k11，1，1，0T+k22，1，0，1 T+2，3，0，0 T求方程组()，()的公共解24 已知方程组是同解方程组，试确定参数 a，b，c 25 设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T=2E，A 0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A
8、的伴随矩阵 A*的一个特征值。26 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， 1， 2 是分别属于 1 和2 的特征向量证明： 1+2 不是 A 的特征向量27 已知矩阵 相似(1)求 x 与 y；(2)求一个满足P1 AP=B 的可逆矩阵 P28 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围29 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值30 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和考研数学三（线性代数）模拟试卷 50 答案与
9、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C)
10、 中没有非齐次特解， (D)中两个齐次解 1 与 1 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 2 仍是基础解系， 仍是特解【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n， AX=b 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非充分条件(可能无解) ，(C) 是必要条件，但非充分条件(b 由 1， 2， 3 表出，可能不唯一)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b，若有解
11、，则必有唯一解，也可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(ATb)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 有解 r(A)=r(Ab) ，r(B) 任意(BY=0总有解，至少有零解)【知识模块】 线性代数9 【
12、正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1( 2+3)=2，3，4，5 T，故选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 1=1，1，0，0，0 T， 2=1，0，1，0，0T， 3=1，0，0，1，0 T， 4=1，0，0，0，1 T【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 k1，1，1，1 T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 ai=0【试题解析】 AX=b 有解 r(A)=r(A b) ai=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 设 使方程组有解，即当 其中k1，k 2，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1，k
13、2，k 3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2，2，1，1 T【试题解析】 方程组的通解为由题设 x1=x2，x 3=x4 得解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足 及 x1=x2，x 3=x4 的解为2， 2，1，1 T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 ，k 1，k 2R【试题解析】 由 =1+22 3=1+2+3+4=1+32+3+24 可知均为 Ax= 的解，故 1 2= 均为Ax=0 的解由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 2， 3 4，可知 Ax=0 的基础
14、解系中至少含有两个向量，也即 4r(A)2，即 r(A)2综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故1 2， 2 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 ，k1，k 2R【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 Ab= (1)a=1，b=3 时，r(A)=r(Ab)，方程有解(2) 导出组基础解系为：1=1，2，1，0，0 T， 2=1，2，0，1，0 T， 3=5，6，0，0，1 T(3)方程通解：非齐次特解为 =2，3，0，0，0 T，故通解为 k11+k22+k33+【知识模块】 线性代数17 【正确
15、答案】 对应齐次方程组有解 =1 2=2，2，2 T 或1，1，1 T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(Ab)2，从而 r(A)=r(Ab)=2，故方程组有通解 k1，1，1 T+3，2，0 T将1， 2 代入第一个方程，得3a+2b=2 ，a2c=2，解得a=22c ，b= 23c ，c 为任意常数，可以验证：当 a=22c ，b=23c，c任意时，r(A)=r(Ab)=2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1) 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1， 0，1 T+k1，1，2，0 T 知 5=(k+2)
16、1+(k+1) 2+2k3+4， 故 4=(k+2)1 (k+1) 22k 3+5 (2) 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 2+23=0，即 1， 2， 3 线性相关，r(1， 2， 3)3，若 4 能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和 r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 1=22 3 及 2，
17、 3， 4 线性无关组知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，2，1，0 T，又 =1+2+3+4，即1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 故非齐次方程组有特解=1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，2，1，0 T+1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， nm ，因已知 AB=O，故知B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=nm ，知 1， 2， nm 是AX=0 的基础解系若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， nm线性
18、表出，且表出法唯一，即 =x11+x22+xnm nm 1， 2， nm =B，即存在唯一的 ，使 B=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)( 2+3)=1 3=1，3，2 T， 2=(2+3)( 3+1)=2 1=2，3，1 T因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系取 AX=b 的一个特解为 = (3+1)=0，1，0 T故 AX=b 的通解为 k11，3，2T+k22，3，1 T+0，1，0 T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax1+bx2+
19、cx3=d，由 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 得解9k，5k，3k T，即a=9k，b=5k，c=3k，k 是任意常数，=1，1，3 T 是非齐次方程解，代入得d=b=5k，故原方程是 9x1+5x23x 3=5【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 将方程组()的通解 k11，1，1，0 T+k22，1，0，1 T+ 2，3，0，0 T=2k 1+2k2，3+k 1k 2， k1，k 2T，代入方程组()，得化简得 k 1=2k2+6将上述关系式代入()的通解，得方程组() ，( ) 的公共解为：2(2k 2+6)+2k2， 3+2k2+6k 2，2k 2+6，k 2T=
20、8，k 2+3，2k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对方程组()，因增广矩阵为 知其通解为 k1，2，1，1 T+1，2，1，0 T=1 k，2+2k，1k，k T将通解代入方程组() ， 当a=1，b=2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为r(B)=r(B)=3 故方程组()和()是同解方程组【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由3E+A=0= 3 为 A 的特征值由AAT=2E，A0= A= 4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 反证法 假设 1+2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(1+2)=(1+2)，则( 1)1
21、+( 2)2=0因为 12，所以 1， 2 线性无关，则=1=2矛盾【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2，y，1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值1=2， 2=1， 3=1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p1，p 2，p 3= ，则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=左乘 B，得 B2=E=B=2， ( 21)=0，0， 故 =1，或 =1，B 的特征值的取值范围是1，1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 利用特征值的定义设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则AB= 式两边左乘 B，得BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0， 0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB= AB=0，从而 BA 也有 =0 的特征值故 AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值又 A*的特征值为 ak，且相应的特征向量相同，即 即 Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数
