1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆2 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -13 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1
2、+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=04 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *（D）交换 A*的第 l 行与第 2 行得-B *5 设向量组 I： 1， 2，.， r 可由向量组： 1， 2，.， s 线性表示下列命题正确 的是（A）若向量组 I 线性无关，则 rs（B）若向量组 I 线性相关，则 rs.（C）若向量组线性
3、无关，则 rs（D）若向量组线性相关，则 rs6 设有任意两个 n 维向量组 1， 2，.， m 和 1， 2，., m，若存在两组不全为零的数 1， 2，.， m,k1，k 2，.，k m，使( 1+k1)+2+k2)2+.+(m+km)m+=(1-k1)1+(2-k2)2+( m-km)m=0， 则（A） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性相关（B） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性_无关（C） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性无关（D） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关7 设 A，B 为满足
4、 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向鞋组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3.（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 59 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x
5、=0（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仪有零解（D）当 mn 时必有非零解10 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量二、填空题11 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a=_.12 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-
6、8x2x3 为标准形13 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.14 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式 2A =-48，则 =_.15 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.16 设 A 为 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_17 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a
7、3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 A= =18 计算行列式丨 A 丨；19 当实数 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解20 设向量 1， 2，.， t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 考研数学三（线性代数）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E， (E+A)(E-A+A 2
8、)=E+A3=E 所以，由定义知 E-A，E+A 均可逆故选 (C)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A，B，A+B 均可逆，则有 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C) 注意，一般情况下(A+B) -1A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k11+k
9、2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0 由于不同特征值的特征向量线性无关，所以口1， 2 线性无关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 A【试题解析】 因为向量组 I 可由线性表出所以 r(1， 2，.， r)r(1， 2，.， s)s 如果向量组 1 线性无关，则 r(1， 2，.， r)=r可见(A)正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(0，0，0) T， 1=(1， 0，0) T， 2=(0，1，0)T， 3=(0，1， 0)T，可知(B) 不 正确。 若 1=(1，0，
10、0) T， 2=(2，0，0)T， 3=(3，0， 0)T， 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T，可知(C) 不正确 关于(D)，请同学举一个简单的反例说明其不正确如：当向量组 1 只包含(0，0) T，向量组由(1， 0)T 与(0，0) T 组成时，便可否定选项(B) 与(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若向量组 1， 2，.， m 线性无关，即 若 x11+x22+xss=0，必有 x1=0，x 2=0，x s=0既然 1， 2，.， m 与 k1，k 2，.，k m 不全为零， 由此推不出某向量组线性无关，故应排除(B)，(C) 一般情况下，对
11、于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0， 不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0，不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 1(1+1)+2(2+2)+ m(m+m)+k1(1-1)+k2(2-2)+km(m-m)=0，又 1， 2，.， m，k 1，k 2，.，k m 不全为零，故1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关故应选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 若
12、设 A=(1，0)，B=(0，1) T，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向景组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A) 正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说 明有代数余子式 Aij0，即丨 A 丨中有 n-1 阶子式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系仅含有一个非零解向量应选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确
13、答案】 1/2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 f=9y 32【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 -1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 -27【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 n-m【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 按第一列展开，即得丨 A 丨=1. +a(-1)4+1 =1-a4【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 选x3 为自由变量，得方程组通解为：(0，-1，0，0) T+k(1，1，1，
14、1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (定义法) 若有一组数 k,k1，k 2，.，k t，使得 k+k 1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，.， t 是 Ax=0 的解，知 Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左乘上式的两边，有 (k+k 1+k2+kt)A=0 由于 A0，故k+k1+k2+kt=0 对重新分组为(k+k 1+kt)+k11+k22+ktt=0 把代入，得 k11+k22+ktt=0 由于 1， 2，.， t 是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0，k 2=0，k t=0 代人式得：k=0 因此，向量组，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 (用秩) 经初等变换向量组的秩不变把第 1列的-1 倍分别加至其余各列，有 (，+ 1，+ 2，+ t)(， 1， 2，.， t) 因此 r(，+ 1，+ 2，+ t)=r(,1， 2，.， t) 由于 1， 2，. ， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩 r(1， 2，.， t)=t，又 必不能由 1， 2，.， t 线性表出(否则 Aft=0)，故 r(1， 2，.， t,)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2，+ t)=t+1 即向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数
