1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 83 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 维向量组 1， 2， m(3mn)线性无关的充分必要条件是 【 】（A）存在不全为 0 的数 k1，k 2，k m，使 k11k 22k mm0（B） 1， 2， m 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， m 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出（D） 1， 2， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出2 设 4 阶方阵 A 的行列式A0，则 A 中 【 】（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列
2、向量是其余列向量的线性组合3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 【 】（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB04 设 n 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（A）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A 1 m与矩阵 B 1 m等价5 设 1， 2， ， m 均为 n 维向量，则 【 】（A
3、）若 k11k 22 kmm0，则 1， 2， m 线性相关（B）若对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11k 22k mm0，则 1， 2， ， m 线性无关（C）若 1， 2， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11k 22k mm0（D）若 010 2 0m0，则 1， 2， m 线性无关6 设有向量组 1(1 ， 1，2，4)， 2(9，3，1，2)， 3(3，0，7，14)，4 (1，2， 2，0)， (2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是 【 】（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1，
4、 2， 4， 57 设矩阵 A 的秩为 R(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式（D）非齐次线性方程组 Ab 一定有无穷多组解8 若向量组 1， 2， 3 线性无关； 1， 2， 4 线性相关，则 【 】（A） 1 必可由 2， 3， 4 线性表示（B） 2 必不可由 1， 3， 4 线性表示（C） 4 必可由 1， 2， 3 线性表示（D） 4 必不可由 1， 2， 3 线性表示9 设 A、B 为满足 ABO 的任意两个非零矩阵，则必有 【
5、】（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关10 设向量组() ： 1， 2， ， r 可由向量组()： 1， 2， s 线性表示，则 【 】（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关二、填空题11 已知向量组 1(1 ，2 ，3，4)， 2(2，3，4，5)， 3(3，4，5，6)，4 (4，5，6 ，7)，
6、则该向量组的秩为 _12 设 a1bi0(i1，2，n)，则矩阵 A 的秩为_13 设 A 是 43 矩阵，且 r(A)2，B ，则 r(AB)_14 已知向量组 1(1 ，2 ，1，1)， 2(2，0，t，0)， 3(0，4，5，2)的秩为 2，则 t_15 若向量组() ： 1(1，0，0) T， 2(1 ，1，0) T， 3(1，1，1) T 可由向量组()： 1， 2， 3， 4 线性表示，则()的秩为_16 若向量组 1(1 ，1， )T， 2(1， ，1) T， 3(，1，1) T 线性相关，则_17 若向量组 1(1 ，a ， 1，1) T， 2(1 ，1，a ，1) T， 3(
7、1，1，1，a) T 线性无关，则实数 a 的取值范围是 _18 设 3 阶方阵 A 的特征值 1， 2， 3 互不相同， 1， 2， 3 依次为对应于1， 2， 3 的特征向量，则向量组 1，A( 1 2)， A2(1 2 3)线性无关的充分必要条件是 1， 2， 3 满足 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 AkX0 有解向量 ，且 Ak-10，证明：向量组 ，A，A k-1 线性无关20 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 ，使得向量组 ，A，A 2 线性无关且满足A33A2A 2 (1) 记矩阵 P，A ，
8、A 2，求 3 阶矩阵 B，使 APBP -1； (2)计算行列式AE21 设向量组() ： 1， 2， ， r 线性无关，且()可由()： 1， 2， s 线性表示证明：在() 中至少存在一个向量 j，使得向量组 j， 2， r 线性无关22 设 n 个 n 维列向量 1， 2， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组P1，P 2，P n 线性无关 P 023 设向量 可由向量组 1， 2， n 线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组 1， 2， n 线性无关24 设向量组 1(1 ，1， 1，3) T， 2(1，3，5，1) T， 3(3，2，1，a 2)T， 4(2，6，
9、10，a) T (1)a 为何值时，该向量组线性无关 ?并在此时将向量(4，1，6 ，10) T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2)a 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组25 已知向量组() ： 1(0，1，1) T， 2(a，2，1) T， 3(6，1，0) T 与向量组()： 1(1，2，3) T， 2(3 ，0，1) T， 3(9，6，7) T 具有相同的秩，且 2可由向量组() 线性表示，求 a、b 的值26 已知 i(a i1，a i2，a im)T(i1，2，r；rn)是 n 维实向量，且1， 2， r 线性无关 已知 (b 1，b 2，b m
10、)T 是线性方程组 的非零解向量 试判断向量组 1， 2， r， 的线性相关性27 设向量组() ： 1， 2， ， r 线性无关，向量组()可由向量组()：1， 2， s 可由() 线性表示：ja 1j1a 2j2a rjr，(j1，2，s)证明：向量组()线性无关 矩阵A(a ij)rs 的秩为 s考研数学三（线性代数）模拟试卷 83 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时，方程组 BX0 中的方程个数 n 小于未知量个数 m，
11、故BX0 有非零解，从而方程组(AB)X0 有非零解 AB0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 当 A 1 m与 B 1 m等价时， A 与 B 有相同的秩，由已知条件知 A 的秩为 m，故 B 的秩亦为 m，即 1， m 线性无关；若1， ， m 线性无关，则矩阵 A 与 B 有相同的秩 m，A 与 B 又都是 nm 矩阵，故 A 与 B 有相同的秩标准形(矩阵)P，于是 A 与 P 等价，B 也与 P 等价，由等价的性质即知 A 与 B 等价综上可知 D 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由下列矩阵的初
12、等行变换： 知 1， 2， 4 是一个极大无关组或用排除法：因 3 31 2， 52 1 2，故选项 A、C 、D 组都是线性相关的，因而只有 B 正确【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 由部分组与整体组线性相关性的关系，知 1， 2 线性无关，而1， 2， 4，线性相关， 4 11 22 11 220 3，即 4 可由1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由 ABO 知 B 的每一列都是齐次线性方程组 A0 的解向量，又由 BO 知 B 至少有一列非零，故方程组 A0 有非零解，因此 A
13、的列向量组线性相关同理由 BTAT(AB) TO 知 BT 的列向量组，即 B 的行向量组线性相关【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知秩()秩()，而秩( )s，故秩()s，当 rs 时，有秩()sr，故 ()必线性相关【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由 ， 知 r(1， 2， 3， 4)r(B)2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 由 知 r(A)1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 3【试题解析】 由 A 知其秩为 2 t3【知识模块】 线性代数15 【
14、正确答案】 3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1 或2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a1【试题解析】 由 1 2 3 知 1， 2， 3 线性无关 r(1， 2， 3)3 a1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 230【试题解析】 230设 k11k 2A(1 2)k 3A2(1 2 3)0，由Aj jj(j 1，2，3) ，得 k11k 2(11 22)k 3(121 222 323)0，即(k1 1k2 12k3)1( 2k2 22k3)2( 32k3)30，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组 故向量组 1， A(1 2)，A 2(1 2 3)
15、线性无关 方程组(*)只有零解 方程组(*) 的系数行列式 2320，故所求条件为230【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设有一组数 0， 1， k-1 使 0 1A k-1Ak-10，两端左乘 Ak-1，由于 Ak+m0(m0，1，2，)， 0Ak-10，又 Ak-10， 00，同理可证 1 k-10，故 ，A ，A k-1 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)APA A A2A A2 A3A A 2 3A2A 2 其中 B ，使 APPB，或 APBP -1 (2)由(1)有 APBP -1 AEP(BE)p-1
16、 AEBE4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对() 中每个向量 j，向量组 j， 2， r 都线性相关 j 可由 2， ， r 线性表出 ()可由 2， r 线性表出 ()可由 2， r线性表出 1 可由 2， r 线性表出，这与()线性无关矛盾【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 向量组 P1，P 2，P n 线性无关 行列式P 1 P2P n0 P 1 2 n0 P 0【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由条件有 k11k 22k nn必要性设表示唯一，若 11 22 nn0， 与两端分别相加，得 (k 1 1)1(k 2 2)2 (k n n)n，由表示唯一，比较与
17、，得kjk j j(j1，2，n) j0(j1，2， n)， 1， 2， n 线性无关充分性：设 1， 2， n 线性无关，若还有s11s 22s nn， ，得(k 1s 1)1(k 2s 2)2(k ns n)n 0，由 1， 2， n 线性无关，得 kjs j(j1，2，n)，即式必为 式，故表示唯一【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对矩阵 A 1 2 3 4 作初等行变换，化为阶梯形： (1)当 a2 时，矩阵 A 1 2 3 4的秩为 4，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关此时设 22 33 44，解得( 1， 2， 3， 4)( )，即有 (2)当 a2 时，向量组 1
18、， 2， 3， 4 线性相关，此时该向量组的秩为3， 1， 2， 3(或 1， 3， 4)为其一个极大无关组【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 1， 2 是向量组() 的一个极大无关组， ()的秩为 2，故( )的秩为 2故() 线性相关，从而行列式 1230，由此解得 a3b又 3 可由()线性表示，从而 3 可由 1， 2 线性表示，所以向量组 1， 2，届线性相关，于是，行列式 1230，解之得 b5，所以 a15，b5【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由题设条件有 Ti0(i1，2，r)设 k11 k rrk r+10 (*) 两端左乘 T，得 kr+1T0，又0， T
19、20，故 kr+10 代入(*)式，得 k11k rr0，又1， ， r 线性无关，所以有 k1k r，0，因此 1， r， 线性无关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 不妨设 i(i1，r)及 j(j1，s)均为 n 维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： 1 2 s 1 2 rA，或 BPA，其中B 1 2 s为，ns 矩阵，P 1 2 r为 nr 矩阵，且 P 的列线性无关于是可证两个齐次线性方程组 B0 与 A0 同解：若 BP(A)0，因 P 的列线性无关，得 A0；若 A0，两端左乘 P，得 PAB0，所以 B0 与A0 同解， sr(B)sr(A)， r(B)r(A)， ()线性无关 r(B)s r(A) s【知识模块】 线性代数
