1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 97 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 AX=0 和 BX=0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（A）AX=0 和 BX=0 同解 r(A)=r(B)（B） AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B)（C） AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B)（D）r(A)r(B)AX=0 的解都是 BX=0 的解2 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=r则方程组 Ax=（A）在 r=m 时有解（B）在 m=n 时有唯一解（C）在 rn 时有无穷多解（D）在 r=n 时有唯一解3 的一个基础解系为（A）(
2、0 ，一 1，0，2) T（B） (0，一 1，0，2) T，(0，12，0，1) T（C） (1，0，一 1，0) T，(一 2，0，2，0) T（D）(0 ，一 1，0，2) T，(1，0，一 1，0) T4 当 A=( )时， (0，1，一 1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX=0 的基础解系（A）(一 2，1，1) （B）（C）（D）5 r(A)=2，则( )是 A*X=0 的基础解系（A）(1 ，一 1，0) T，(0，0，1) T（B） (1，一 1，0) T（C） (1，一 1，0) T，(2 ，一 2，a) T（D）(2 ，一 2，a) T，(3 ，一 3，b) T6 设
3、A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组AX=0 的一个基础解系，则 A*X=0 的基础解系可为( )（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 47 线性方程组 的通解可以表不为（A）(1 ，一 1，0，0) T+c(0，1，一 1，0) T，c 任意（B） (0，1，1，1) T+c1(0，一 2，2，0) T+c2(0，1，一 1，0) T，c 1，c 2 任意（C） (1，一 2，1，0) T+c1(一 1，2，1，1) T+c2(0， 1，一 1，0) T，c 1，c 2 任意（D）(1 ，一 1
4、，0，0) T+c1(1，一 2，1，0) T+c2(0，1，一 1，0) T，c 1，c 2 任意8 设 1， 2 是非齐次方程组 AX= 的两个不同的解， 1， 2 为它的导出组 AX=0 的一个基础解系，则它的通解为( )（A）k 11+k22+(1 一 2)2（B） k11+k2(1 一 2)+(1+2)2（C） k11+k2(1 一 2)+(1 一 2)2（D）k 11+k2(1 一 2)+(1+2)29 设线性方程组 AX= 有 3 个不同的解 1， 2， 3，r(A)=n 一 2，n 是未知数个数，则( )正确（A）对任何数 c1，c 2，c 3，c 11+c22+c33 都是
5、AX= 的解；（B） 21 一 32+3 是导出组 AX=0 的解；（C） 1， 2， 3 线性相关；（D） 12， 2 一 3 是 AX=0 的基础解系二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 已知(1 ，a，2) T，( 一 1，4，b) T 构成齐次线性方程组 的一个基础解系，求 a，b，s ，t11 求此齐次方程组的一个基础解系和通解12 讨论 p，t 为何值时，方程组 无解?有解?有解时写出全部解13 已知线性方程组 AX= 存在两个不同的解求 ，a求 AX= 的通解14 设 计算行列式 A实数 a 为什么值时方程组 Ax= 有无穷多解?在此时求通解14 设 n1，n
6、元齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为15 讨论 a 为什么数时 AX=0 有非零解?16 在有非零解时求通解17 已知线性方程组 有解(1，一 1，1，一1)T(1)用导出组的基础解系表示通解；(2)写出 x2=x3 的全部解17 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解18 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 219 求 a，b 的值和方程组的通解20 已知 =(0，1，0) T 是方程组 的解，求通解20 设线性方程组为21 讨论 a1，a 2，a 3，a 4 取值对解的情况的影响22 设 a1=a3=k，a 2=a4=一 k(k0)，并且(一 1，1，1) T 和(1，1，一 1)T
7、 都是解，求此方程组的通解23 设非齐次方程组 AX= 有解 1， 2， 3，其中 1=(1，2，3，4)T， 2+3=(0，1，2，3) T，r(A)=3求通解24 已知 4 阶矩阵 A=(1,2,3,4)，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3又设=1+2+3+4，求 AX= 的通解25 已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c) ，a，b，c 不全为 0，矩阵并且 AB=0，求齐次线性方程组 AX=0 的通解26 设(I)和( )是两个四元齐次线性方程组， (I)为 ()有一个基础解系(0， 1，1，0) T，(一 1，2，2，1) T求(I)和()的全部公共解27 设(
8、I)和( )都是 4 元齐次线性方程组，已知 1=(1，0，1，1) T， 2=(一1，0，10) T， 3=(0，l，1，0)。是(I)的一个基础解系， 1=(0，1，0，1)T， =(1，1 一 1，0) T 是()的一个基础解系求(I)和()公共解28 设(I)和( )都是 3 元非齐次线性方程组， (I)有通解 1+c11+c22， 1=(1，0，1，) ，1=(1，1，0)， 2=(1，2，1)；( )有通解 2+c， 2=(0，1，2)，=(1，1，2)求(I)和 ()的公共解考研数学三（线性代数）模拟试卷 97 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
9、求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AX=0 和 BX=0 同解r(A)=r(B)，但 r(A)=r(B)推不出 AX=0 和BX=0 同解，排除 AAX=0 的解都是 BX=0 的解，则 AX=0 的解集合 的解集合，于是 nr(A)nr(B)，即 r(A)r(B)(C)对， (B)不对nr(A)n 一 r(B)推不出 AX=0 的解集合 的解集合，(D)不对【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 用基础解系的条件来衡量 4 个选项先看包含解的个数因为n=4，系数矩阵为 其秩为 2，所以基础解系应该包含 2 个解排除A再看无关性 C
10、 中的 2 个向量相关，不是基础解系，也排除B 和 D 都是两个无关的向量，就看它们是不是解了(0，一 1，0，2) T 在这两个选项里都出现，一定是解只要看(0，12，0，1) T 或(1，0，一 1，0) T(其中一个就可以)如检查(1，0，一 1，0) T 是解，说明(D) 正确或者检查出(0，12，0，1) T 不是解，排除B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由解是 3 维向量知 n=3，由基础解系含有两个解得到 3 一 r(A)=2，从而 r(A)=1由此着眼，只有 (A)中的矩阵符合此要求【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数6 【正
11、确答案】 D【试题解析】 AX=0 的一个基础解系由一个向量构成，说明 4 一 r(A)=1，r(A)=3，从而 r(A*)=1则 A*X=0 的基础解系应该包含 3 个解排除(A) 和(B) 由于(1，0， 1，0) T 是 AX=0 的解，有 1+3=0，从而 1,2,3 线性相关，排除(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 A i=，因此 A(21 一 32+3)=2 一 3+=0，即 21 一 32+3 是AX=0 的解，B 正确c 11+c22+c33 都是 AX= 的解 c1+
12、c2+c3=1，(A)缺少此条件.当 r(A)=n 一 2 时，AX=0 的基础解系包含两个解，此时 AX= 存在 3 个线性无关的解，因此不能断定 1， 2， 3 线性相关C 不成立 1 一 2， 2 一 3 都是AX=0 的解，但从条件得不出它们线性无关，因此 D 不成立.【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 此齐次线性方程组的基础解系包含 2 个解，未知数有 3 个，则系数矩阵 的秩为 1，立刻得到 s=2，t= 一 1于是方程组为把(1，a，2) T，(一 1，4，b) T 代入，得 a=2，b=1【知识模块】 线性代数11 【正确
13、答案】 用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵则系数矩阵的秩为 2，小于未知数个数4，此齐次方程组有非零解进一步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵：选定自由未知量 x2，x 4，x 5，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组： (一般情况都把阶梯形矩阵的台角所在列号对应的未知量(如本题中的 x1，x 2)作为待定未知量，其他未知量作为自由未知量这样得到的同解方程组直接用自由未知量表示出待定未知量，)对自由未知量赋值，决定基础解系一般做法为让自由未知量轮流地取值 1(其他未知量取值 0)，这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为： 1=(一 23，1，0，0，0) T， 2=(一 13，0，
14、0，1，0) T， 3=(一 29，0，一 13，0，1) T，写出通解 c11+c22+c33，其中 c1，c 2，c 3 可取任意数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当 t一 2 时，有 r(A) r(A) ，此时方程组无解当 t=一 2 时(p 任意)，r(A)=r(A)34，此时有无穷多解当 t=一 2，p=一 8 时，得同解方程组令 x3=x4=0，得一特解(一 1，1，0，0) T导出组有同解方程组 对 x3，x 4 赋值得基础解系(4，一 2，1，0) T，(一 1，一2，0，1) T此时全部解为(一 1，1，0，0) T+c1(
15、4，一 2，1，0)T+c 2(一 1，一2，0，1) T，其中 c1，c 2 可取任何数 当 t=一 2， p一 8 时，得同解方程组令 x4=0，得一特解(一 1，1，0，0) T导出组有同解方程组令 x4=1，得基础解系(一 1，一 2，0，1) T此时全部解为(一1，1，0，0) T+c(一 1，一 2，0，1) T，其中 c 可取任何数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AX= 存在两个不同的解( 即有无穷多个解) r(A)=r(A)3用矩阵消元法：则 1 一 2=a 一 +1=0，而 一 10(否则第二个方程为 0=1，无解)得 =一 1，a=一 2得 AX= 的同解方程组求
16、出通解(32，一 12，0) T+c(1，0，1) T，c 可取任意数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 如果顺题目要求，先做，算得 A=1 一 a4，再做时，由无穷多解A=0，a=1 或一 1然后分别就这两种情况用矩阵消元法进行讨论和求解这个过程工作量大下面的解法要简单些解两个小题可以一起进行：把增广矩阵用第 3 类初等行变换化阶梯形A =B =1a4Ax= 有无穷多解的条件是 1 一 a4=一 a 一 a2=0，即 a=一 1此时求出通解(0，一1，0，0) T+c(1，1，1，1) T，c 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 用矩阵消元法，把第
17、 n 行除以 n 移到第一行，其他行往下顺移再 i 行减第一行的 j 倍(i1)a=0 时 r(A)=1，有非零解下面设 a0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第 2 至n 各行都除以 a，然后把第 1 行减下面各行后换到最下面，得于是当 a=一 n(n+1)2 时 r(A)=n1，有非零解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 a=0 时 AX=0 与 x1+x2+xn=0 同解，通解为 c 1(1，一1，0，0) T+c2(1，0，一 1，1) T+cn-1(1，0，0，一 1)T，c i，任意 a=一 n(n+1) 2 时，通解为 c(1，2，3，n) T， c 任意【知识模块】 线性代
18、数17 【正确答案】 (1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，可得到 =u，但是不能求得它们的值(1)此方程组已有了特解(1，一 1，1，一 1)T，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解对系数矩阵作初等行变换：如果 21=0，则(1，一 3，1，0) T 和(一 12，一1，0，1) T 为导出组的基础解系，通解为(1，一 1，1，一 1)T+c1(1，一 3，1，0)T+c2(一 12，一 1，0，1) T，c 1，c 2 任意如果 2 一 10，则用 2 一 1 除 B 的第三行： (一 1，12，一12，1) T 为导出组的基础解系，通解为(1，一 1，1，一 1)T+c(一 1，1
19、2，一12，1) T，c 任意(2)当 2 一 1=0 时，通解的 x2=一 1 一 3c1 一 c2，x 3=1+c1，由于 x2=x3，则有一 13c1 一 c3=1+c1，从而 c2=一 24c1，因此满足 x2=x3 的通解为(2，1， 1，一 3)T+c1(3，1，1，一 4)T当 2 一 10 时，一 1+c2=1 一 c2，得c=2，此时解为( 一 1，0，0，1) T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 1， 2， 3 是 AX= 的 3 个线性无关的解，则， 2 一 1， 3 一1 是 AX=0 的 2 个线性无关的解于是 AX=0 的解集合的秩
20、不小于 2，即 4 一 r(A)2，r(A)2 ， 又因为 A 的行向量是两两线性无关的，所以 r(A)2 两个不等式说明了 r(A)=2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 r(A)=2，得出 a=2，b=一 3代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵：得同解方程组 求出一个特解(2，一 3，0，0) T 和 AX=0 的基础解系(一 2，1，1，0) T，(4，一 5，0，1) T得到方程组的通解：(2，一 3，0，0) T+c1(一 2，1，1，0) T+c2(4，一 5，0，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 把 =(0，1，0) T 代入方
21、程组可求得 b=1，d=3，但是 a 和 c 不能确定于是要对它们的取值对解的影响进行讨论记系数矩阵为 A看 r(A)，一定有r(A)2(因为 1，2 两行无关)则当 a+c3 时r(A)=3，则方程组唯一解 则当 a+c=3 时 r(A)=2，有方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组 求得(1，一 1，1) T 构成基础解系方程组的通解为：(0 ，1，0) T+c(1，一 1，1) T，c 任意【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于于是，当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不同时，增广矩阵的行列式不为 0，秩为 4
22、，而系数矩阵的秩为 3因此，方程组无解如果 a1，a 2，a 3，a 4 不是两两不同，则相同参数对应一样的方程于是只要看有几个不同，就只留下几个方程如果有 3 个不同，不妨设 a1，a 2，a 3 两两不同，a 4 等于其中之一，则可去掉第 4 个方程，得原方程组的同解方程组 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a 2a1)(a3a1)(a3a2)0，因此方程组有唯一解如果不同的少于 3 个，则只用留下 2 个或 1 个方程，此时方程组有无穷多解【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 此时第 3，4 两个方程分别就是第 1，2 方程，可抛弃，得(一 1，1，1) T 和(1，1，一 1)T
23、 都是解，它们的差(一2，0，2) T 是导出组的一个非零解本题未知数个数为 3，而系数矩阵的秩为 2(注意 k0)于是(一 2，0，2) T 构成导出组的基础解系，通解为：(一 1，1，1) T+c(一 2，0，2) T，c 可取任意常数 .【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1 是 AX= 的一个特解，只用再找 AX=0 的基础解系从解是 4维向量知，AX= 的未知数个数 n=4r(A)=3，于是，它的 AX=0 的基础解系由 1个非零解构成 由解的性质，2 1 一( 2+3)=(2，3，4，5) T 是 AX=0 的解于是，AX= 的通解为(1 ，2，3， 4)T+c(2，3，4，
24、5) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 AX= 用向量方程形式写出为 x11+x22+x33+x44=，其导出组为 x11+x22+x33+x44=0条件 =1+2+3+4 说明 (1，1，1，1) T 是 AX= 的一个特解 1=22 一 3 说明(1，一 2，1，0) T 是导出组的一个非零解又从 1， 3， 4线性无关和 1=22 一 3，得到 r(A)=3，从而导出组的基础解系只含 4 一 r(A)=1 个解，从而(1 ，一 2，1，0) T 为基础解系AX= 的通解为 (1，1，1，1) T+c(1，一2，1，0) T，c 可取任意数【知识模块】 线性代数
25、25 【正确答案】 由于 AB=0，r(A)+r(B)3，并且 B 的 3 个列向量都是 AX=0 的解 (1)若 k9，则 r(B)=2，r(A)=1，AX=0 的基础解系应该包含两个解(1，2，3)T 和 (3，6，k) T 都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c1(1，2，3) T+c2(3，6，k) T，其中 c1，c 2 任意 (2)如果 k=9，则 r(B)=1，r(A)=1 或2 r(A)=2，则 Ax=0 的基础解系应该包含一个解，(1，2，3) T 构成基础解系，通解为： c(1，2，3) T，其中 c 任意 r(A)=1，则 Ax=0 的基础解系包含两个解
26、，而此时 B 的 3 个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系 由 r(A)=1，A 的行向量组的秩为 1，第一个行向量(a ，b， c)(0!)构成最大无关组，因此第：二，三个行向量都是(a， b，c) 的倍数，从而 AX=0 和方程 ax1+bx2+cx3=0 同解由于(1， 2，3) T 是解，有 a+2b+3c=0，则 a，b 不都为 0(否则 a，b，c 都为 0)，于是(b，一 a，0) T 也是 ax1+bx2+cx3=0 的一个非零解，它和(1，2，3) T 线性无关，一起构成基础解系，通解为： c 1(1，2，3) T+c2(b，一 a，0) T，其中 c1，c 2 任
27、意【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 一种思路是构造一个线性方程组()，使得它也以 1， 2 为基础解系于是() 和()同解，从而 (I)和()的公共解也就是(I)和()的公共解，可以解(I) 和( )的联立方程组来求得例如()可以是： 这种思路的困难在于构造方程组() ，在考场上不是每个考生都能很顺利完成的另一种思路为：(I)和 ()的公共解都必定是()的解，因此有 c11+c22 的形式它又满足(I)，由此可决定 c1 与 c2 应该满足的条件具体计算过程：将 c11+c22=(一c2，c 1+2c2，c 1+2c2，c 1)T，代入(I)，得到 解出 c1+c2=0即当 c1+c2
28、=0 时 c11+c22 也是 (I)的解于是(I)和()的公共解为：c( 1 一 2)，其中 c可取任意常数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 现在(I)也没有给出方程组，(I) 有一个基础解系1， 2， 3，c 11+c22 满足 (I)的充分必要条件为 c11+c22 能用 1， 2， 3 线性表示，即 r(1， 2， 3，c 11+c22)=r(1， 2， 3)于是可以通过计算秩来决定 c1，c 2 应该满足的条件： 于是当 3c1+c2=0 时c11+c22 也是(I)的解从而 (I)和()的公共解为：c( 132)，其中 c 可取任意常数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 公共解必须是()的解，有 2+c 的形式，它又是(I)的解，从而存在 c1，c 2 使得 2+c=+c11+c22，于是 2+c 一 1 可用 1， 2 线性表示，即r(1， 2， 2+c 一 1)=r(1， 2)=2 得到c=12，从而(I)和() 有一个公共解 2+2=(1 2，32，3)【知识模块】 线性代数
