1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (87 年 )设 f(x)在 x=a 处可导，则 等于（A）f(a)（B） 2f(a) （C） 0（D）f(2a)2 (88 年 )f(x)= +6x+1 的图形在点(0，1)处切线与 x 轴交点坐标是（A）（B） (一 1，0)（C）（D）(1 ，0)3 (88 年 )若函数 y=f(x)，有 f(x0)= 则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是（A）与x 等价无穷小（B）与 x 同阶无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小4 (88
2、 年 )设函数 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则 f(x)在 x0 处（A）有极大值（B）有极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少5 (89 年 )当 x0 时，曲线（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线。（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线6 (89 年 )若 3a2 一 5b0则方程 x3+2ax3+3bx+4c=0（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根7 (89 年 )设两函数 f(x)和 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(
3、x)=f(x)g(x)在 x=a处（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定8 (89 年 )设 d(x)在 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是9 (90 年 )已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2则当 n 为大于 2 的正整数时,f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是（A）n!f(x) n+1（B） nf(x)n+1（C） f(x)2n（D）n!f(x) 2n10 (90 年) 设 F(x)= 其中 f(x)在 x=0 处可导,f(0)0，f(0)=0，则 x=0是 F(x)的（A）连续点（B）第
4、一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定11 (91 年) 若曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1 ，-1) 处相切其中 a，b 是常数则（A）a=0 ，b=一 2（B） a=1，b=一 3（C） a=-3，b=1（D）a=-1，b= 一 112 (91 年) 设函数 f(x)在( 一，+)内有定义x 00 是函数 f(x)的极大点，则（A）x 0 必是 f(x)的驻点（B）一 x0 必是一 f(一 x)的极小点（C）一 x0 必是-f(x)的极小点（D）对一切 x 都有 f(x)f(x0)二、填空题13 (87 年) 设 yln(1+ax)，则 y
5、=_，y”=_14 (87 年) 曲线 y=arctanx 在横坐标为 1 的点处的切线方程是_；法线方程是_15 (88 年) 设 f(t)= 则 f(t)=_16 (88 年)17 (89 年) 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)则 f(0)=_18 (89 年) 设 tany=x+y则 dy=_。19 (90 年) 曲线 上对应于 处的法线方程是_20 (90 年) 设 则 y=_21 (91 年) 设 y-ln(1+3-x)，则 dy=_22 (91 年) 曲线 y= 的上凸区间是 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 (87 年) 设24 (87 年
6、) 求25 (87 年)(1)设 f(x)在a，b 内可导，且 f(x)0，则 f(x)在(a ，b) 内单调增加(2)设 g(x)在 x=c 处二阶可导，且 g(c)=0，g“(c)0，则 g(c)为 g(x)的一个极大值26 (88 年) 设 y=1+xexy，求 y|x=0,y“|x=027 (88 年) 将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝长各为多少?28 (88 年) 求函数 的单调区间，极值，其图形的凹凸区间，拐点，渐近线，并画图29 (89 年) 已知 求 y。30 (89 年) 已知31 (89 年) 确定函数
7、 的单调区间极值，凹向，拐点及渐近线32 (90 年) 求由方程 2yx=(x 一 y)ln(xy)所确定的函数 y=y(x)的微分 dy33 (90 年) 求曲线 (x0) 的拐点34 (90 年) 在椭圆 的第一象限部分上求一点 P使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中 a0，b0)35 (90 年) 证明：当 x0，有不等式考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=x 2+x+6，f(0
8、)=6，(0，1)点切线方程为 y1=6x，令 y=0 得 x=即此切线与 x 轴的交点坐标为【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 dy=f(x 0)x= 则当 x0 时，dy 与x 是同阶无穷小【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 f“(x)一 2f(x)+4f(x)0，令 x=x0 得 f“(x0)一 2f(x0)+4f(x0)=0，即 f“(x0)+4f(x0)=0 又 f(x0)0，则 f“(x0)0故 f(x)在 x0 处取得极大值【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 又 则原曲线有且仅有水平渐近
9、线 y=1【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 x5+2ax3+3bx+4c=0 为 5 次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根) 令 f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f(x)=5x 4+6ax2+3b 而 =(6a) 2 一60b=12(3a2 一 5b)0，则 f(x)0 因此,原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 本题的关键在于由题设可知在 x=a 的某邻域内有 f(a)f(x)，g(a)g(x)，由此能否得到 g(a).f(a)g(x)f(x)或 g(a)f(a)g(x)f
10、(x)，这在一般情况下是得不到此结论的 若取 f(x)=一(x 一 a)2，g(x)=-(x a)2，显然 f(x)和 g(x)在 x=a 处取极大值0，但 f(x)g(x)=(x 一 a)4 在 x=a 处取极小值则(A)(C)都不正确：若取 f(x)=1 一(xa)2，g(x)=1 一 (x 一 a)2，则 f(x)和 g(x)都有极大值 1，而 f(x)g(x)=1 一(xa) 22 在x=a 仍有极大值 1，则(B)也不正确，从而只有(D)对【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 h+ 时 存在只能得出 f(x)在 a 点的右导数存在，不能得出 a 点导数存
11、在，(B)(C)明显不对，因为 f(x)在 a 点如果没定义，(B)(C)中的两个极限都可能存在，但函数若在 a 点无定义，则在该点肯定不可导 则应选(D)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 等式 f(x)=f(x)2 两边对 x 求导得 f”(x)=2f(x)f(x)=2f(x) 2 f“(x)=23f(x)2f(x)=23f(x)4 f(n)(x)=f(x)n-1n!【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(0)=0，f(x) 在 x=0 处可导，则而 F(0)=f(0)=0，则极限存在但不等于 F(0)，故 x=0 为 F(x)的
12、第一类间断点【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由于曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3 在点(1，一 1)处相切，则在点(1一 1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1一 1) y=2x+a y|c=1=2+a 2y=y3+3xy2y，y| x=1=1 则 2+a=1，a=一 1 又 一 1=1+a+b=1 一1+b=b，b=一 1 所以应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 由 y=ln(1+ax)知，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【
13、试题解析】 则 x=1 处切线方程为 ，法线方程为 =一 2(x 一 1)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (1+2t)e 2t【试题解析】 则 f(t)=e 2t+2te2t=(1+2t)e2t【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 n!【试题解析】 f(x)=(x+1)(x+2)(x+n)+x(x+2)(x+3)(x+n)+x(x+1)(x+2)(x+n-1)f(0)=n!【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 等式 tany=x+y 两边求微分得 sec2ydy=dx+dy 则【知
14、识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法知【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 时，y“0，则曲线 上凸【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)设 ax 1x 2b，由拉格朗日中值定理知：f(x 2)一 f(x1)=f()(x2一 x1)，由 f(x)0 知
15、 f(x2)f(x 1)，则 f(x)在(a，b)上单调增(2)由于 g“(c)=根据极限的保号性知，存在 c 的某个去心邻域，使 则 c 点左半邻域 g(x)0，而 c 点的右半邻域 g(x)0由极值第一充分条件知 g(x)在 x=c 取得极大值【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 y=e xy+xexy(y+xy) 令 x=0，由 y=1+xexy 知 y=1，将 x=0，y=1 代入上式得 y|x=0=1， 将 xexy=y 一 1 代入 y=exy+xexy(y+xy) 得 y=e xy+(y1)(y+xy) 此式两边对 x 求导得 y“=e xy(y+xy)+y(y+xy)
16、+(y 一 1)(2y+xy”) 将 x=0，y=1 ，y(0)=1代入上式得 y“(0)=2【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的一段铁丝长为 a 一 x，圆与正方形面积之和为 y 令 y=0，得 又 处极小值由于极值点唯一，则此极小值为 f(x)的最小值【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 y=0 得 x=1，令y“=0，得 x=0x=2 函数在(一 ，1) 上单调增，在(1，+)上单调减在 x=1 取极大值 2，其图形(见图 25) 在(一，0)(2，+) 上是凹的在 (0，2)上是凸的，为曲线拐点 则该曲线有水平渐近线 y=
17、0。【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 令 y=0 得 x=一2；令 y“=0 得 x=一 3则该函数在 (一 2，0)上单调增，在(一，一 2)和(0，+)上单调减，在 x=一 2 取极小值 其图形在(一 3，0)和(0，+)上是凹的，在(一，一 3)上是凸的，拐点为 又则该曲线有水平渐近线 y=0和垂直渐近线 x=0【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 等式 2y-x=(x 一 y)ln(x 一 y)两边微分得 2dydx=(dxdy)ln(x 一y)+(x-y) (dx-dy)=(dx-dy)1+ln(xy)则【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 设 P(x0,y0)为所求点，则此点处椭圆的切线方程为令 x=0，得该切线在 y 轴上的截距为 令 y=0，得该切线在 x 轴上截距为 所围图形面积为 设因为 S1 的极大点即 S 的极小点为计算方便，求S 的极小值点改为求 S1 的极大值点【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 令 f(x)= (x0)所以 f(x)在(0，+) 上单调减少又 ，所以，当 x0 时，f(x)=即【知识模块】 一元函数微分学
