1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (01 年 )曲线 y=(x-1)2(x 一 3)2 的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）3 2 (01 年 )已知函数 f(x)在区间 (1 一 ，1+)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则（A）在(1 一 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1 一 ，1)和(1，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1 一 ，1)内，f(x)x，在(1，1+)内，f(x)x（D）在(1 一 ，1) 内，f(x)x,在(1，
2、1+)内，f(x)x3 (01 年 )已知函数 y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图 23 所示，则其导函数y=f(x)的图形为4 (02 年 )没函数 f(u)可导， y=f(x2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)=（A）一 1（B） 01（C） 1（D）055 (02 年 )设函数 y=f(x)在(0，+) 内有界且可导则6 (03 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点
3、（D）三个极小值点和一个极大值点7 (04 年 )设 f(x)=|x(1-x)|，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(00)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点8 (04 年 )设函数 f(x)连续。且 f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意
4、的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)9 (05 年 )设函数 f(x)= 则 f(x)在(一，+) 内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点10 (05 年) 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是（A）（B）（C） -8ln2+3（D）8ln2+311 (06 年) 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy
5、0（D）dyy012 (06 年) 设函数 g(x)可微， h(x)=ex+g(x)，h(1)=1， g(1)=2，则 g(1)等于（A）ln31（B）一 ln31（C）一 ln2 一 1（D）ln21二、填空题13 (03 年) 设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_14 (03 年)y=2 x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_15 (04 年) 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_16 (05 年) 设 y=(1+sinx)x，则 dy|x=_17 (05 年) 曲线 的斜
6、渐近线方程为_18 (06 年) 曲线 的水平渐近线方程为_19 (06 年) 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (02 年) 已知曲线的极坐标方程是 r=1cos求该曲线上对应于 处的切线与法线的直角坐标方程21 (02 年) 已知函数 f(x)在 (0，+)上可导，f(x) 0 且满足求 f(x)22 (02 年) 设 0a b，证明不等式23 (02 年) 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0,f(0)0，f“(0)0证明：存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时，
7、 1f(h)+2f(2h)+3f(3h)一 f(0)是比 h2 高阶的无穷小24 (03 年) 设函数 问 a 为何值时，f(x)在 x=0处连续；a 为何值时， x=0 是 f(x)的可去间断点?25 (03 年) 讨论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数26 (04 年) 设函数 f(x)在( 一，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数 (I)写出 f(x)在一 2，0上的表达式； ( )问 k 为何值时，f(x) 在 x=0 处可导27 (04 年) 设 eabe 2，证明 l
8、n2bln2a28 (05 年) 已知函数 f(x)在 0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：(I)存在 (0， 1)，使得 f()=1 一 ；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=129 (06 年) 试确定常数 A， B，C 的值，使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3) 其中 o(x3)是当 x0 时比 x3 高阶的无穷小30 (06 年) 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
9、项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 y=2(x 一 1)(x 一 3)2+2(x-1)2(x 一 3)=4(x 一 1)(x 一 3)(x 一 2) y“=4(x一 3)(x 一 2)+(x1)(x 一 2)+(x 一 1)(x 一 3) =4(3x2 一 12x+11)y“=12(xx1)(xx2)，显然 y“在 x1，x 2 两侧变号则原曲线两个拐点【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由拉格朗日中值定理知f(x)一 f(1)=f()(x 一 1) ( 介于 1 与 x 之间)又 f(1)=f(1)=1,f(x)在(1-，1+)严格单调减少，则当 x(
10、1 一 1)时，f(x)-1 1.(x-1) 即 f(x)x当 x(1，1+)时f(x)一 11.(x-1) 即 f(x) x.所以应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的图形可以看出当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时，f(x)0；因此(A)(C)肯定不正确因此只能在(B)和(D) 中选，又由 f(x)图形可看出当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在 x0 处，f(x)由正变负再变正由 f(x)的图形可看出应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由以上分析知 01=y(一 1)x 而 y( 一
11、 1)=f(x2).2x|x=1=一 2f(1),x=一 0.1 代入上式得 01=一 2f(1)(一 01)由此可得 故应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗口中值定理得 f(2x)-f(x)=f()x，(x2x)，则=f()由于 f(x)有界，则【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 如图，从导函数图形可知，f(x)只在 x=x1，x=x 2，x=x 3 处导数为零而在 x=0 处导数不存在，则 f(x)只可能在这四个点取得极值而 f(x)在 x=x1和 x=0 两点的导数都是由正变负，则 f(x)在这两点处取极大值：而 f
12、(x)在 x=x2 和x=x3 两点的两侧导数都是由负变正，则 f(x)在这两点处取极小值，故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=|x(1 一 x)|知 f(0)=0，而在 x=0 的去心邻域内 f(x)0，则 f(x)在 x=0 处取极小值，又即在 x=0 两侧f“(x)变号，所以(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点,故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0)= 由极限的保号性知，存在 0，当x(一 ，0) 或 x(0，) 时， ，而当 x(0，)时 x0，则此时 f(x)一 f(0)0，即 f
13、(x)f(0)，故应选 (C)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 f+(一 1)f-(一1)，则 f(x)在 x=一 1 不可导则 f(x)在 x=1 处不可导，故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 由 知，x=3 时 t=1，y=ln2 因为则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y-ln2=-8(x 一 3)令y=0，得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【试题解析】 直接法： 由于 dy=f(x 0)x y=f(x0+x)-f(x0)=f()x，(x 0x 0+x) 由于 f“(x)0，则 f(x)单调
14、增从而有 f(x0)f()又 f(x)0，x0则0dyy，故应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 由 h(x)=e1-g(x) 知 h(x)=e1+g(x).g(x) 令 x=1 得： 1=e 1+g(x).2 则 g(1)=-ln2-1【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 xy=0【试题解析】 等式 xy+2lnx=y4 两端对 x 求导得 将 x=1，y=1代入上式得 则曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的切线方程为 y 一 1=x1 即 xy=0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 (2 x)(n)|x=
15、0=2x(ln2)n|x=0=(ln2)n 则所求系数为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (一，1)【试题解析】 为了确定 t0 时 x 的取值范围，先求 =3t2+30，则 x=3t3+3t+1 在 t0 时为增函数又 t=0 时 x=1，则 t0 时，x( 一 ，1)，故本题应填 (一,1)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 一 dx【试题解析】 由 y=(1+sinx)x 知 lny=xln(1+sinx)，两端求导得令 x=，得 y|x=一 ，则 dy|x=一 dx【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18
16、【正确答案】 【试题解析】 由于 则水平渐近线为【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 一 e【试题解析】 方程 y=1 一 xey 两端对 x 求导得 由原方程知，当x=0 时， y=1，将 x=0，y=1 代入上式得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 此曲线的参数方程为 即于是所求切线方程为【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 先证右边不等式故当xa 时，(x)单调减少，又 (a)=0，所以，当 x a 时 (x)(a)=0，即再证左边不等式，令 f(x)=lnx
17、 (xa 0)由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a，b)，使【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 只需证存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使由题设和洛必达法则，从知， 1， 2， 3 应满足方程组因为系数行列式 所以上述方程组的解存在且惟一，即存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h)+2f(2h)+3f(3h)一 f(0)是比 h2 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令，有一 6a=2a2+4，得 a=一 1 或 a=一 2；当 a=一 1 时，=6=f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续当 a=一 2 时 =12f(0)，
18、因而 x=0是 f(x)的可去间断点【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 (x)=ln4x+4x 一 4lnxk 则 显然 (1)=0 当 0x 1 时，(x) 0，(x)单调减少； 当 x1 时，(x)0(x)单调增加故 (1)=4 一 k 为 (x)在(0，+)上的最小值所以 当 k4，即 4 一 k0 时，(x)=0 无实根，那两条曲线无交点； 当 k=4，即 4 一 k=0 时,(x)=0 有唯一实根，即两条曲线有唯一交点 当 k4，即 4 一 k0 时由于故 (x)=0 有两个实根，分别位于(0,1)与(1， +)内，即两条曲线有两个交点【知识模块】 一元函数微分学26
19、 【正确答案】 (I)当一 2x0，即 0x+22 时， f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2)2 一4=kx(x+2)(x+4)()由题设知 f(0)=0令 f-(0)=f+(0)，得 即当 时，f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 所以当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调减少，从而当 exe 2 时， 即当 exe 2 时，(x)单调增加 因此当 eabe 2 时，(b)(a)，【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 (I)令 g(x)=f(x)+x 一 1，则 g(x)在0，1上连续，且 g(0)= 一10，g(1)=1 0 所以
20、存在 (0，1)，使得 g()=f()+ 一 1=0 即 f()=1 一 ()根据拉格朗日中值定理，存在 (0，),(,1)，使得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 将其代入题设等式，整理得【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 设 f(x)=xsinx+2cosx+x,x0，则 f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosx 一 sinx+f“(x)=cosx-xsinx 一 cosx=-xsinx0，x(0,)故 f(x)在0 ， 上单调减少，从而f(x)f()=0，x(0，)因此 f(x)在0，上单调增加当 0ab 时f(b)f(a)即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学
