1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (14 年 )下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C）（D）2 (14 年 )设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x 则在区间0,1 上（A）当 f(x)0 时,f(x)g(x)（B）当 f(x)n 时，f(x)g(x)（C）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f“(x)0 时,f(x)g(x)3 (14 年 )曲线 上对应于 t=1 的点处的曲率半径是4 (14 年 )设函数
2、f(x)=arctanx，若 f(x)=xf()，则 =5 (15 年 )设函数 f(x)= (0， 0)若 f(x)在 x=0 处连续，则（A） 一 1（B） 0 一 1（C） 一 2（D）0 一 26 (15 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）37 (16 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点（B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点（C）
3、函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点（D）函数 f(x)有 3 个极值点曲线 y=f(x)有 2 个拐点8 (16 年 )设函数 fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数且 fi“(xi)0(i=12)若两条曲线y=fi(x)(i=1 2)在点(x 0，y 0)处具有公切线 y=g(x)且在该点处曲线 y=f1(x)的曲率大于曲线 y=f2(x)的曲率，则在 x0 的某个邻域内，有（A）f 1(x)f2(x)g(x)（B） f2(x)f1(x)g(x)（C） f1(x)g(x)f2(x)（D）f 2(x)g(x)f1(x)9 (18 年 )下列函数中，在 x=0 处
4、不可导的是（A）f(x)=|x|sin|x|（B）（C） f(x)=os|x|（D）二、填空题10 (13 年) 曲线 上对应于 t=1 的点处的法线方程为_11 (14 年) 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x 一 1)，x0，2则 f(7)=_12 (14 年) 曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点(r,)= 处的切线的直角坐标方程是_13 (15 年) 设14 (15 年) 函数 f(x)=x22x 在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)=_15 (16 年) 曲线 +arctan(1+x2)的斜渐近线方程为_16 (16 年) 已知函数 f(x)
5、在 (一，+)上连续，且 f(x)=(x+1)2+20fxf(t)dt，则当 n2 时，f(n)(0)=_17 (16 年) 已知动点 P 在曲线 y=x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l若点P 的横坐标对时间的变化率为常数 v0，则当点 P 运动到点 (1，1)时，l 对时间的变化率是_18 (17 年) 曲线 的斜渐近线方程为_。19 (17 年) 设函数 y=y(x)由参数方程20 (18 年) 曲线 y=x2+2lnx 在其拐点处的切线方程是_21 (18 年) 曲线 对应点处的曲率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 (13 年) 设奇函数 f(x)
6、在 -1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)=1证明：(I)存在 (0， 1)，使得 f()=1；()存在 (-1，1)，使得 f“()+f()=123 (14 年) 已知函数 y=y(x)满足微分方程 x2+y2y=1-y，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值24 (15 年) 已知函数 求 f(x)零点的个数25 (17 年) 已知函数 y(x)由方程 x3+y3-3x+3y 一 2=0 确定，求 y(x)的极值26 (17 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上具有 2 阶导数，且 f(1)0， 证明：(I)方程 f(x)=0 在区间(0 ， 1)内至少存在一个实根；()方程
7、f(x)f“(x)+(f(x)2=0 在区间(0， 1)内至少存在两个不同实根27 (18 年) 已知常数 kln21证明：(x 一 1)(xln2x+2klnx 一 1)028 (18 年) 已知曲线 L： (x0)，点 O(0，0) ，点 A(0，1)设 P 是 L 上的动点，S 是直线 OA 与直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积若 P 运动到点(3，4)时沿x 轴正向的速度是 4，求此时 S 关于时间 t 的变化率考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 所以曲线 有斜
8、渐近线 y=x，故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1), 则直线 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 过点(0，f(0)和(1， f(1)，当f”(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0)和(1 ，f(1)的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即f(x)g(x)故应选(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)=arctanx，及 f(x)
9、=xf()得故应选(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 f -(0)=0，f +(0)= 该极限存在当且仅当 一 10，即 1此时， 1，f +(0)=0，f(0)=0。要使上式的极限存在且为 0，当且仅当 一 一 10则 1故选 A。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由右图知 f”(x1)=f“(x2)=0，f“(0) 不存在，其余点上二阶导数 f”(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选
10、(C)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由导数定义知 该极限不存在，则 f(x)= 在 x=0 处不可导，故应选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)=2(x1)，x0，2知，f(x)=(x 一 1)2+C，又 f(x)为奇函数则 f(0)=0 ，C= 一 1f(x)=(x 一 1)2-1 由于 f(x)以 4 为周期，则 f(7)=f8+(-1)=f(一 1
11、)=一 f(1)=1【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 则所求切线方程为【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 48【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 n(n 一 1)(ln2)n-2【试题解析】 f(x)=x 22x=x2exln2【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 5.2 n-1【试题解析】 等式 f(x)=(x+1)2+20xf(t)dt 两边对 x 求导得 f(x)=2(x+1)+2f(x)， f(0)=2+2f(0)=4 f”(x)=2+2f(x) f”(0)=2+
12、2f(0)=10 f“(x)=2f“(x) f (n)(x)=2f(n-1)(x)=22f(n-2)(x)=2n-2f“(x) (n2) f (n)(0)=2n-2f”(0) (n2) =2 n-2.10=2n-1.5【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 y=x+2【试题解析】 则斜渐近线方程为y=x+2【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=4k 一 3【试题解析】 y“=0 得 x=1，x= 一 1(舍去)，拐点为(1，1)，又 f(1)=2+2
13、=4 则拐点处的切线方程为 y 一 1=4(x1)即 y=4x 一 3【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (I)因为 f(x)是区间一 1，1上的奇函数，所以 f(0)=0 因为函数f(x)在区间0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得 f(1) 一 f(0)=f()又因为 f(1)=1，所以 f()=1 ()因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数，故 f(一)=f()=1 令 F(x)=f(x)一 1ex，则 F(x)可导，且 F(一 )=F()=
14、0 根据罗尔定理，存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 F()=0 由 F()=f“()+f()一 1e且 e0，得 f“()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由 x2+y2y=1 一 y，得 令 y=0 得 x=1，且当 x一 1时，y 0；当一 1x1 时，y0；当 x1 时，y0；所以，函数 y=y(x)在 x=一 1 处取得极小值，在 x=1 处取得极大值由方程 x2+y2y=1 一 y得 (1+y 2)y=1 一x2 (1) (1+y2)dy=(1 一 x2)dx x3+y3 一 3x+3y=C 由 y(2)=0 得 C=2 x 3+y3 一 3x+3y=
15、2 (2)由(2)式得 y(一 1)=0，y(1)=1【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 当 x时，f(x)0，f(x)单调减，f(x)在该区间最多一个零点；当 x时，f(x)0，f(x)单调增，f(x)在该区间最多一个零点；则 f(x)在区间（-1,0）上至少有一个零点，又 f(1)=0,则 f（x）共有两个零点。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由 x3+y3-3x3y 一 2=0，得 3x 2+3y2y一 3+3y=0， 6x+6y(y)2+3y2y“+3y“=0 在式中令 y=0 得 x=一 1，x=1 当 x 分别取一 1 和 1 时，由 x3+y3 一 3
16、x+3y-2=0 得 y(一 1)=0，y(1)=1 因为 y(一 1)=0，y“(一 1)0，所以y(一 1)=0 是 y(x)的极小值 x=一 1，y(一 1)=0 及 y(一 1)=0 代入式得 y“(一 1)=2， 因为 y(一 1)=0，y“(一 1)0，所以 y(一 1)=0 是 y(x)的极小值 将 x=1，y(1)=1 及 y(1)=0 代入式得 y“(1)=一 1 因为 y(1)=0，y“(1)0，所以 y(1)=1 是 y(x)的极大值【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (I)由题设知 f(x)连续且 存在，所以 f(0)=0由与极限的保号性可知，存在 a(0，
17、1) 使得 即 f(a)0 又 f(1)0，所以存在 b(a，1) (0，1)，使得 f(b)=0，即方程 f(x)=0 在区间(0，1) 内至少存在一个实根 () 由(I)知 f(0)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，b) (0，1)，使得 f(c)=0 令 F(x)=f(x)f(x)，由题设知 F(x)在区间 0，b上可导，且 F(0)=0，F(c)=0，F(b)=0 根据罗尔定理，存在 (0，c)， (c，b)，使得 F()=F()=0，即 ， 是方程 f(x)f“(x)+(f(x)2=0 在区间(0， 1)内的两个不同实根【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设 f
18、(x)=x-ln2x+2klnx 一 1只需证明：当 0x设 g(x)=x 一 2lnx+2k，则 g(x)=令 g(x)=0得 g(x)的唯一驻点 x=2又 g(x)= 0，故 x=2 为 g(x)的唯一极小值点于是 g(2)为 g(x)的最小值因为 kln21所以 g(2)=22ln2+2k0，从而 g(x)0(x2)综上可知 f(x)0(x2)所以 f(x)单调增加又f(1)=0故当 0x1 时 f(x)0当 x1 时，f(x)0。【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设 P 点的坐标为 (m，n)，则直线 AP 的方程为直线 OA 与直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积为所以当 P 运动到点(3，4) 时，S 对时间 t的变化率为【知识模块】 一元函数微分学
