1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年试题，一) 函数 f(x)=In(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)的驻点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 (2008 年试题，一) 设 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (2002 年试题，二) 设函数 y=f(x)在(0，+) 内有界且可导，则( ) （A）当 时，必有（B）当 存在时，必有（C）当 时，必有（D）当 存在时，必有4 (2001 年
2、试题，二) 已知函数 f(x)在区间(1 一 ，1+)内具有二阶导数 f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1，1)内 f(x)x（D）在(1 ，1) 内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)l1l 2（C） l2l 11（D）1l 2l 17 (1997 年试题，二) 如图 131 所示，设在闭区间a，b上 f(x)0,f(x)(x)0 记则( )（A）S 123（B） S231（C） S312（D）S 213二、填空题8 (2003 年试题，一)y=2 x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_.9 (2
3、011 年试题，二(11)曲线 的弧长 s=_10 (2001 年试题，五) 设 p=p(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 (2003 年试题，七) 讨论曲线 y=41nx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数12 (1997 年试题，八) 就 k 的不同取值情况，确定方程 在开区间内根的个数，并证明你的结论13 (2012 试题，三)(1)证明方程 xn+xn-1+x=1(n 为大于 1 的整数)，在区间内有且仅有
4、一个实根；(2)记(1) 中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限14 (2007 年试题，21) 设函数 f(x)，g(x)在a，b 上连续，在 (a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值 f(a)=g(a)f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f()=g()15 (2005 年试题，19) 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1 ，证明：(I)存在 (0，1) ，使得 f()=1 一 ；()存在两个不同的点，(0 ，1) ，使得 f()f()=116 (1998 年试题，八) 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数(1)试
5、证存在xo(0，1)，使得在区间0，x上以 f(xo)为高的矩形面积，等于在区间x o，1上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积(2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 ，证明(1)中的 xo 是唯一的17 (2001 年试题，十) 设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数 f(0)=0，(1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明在一 a，a上至少存在一点，使18 (1999 年试题，八) 设函数 f(x)在闭区间一 1，1上具有三阶连续导数，且 f(一 1)=0,f(1)=1,f(0)=0，证明：在开区间 (一 1，1)内至少存在一点 ，使 f()=
6、319 (2010 年试题，21) 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 证明：存在 使得 f()+f()=2+220 (2009 年试题，21)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a， b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b 一 a)；()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在 (0，(0)内可导，且 ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A21 (2008 年试题，20)(I)证明积分中值定理：设 f(x)在a ，b上连续，则存在a， b，使 ()若 (x)有二阶导数，且满足 (2)(1)证明至
7、少存在一点 (1，3)，使得 ()22 (2012 年试题，三) 证明：23 (2006 年试题，19) 证明：当 0asina+2cosa+a24 (2004 年试题，三(5)设 e2，证明 In2bIn2a 25 (2002 年试题，九) 设 026 (1998 年试题，十一) 设 x(0，1)，证明：(1)(1+x)ln 2(1+x)2；(2)27 (2000 年试题，三) 设 ，计算28 (2009 年试题，16) 计算不定积分29 (2006 年试题，16) 求不定积分30 (2003 年试题，五) 计算不定积分31 (2001 年试题，三) 求32 (1999 年试题，一)33 (
8、1998 年试题，一)34 (1997 年试题，三(3)计算35 (1997 年试题，一)考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 求出 f(x)： 由判别式 122-4311=120， 13x2 一 12x+11 有而个零点(不是 x=1，x=2，x=3) 因此 f(x)有两个驻点选 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 f (x)=2x(x 一 1)(x 一 2)+x2(x 一 2)+x2(x 一 1)=x(4x29x+4)令 f(x)=0，则方程有
9、3 个根，即 f(x)零点的个数为 3故应选 D评注直接求 f(x)的导数，也可知 f(x)的零点个数【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，可采取举反例的方法逐一排除干扰项关于 A，设则 其中2eos(x2)项当 x+时极限不存在，即 不存在，所以 A 可排除；关于C，D，令 f(x)=sinx，则 且 从而 C 和 D 都可排除；关于 B 的正确性，证明如下：任取 x0，由拉格朗日中值定理， f(2x)一 f(x)=f().x(其中 x 存在，记为 A 为有限常数，在式(1)中令 x+，则 已知 f(x)连续有界，因此所以 综上，选 B【知识模块】 一元函数微
10、分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 f(x)在(1 ，1+ 内具有二阶导数，且 f(x)严格单调减少，则 f(x) 其中 在 x 与 1 之间由已知f(1)=f(1)=1，则 因此 f(x)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 sinx 即 I【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，当 ，因此即 因此可排除 C,D令 ，则又令 ，则 g(x)=1 一 cos2x，显然当g(x)0，因此 g(x)严格单调递增，即 g(x)g(0)=0，从而 f(x)0，即 f(x)在上严格单调递增，所以 因此 即 l121【知识模块】 一元函数积分
11、学7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(x)0，则曲线在 x 轴上方，f (x)(x)0，则曲线下凸，由此可大致作出 f(x)的草图如下：则 S1 表示曲线 下方与 上方图形面积，S 2 表示矩形 ABCD 面积，S 3 表示梯形 ABCE 的面积，显然 S213，选 D评注本题也可根据图形直接得出 S1，S 2，S 3 的大小关系，即 S213【知识模块】 一元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 由题设，根据麦克劳林公式，x n 的系数为【试题解析】 y=f(x) 在点 x=0 处的泰勒展开式为【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答
12、案】 由题设 。且抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径为 抛物线上 的弧长为因此得到 p(x)与 S(x)都是 x 的函数，从而由 知 且 因此【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由题设，讨论曲线 y=41nx+k 与 y=4x+1n4x 的交点个数，等价于考虑函数 f(x)=ln4x+4x 一 41nx 一 k 的零点个数，即 f(x)=0 的根的个数，由 f(x)=0 得驻点 x=1当 0(x)1 时 f(x)0，所以 f(x)严格单调递增因此 x=1 是 f(x)的极小值点，同时也就是最小值点，且f(1)=4 一 k当 4 一
13、 k0 时，即 k4，由于且结合 f(x)在区间(0，1)及(1，+)上的单调性，知此时 f(x)有两个零点，即两曲线有两个交点【试题解析】 构造辅助函数应坚持将参数分离开的原则，以便求解【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 由题设，讨论方程 的根的个数等价于讨论直线 y=k与直线 y=x 的交点个数设 先利用导数研究 f(x)的性质在连续，且有 f(x)0由 可解得 f(x)在 内唯一驻点xo=arccos 当 x(0，x o)时 f(x) 时 f(x)0，因此 xo 是 f(x)的最小值点，且f(xo)=xo 一结合 知 内 f(x)的值域为 f(xo)，0)，因此当kf(xo，
14、0即 ko)或 k0 时，原方程在 内没有根；当 k=f(xo)时，原方程在内有唯一根 xo 当 kf(xo，0)时，原方程在(0，x o)和 内各有一根，即原方程在 内有两个不同的根【试题解析】 考查导数的综合应用【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 (1)证明：令 f(x)=xn+xn-1+x 一 1，则f(1)=1n+1n-1+11=n 一 10，因此由零点定理知 f(x)=0 在 内至少有一实根又 f(x)=nxn-1+(n 一 1)xn-2+2x+10， 故 f(x)在 上是单调递增函数，所以f(x)=0 在 内有且仅有一个实根(2)由题设，有 f(xn)=0，又 f(x)
15、=nx+(n 一 1)xn-2+2x+11 又设 f(x)=f(x)+1=xn+xn-1+x，则 F(xn)=1 则有由夹逼定理，有【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 f(x)，g(x) 在(a，b)内某点 c(a，b)同时取得最大值，则 f(c)=g(c)此时记 =c，则 f()=g()若两个函数取得最大值的点不同，则可设厂(c)=maf(x)，g(d)=maxg(x)，故有 fc)一 g(c)0,f(d)一 g(d)1， 2 使得 f(1)=g(1)，g (2)=g(2)在区间( 1， 2)内再用罗尔定理，即存在 (1， 2)c(a，b)，使得 f()=g()【知识模块】
16、一元函数微分学15 【正确答案】 (I)设 f(x)=f(x)一 1+x，因为 f(x)在0，1上连续，且 f(0)=一 1,f(1)=1，即 f(0).f(1) 在 ，1上，用拉格朗日中值定理可知，存在 (，1)，使得 所以，存在两个不同的点，(0 ，1) ，使得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 根据题意，若存在满足条件的 xo(0，1)，则有为证明此式，引入辅助函数 F(x)，使得不难发现 且 F(0)=F(1)=0，并且 f(x)在0，1上可导，则由罗尔定理知，存在 x0(0，1)使得 f(x0)=0，即因此 x0 的存在性得证下面证明在题设(2)的条件下，(1)中x0 的
17、唯一性事实上，只要证明 f(x)在0，1上是严格单调的即可，由 (2)中已知条件 f(x) ，由于f (x)=f(x)+xf(x)十 f(x)=2f(x)+xf(x)0，因而 f(0,1)在0，1严格单调递增，因此(1)中的 x0 的唯一性也得证评注关于(1)中 x0 的存在性的证明，也可采用以下方法：若存在 x1 使得 f(x)=0， ，则任取x0(x1，1)，有 x0f(x0)=0= 若上述 x1 不存在，任取 由于 f(x)在c， 1上连续，由最值定理，存在 x2c，1，使得 f(x2)0 为 f(x)在c，1上的最大值在区间0，x 2上作辅助函数 则 (x)连续，且 (0)0又 (x2
18、) 一 x2f(x2)(12x2)f(x2)0(0，x 2)c(0，1)，使 (x0)=0，即【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由题设， 其中 在 0 与 x 之间且 x一 a， a，又由已知 f(0)=0，从而可得所带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为 将式(1)两边在区间一a，a 上作定积分，得 即注意 在 0 与 x 之间，随 x变化而变化，所以式(2)右端 即 f()不是常数，不能提到积分号外，由题设 f(x)二阶导数连续，则 f(x)在一 a，a上有最小值 m 和最大值 M，即当x一 a，a时，mf (x)M，从而 代入式(2)得即 由连续函数在闭区间上的介值定理知，存在
19、 一 a，a ，使得 即【试题解析】 的取值与 x 有关，而不要误以为是常数【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由题设 f(x)具有三阶连续导数，且 f(0)=0，则由麦克劳林公式得其中 介于 0 与 x 之间，且 x-1，1在上式中分别令 x=一 1 和 x=1，并由已知条件 f(一 1)=0,f(1)=1，f (0)=0，得两式相减，得 f(1)+f(2)=6 由已知 f(x)连续，则在闭区间 1， 2上有最大值和最小值，设它们分别为 M 和 m，则有 则由连续函数的介值定理知，至少存在一点1， 2c(一 1，1) ，使【试题解析】 在泰勒展开式中一般取 x为一阶导数值是已知的
20、点 (例如 f(x0)=1)或隐含已知的点，比如极值点，最值点等， 的选取在 x0 与 x 之间，一般还随着 x 的变化而变化【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 F(x)=f(x) (可根据结论F ()一 2+F()一 2=0 推知) ，在区间 上分别利用拉格朗日中值定理，上述二式相加可得 即 F()+F()=2+2 题得证【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (I)作辅助函数 可验证 (x)满足：(a)=(b)=0；(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间 (a，b)内可导由罗尔定理可知，在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 ()=f()亦即 f(b)一 f(
21、a)=f()(b 一 a)，命题得证()任取x0(0，)，则函数 f(x)在闭区间0，x 0上连续，在开区间(0，x 0)内可导，从而根据拉格朗日中值定理可知，存在 (0，x 0)c(0，)，使得 f()= 又由于 ，因此对上式两边取 x00 +时的极限可得由此可知 存在，且【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 (I)设 M 和 m 分别是连续函数 f(x)在区间a，b(ba)上的最大值和最小值，则有 不等式两边同除以(b 一 a)，得到显然 是介于函数 f(x)的最大值和最小值之间的，根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间a，b上至少存在一点 ，使得函f(x)在该点处的函数值和
22、 相等，即 (ab)，等式两边同乘(b 一 a)可得 ()由积分中值定理可得，至少存在一点 (2，3)，使得 所以有 (2)(1)，(2)()因为 (x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点 1(1，2)，使得 且至少存在一点 2(2，)，使得(2) 再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点(1， 2)，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 对其求一阶导数，综上，可证得结论【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设 f(x)=xsinx+2cosx+x(x0，)，则 f(x)=xcosx+sinx 一2sinx+=xcosx 一 sinx+， f
23、(x)=一 xsinx+cosxcosx=一 xsinx(x)在0，上单调下降，即 f(x)f()=0(x(0， )于是 f(x)在0 ， 单调上升，从而当 0f(a)，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数显然当 xe 时 f(x)(x)严格单调递减，x (x,+)，所以当 e2 时因此当 e2 时，f(x)严格单调递增，即 f(a)所以 In2b-In2a【试题解析】 本题也可应用拉格朗日中值定理来证明设 g(x)=In2x，在a，b 上由拉格朗日中值定理知：存在一点 (a，b)，
24、使得 g(b)一 g(a)=g()(ba)，即In2bIn2a= 又设 ，当 xe 时 (x)2 时，综上知 ，所以 ln2b 一 ln2a=2()(b 一 a)即 ln2b 一 ln2a【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 题设所给待证不等式有两部分，应分别予以证明，先证明右边不等式 引入辅助函数 则由于已知 0(x)0，从而 f(x)严格单调递增，又 f(a)=0，从而 f(x)f(x)=0，令 x=b，得 f(b)0，即即 即 由此右边不等式得证关于左边不等式， 同样可引入辅助函数 f(x)=(a2+x2)(1nxlna)一 2a(x 一 a)，其中 0所以 f(x)严格单调递
25、增，由 f(a)=0，知 f(x)f(a)=0，令 x=b，则 f(b)0，即(a 2+b2)(1n6 一 lnb)一 2a(b一 a)0，即(a 2+b2)(1n6 一 lna)2a(b 一 a)，所以 左边不等式亦得证。【试题解析】 关于左边不等式 的证明，还可采用以下方法：设 f(x)=lnx，xa，b，由拉格朗日中值定理知存在 (a，b) ，使得 f(b)-f(a)=lnblna=f()(ba) 已知 0 所以即 不等式的证明常用方法有：微分中值定理、极值、最值、单调性及泰勒公式和函数的凸凹性【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 证明不等式的一条常规途径是构造辅助函数，通过研
26、究其单调性来证明不等式由题设，引入辅助函数 (x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，则 (x)=In2(1+x)+21n(1+x)一 2x 至此尚无法判断 (x)的符号，于是由 知，当 x(0，1)时 (x)(x)严格单调递减，且由 (0)=0 知，当 x(0，1)时， (x)2(1+c)2，x (，1) ， (1)得证又引入第二个辅助函数 则由(1)已知结论，当 x(0，1)时 f(x) 所以当 x(0，1)时 ，此即(2)的左不等式又由即右边不等式成立综上，(2)成立【试题解析】 利用导数证明单调性，再利用单调性来证明不等式是常用的不等式证明方法之一【知识模块】 一元函数微分学27 【正
27、确答案】 由已知条件，应先求出 f(x)的表达式再进行积分，由于因此令 t=lnx，即 x=et，代入上式得 则【试题解析】 利用复合函数求函数的表达式及不定积分的运算方法【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 ，则 于是【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 用积分公式 求解【试题解析】 用分部积分法和换元积分法【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 本题的不定积分可采用换元法或分部积分法求解详解一 设x=tant，则 因此由此，详解二 【试题解析】 利用换元积分法，令 arctx=t 或 x=tant，则 dx=sec2tdt【知识模块】 一元函数积分学31 【
28、正确答案】 由题设所给不定积分的被积函数含有 因此令 x=tant，其中dx=sec2tdt 则 因为，所以 其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 由题设，分母 x2 一 6x+13 对 x 求导得 2x 一 6，由此，【试题解析】 一般情形有公式【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由题设，【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 或者，【试题解析】 在积分过程中，当某些复杂的积分重复出现时，要么可以消去，要么为所求积分【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 由题设，或者，原式=【试题解析】 被积函数中含有 时，一般先配方，再积分【知识模块】 一元函数积分学
