1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1987 年) 设 f()在 a 处可导，则 等于 【 】（A）f(a)（B） 2f(a)（C） 0（D）f(2a)2 (1988 年)f() 61 的图形在点(0，1)处切线与 z 轴交点坐标是 【 】（A）( ，0)（B） (1，0)（C） ( ，0)（D）(1 ，0)3 (1988 年) 若函数 yf()，有 f(0) ，则当0 时，该函数在 0 处的微分dy 【 】（A）与 等价无穷小（B）与 同阶无穷小（C）比 低阶的无穷小（D）比 高阶的无穷小4 (19
2、88 年) 设函数 yf()是微分方程 y2y4y0 的一个解，且 f(0)0，f( 0) 0，则 f()在 0 处 【 】（A）有极大值（B）有极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少5 (1989 年) 当 0 时，曲线 ysin 【 】（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线6 (1989 年) 若 3a25b0，则方程 52a 33b 4c0 【 】（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根7 (1989 年) 设两函数 f()和 g()都在 a 处取得极大值，则函数 F
3、()f()g()在a 处 【 】（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定8 (1989 年) 设 f()在 a 的某个邻域内有定义，则 f()在 a 处可导的一个充分条件是 【 】（A）（B）（C）（D）9 (1990 年) 已知函数 f()具有任意阶导数，且 f()f() 2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f()的 n 阶导数 f(n)()是 【 】（A）n!f() n+1（B） nf()n+1（C） f()2n（D）n!f() 2n10 (1990 年) 设 F() ，其中 f()在 0 处可导，f(0)0，f(0)0，则 0 是 F()的 【 】（A
4、）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定11 (1991 年) 若曲线 y 2ab 和 2y1y 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b是常数则 【 】（A）a0， b2（B） a1，b3（C） a3，b1（D）a1 ，b112 (1991 年) 设函数 f()在(，) 内有定义， 00 是函数 f()的极大点，则 【 】（A） 0 必是 f()的驻点（B） 0 必是f()的极小点（C） 0 必是f()的极小点（D）对一切 都有 f()f(0)二、填空题13 (1987 年)设 yIn(1 a)，则 y_，y _14 (1987 年)曲线 yarctan 在
5、横坐标为 1 的点处的切线方程是_；法线方程是_15 (1988 年) 设 f(t) ，则 f(t)_16 (1988 年) _17 (1989 年)设 f()( 1)(2)(n)，则 f(0)_18 (1989 年)设 tanyy，则 dy_19 (1990 年) 曲线 上对应于 t 处的法线方程是_20 (1990 年) 设 y ，则 y_21 (1991 年) 设 yln(13 -)，则 dy_22 (1991 年) 曲线 y 的上凸区间是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 (1987 年) 设24 (1987 年) 求25 (1987 年)(1)设 f()在a，b
6、内可导，且 f()0，则 f()在(a ，b)内单调增加(2)设 g()在 c 处二阶可导，且 g(c)0，g(c)0，则 g(c)为 g()的一个极大值26 (1988 年) 设 y1e y，求 27 (1988 年)将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝长各为多少?28 (1988 年) 求函数 y 的单调区间，极值，其图形的凹凸区间，拐点，渐近线，并画图29 (1989 年) 已知 y ，求 y30 (1989 年) 已知考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
7、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 f(a)f(a)2f(a)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 f() 26，f(0) 6，(0，1)点切线方程为 y16 ，令 y0得 即此切线与 轴的交点坐标为( ，0)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 dy f( 0) ， ，则当0 时，dy 与 同阶无穷小【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 f()2f() 4f()0，令 0 得 f( 0)一 2f(0)4f( 0)0，即 f( 0)4f( 0)0 又 f(0)0，则 f( 0)0故 f()在 0
8、 处取得极大值【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 又 0 则原曲线有且仅有水平渐近线 y1【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 52a 33b4c0 为 5 次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根) 令 f() 52a 33b4c ，f()5 46a 23b 而(6a) 260b12(3a 25b)0，则 f()0 因此，原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 本题的关键在于由题设可知在 a 的某邻域内有 f(a)f()，g(a)g()，由此能否得到 g(a)
9、.f(a)g()f()或 g(a)f(a)g()f()，这在一般情况下是得不到此结论的 若取 f()(a) 2，g()(a) 2，显然 f()和 g()在 a 处取极大值 0，但 f()g()(a) 4 在 a 处取极小值则 A、C 都不正确：若取 f()1(a) 2，g() 1(a) 2，则 f()和 g()都有极大值 1，而 f()g()1 (a) 22 在 a 仍有极大值 1，则 B 也不正确，从而只有 D 对【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 h时 0 +，则 存在只能得出 f()在 a 点的右导数存在，不能得出 a 点导数存在，B、C 明显不对，因为
10、f()在 a 点如果没定义，B、C 中的两个极限都可能存在，但函数若在 a 点无定义，则在该点肯定不可导 又 则应选 D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 等式 f()f() 2 两边对 求导得 f()2f()f() 2f() 3 f()23f() 2f()23f() 4 f(n)()f() n+1n!【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(0)0，f() 在 0 处可导，则而 F(0)f(0)0，则极限F()存在但不等于 F(0)，故 0 为 F()的第一类间断点【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由于曲
11、线 y 2ab 和 2y1y 3 在点(1，1)处相切，则在点(1， 1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1，1) y2a y 1 2a 2yy 33y 2y，y 1 1 则 2 a1，a1 又11ab 11b b，b1 所以应选 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 排除法f() 0，显然 f()在 0 取极大值，但 f(0)不存在，则 0 不是 f()的驻点，从而 A 项不对又f() 0，显然f()只有唯一极小值点 0，又 00 则 0 0，从而 0 不是f()的极小值，则 C 项也不对D 项是明显不对，由于极值是一个局部性质，不能保证对一切 有 f()
12、f(0)，而只能保证在 0 某邻域内有 f()f(0)，所以应选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 由 yln(1a)知，y【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 ，则 1 处切线方程为 y (1)，法线方程为 y 2(1)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (12t)e 2t【试题解析】 f(t) te 2t 则 f(t)e 2t2te 2t(12t)e 2t【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 n!【试题解析】 f() (1)( 2)(n)(2
13、)(3)(n) (1)(2)( n1)f(0)n!【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 等式 tanyy 两边求微分得 sec2ydyd dy 则 dy【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 则 t 处法线方程为【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法知 y【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 令 y0 得 ，且当 时，y0，则曲线 y 上凸【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【
14、正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)设 a 1 2b，由拉格朗日中值定理知：f( 2)f( 1)f()(2 1)，由 f()0 知 f(2)f( 1)，则 f()在(a，b)上单调增 (2)由于 g(c) 0，根据极限的保号性知，存在 c 的某个去心邻域，使 0，则 c 点左半邻域 g()0，而 c 点的右半邻域 g()0由极值第一充分条件知 g()在 c 取得极大值【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 ye ye y(yy) 令 0，由 y1e y知 y1，将0，y1 代入上式得 y 0 1， 将 eyy
15、 1 代入 ye ye y(yy) 得ye y(y1)(y y) 此式两边对 求导得 ye y(yy) y(yy)(y1)(2yy) 将 0，y1，y(0)1 代入上式得 y(0)2【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 ，则围成正方形的一段铁丝长为 a，圆与正方形面积之和为 y 令y0，得 ，又 y 0，则 y 在 处极小值，由于极值点唯一，则此极小值为 f()的最小值【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 y0 得 1，令y0，得 0， 2 函数在 (，1)上单调增，在(1，)上单调减在 1取极大值 2，其图形(见图 25)在(，0)(2， )上是凹的，在(0，2)上是凸的，(0， )和(2， )为曲线拐点 0，则该曲线有水平渐近线y0【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
