1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2000 年) 若 为 【 】（A）0（B） 6（C） 36（D）2 (2001 年) 曲线 y( 1) 2(3) 2 的拐点个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (2001 年) 已知函数 f()在区间(1 ，1) 内具有二阶导数， f()严格单调减少，且 f(1)f(1)1，则 【 】（A）在(1 ，1) 和(1，1)内均有 f()（B）在 (1，1)和(1，1) 内均有 f()（C）在 (1，1)内，f() ，在(1，1) 内，f()（D）在(
2、1 ，1) 内，f() ，在(1，1) 内，f() 4 (2001 年) 已知函数 yf()在其定义域内可导，它的图形如图 23 所示，则其导函数 yf(z) 的图形为 【 】5 (2002 年) 设函数 f(u)可导， yf( 2)当自变量 在 1 处取得增量01时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1) 【 】（A）1（B） 01（C） 1（D）056 (2002 年) 设函数 yf()在(0，)内有界且可导，则 【 】（A）（B）（C）（D）7 (2003 年) 设函数 f()在(，) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f()有 【 】（A）一个极小值点和两个极大值点（B）
3、两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点8 (2004 年) 设 f()(1) ，则 【 】（A）0 是 f()的极值点，但(0，0)不是曲线 yf()的拐点（B） 0 不是 f()的极值点，但(0，0)是曲线 yf() 的拐点（C） 0 是 f()的极值点，且(0，0)是曲线 yf()的拐点（D）0 不是 f()的极值点，(0，0)也不是曲线 yf()的拐点9 (2004 年) 设函数 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得 【 】（A）f()在(0，)内单调增加（B） f()在(，0) 内单调减少（C）对任意的 (0，)有 f()f(
4、0)（D）对任意的 ( ，0)有 f()f(0)10 (2005 年) 设函数 f()lim ，则 f()在(，)内 【 】（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点二、填空题11 (2003 年) 设函数 yf()由方程 y2lny 4 所确定，则曲线 yf()在点(1，1)处的切线方程是_12 (2003 年)y2 的麦克劳林公式中 n 项的系数是 _13 (2004 年) 设函数 y()由参数方程 确定，则曲线 yy()向上凸的 取值范围为 _14 (2005 年) 设 y(1sin) ，则 dy _ 15 (2005 年) 曲线 y 的斜渐近线方
5、程为_16 (2006 年) 曲线 y 的水平渐近线方程为_17 (2006 年) 设函数 yy()由方程 y1e y 确定，则 _18 (2007 年) 曲线 对应于 t 的点处的法线斜率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (1995 年) 如图 22 所示，设曲线 L 的方程为 yf()，且 y0，又 MT，MP分别为该曲线在点 M(0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为(其中 y0y( 0)，y 0y 0(0)，试推导出点 P(，)的坐标表达式20 (1995 年) 设 1，且 f()0，证明 f()21 (1996 年) 设 ，其中 f(u)具有二阶
6、导数，且 f(u)0，求 22 (1996 年) 求函数 f() 0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式23 (1996 年) 设函数 yy()由方程 2y32y 22y 21 所确定，试求 yy()的驻点，并判别它是否为极值点24 (1996 年)设 f()在区间a，b 上具有二阶导数，且 f(a)f(b)0，f(a).f(b)0试证明：存在 (a，b)和 (a，b)，使 f() 0 及 f() 025 (1997 年) 设 yy()由 所确定求 26 (1997 年) 就 k 的不同取值情况，确定方程 sink 在开区间(0， )内根的个数，并证明你的结论27 (1998 年) 设
7、(0，1)，证明 (1)(1 )ln 2(1) 2； (2)28 (1999 年) 求29 (1999 年) 已知函数 y ，求 (1) 函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点； (3)函数图形的渐近线30 (1999 年)设函数 f()在闭区间1，1上具有三阶连续导数，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间( 1，1)内至少存在一点 ，使 f()3考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】
8、 y2(1)(3) 22( 1) 2(3)4( 1)(3)(2) y4(3)(2)(1)(2)(1)(3) 4(3 21211) 令 y0 得12 ， 22 y12( 1)( 2)，显然 y在 1， 2 两侧变号则原曲线两个拐点【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由拉格朗日中值定理知f()f(1) f()( 1) ( 介于 1 与 之间)又 f(1)f(1)1f()在(1 ，1)严格单调减少，则当 (1 ，1) 时，f()11.(1)即 f()当 (1，1)时，f()11.(1)即 f()所以应选 A【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f
9、()的图形可以看出，当 0 时，f()严格单调增，则当 0 时，f()0；因此 A、C 肯定不正确因此只能在 B 和 D 中选，又由 f()图形可看出当 0 时，f()由增变减再变增，因此在 0 处，f()由正变负再变正由 f()的图形可看出应选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 01y(1) 而 y(1)f( 2).2 1 2f(1) ， 01 代入上式得 012f(1)( 01) 由此可得 f(1) 05 故应选 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(2)f() f() ，(2)，则f() 由于 f()有界，
10、则 0从而有 f()0， 又 f()存在，故 0【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 如图，从导函数图形可知，f()只在 1， 2， 3 处导数为零而在 0 处导数不存在，则 f()只可能在这四个点取得极值而 f()在 1和 0 两点的导数都是由正变负，则 f()在这两点处取极大值；而 f()在 2 和 3 两点的两侧导数都是由负变正，f()在这两点处取极小值，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由 t()(1) 知 f(0)0，而在 0 的去心邻域内 f()0，则f()在 0 处取极小值；又 即在 0 两侧f()变号，所以(0，0)
11、是曲线 yf()的拐点故应选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0) 0，由极限的保号性知，存在 0，当 (，0)或 (0，) 时， 0，而当 (0，)时 0，则此时 f()f(0)0，即 f()f(0) ，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 而 f+(1)0，f -(1) 3 f +(1)f -(1)，则 f()在 1 不可导 同理 f-(1)0，f + (21)3 则 f()在 1 处不可导，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 y 0【试题解析】 等式 y2lny 4 两端对 求导
12、得 yy 4y 3y 将1，y1 代入上式得 1 则曲线 yf()在点(1，1)处的切线方程为 y11 即 y0【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 则所求系数为【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 (，1)【试题解析】 为了确定 t0 时 的取值范围，先 3t 230，则 3t 33t1 在 t0 时为增函数，又 t0 时1， ，则当 t0 时，( ，1)，故本题应填 (，1)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 d【试题解析】 由 y(1sin) 知 lnyln(1sin)，两端求导得【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y 【试题解析
13、】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y 【试题解析】 由于 则水平渐近线为y 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 e 【试题解析】 方程 y1e y 两端对 求导得 由原方程知，当 0 时，y1，将 0，y1 代入上式得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 1 【试题解析】 则曲线上对应于 t 点处的法线斜率为 1 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由于y0，曲线 L 是凹的，故 y00，从而【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由题设可知，f()二阶可导，从而 f()连续且有一阶导
14、数，又1，则 f(0)0 令 F()f()，则 F(0)0 由于 F()f()1，所以 F(0)0，又由 F()f()0 知 F(0)是 F()的极小值和 F()严格单调增，故 F()只有一个驻点，从而 F(0)是F()的最小值 因此 F()F(0)0 即 f()【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 所以 f()122 2(1) n2n(1) n+1. (01)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 原方程两边对 求导得 3y 2y2yyyy 0 (*) 令 y0，得 y，代入原方程得 23 210，从而解得唯一驻点 1 (*)
15、式两边对 求导得(3y 22y)y2(3y1)y 22y10 因此 y (1，1) 0 故 1 为yy()的极小值点【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 先用反证法证明： (a，b)，使 f()0否则由 f()的连续性可知，在区间(a，b)内恒有 f()0 或 f()0不妨设 f()0，则从而 f(a)f(b)0这与已知条件矛盾，则在(a，b)内至少存在 ，使 f()0 再由 f(a)f() f(b)及罗尔定理知存在1(a， )和 2(，b)使 f( 1)f( 2)0 又在 1， 2上对 f()应用罗尔定理知，存在 (1， 2)，使 f()0【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答
16、案】 等式 2yty 2e t5 两边对 t 求导得【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 f() sin，则 f()在0， 上连续 由 f()1 cos0，解得 f()在(0， )内的唯一驻点 0arccos 由于当 (0， 0)时，f()0，当 (0， )，f()0，所以 f()在0， 0上单调减少在 0， 上单调增加因此 0 为 f()在(0， )内唯一的最小值点，最小值为 y0f( 0) 0 sin0，又因 f(0)f( )0，故在(0， )内 f()的取值范围为(y 0，0) 因此，当 k y0，0) ，即 ky 0 或 k0 时，原方程在(0， )内没有根 当 ky 0
17、 时，原方程在(0 ， )内有唯一实根 0 当 k(y0，0)时，原方程在(0， 0)和( 0， )内各恰有一根，即原方程在(0， )内恰有两个不同的根【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (1)令 ()(1)ln 2(1) 2， (0)0 ()ln 2(1)2ln(1)2，(0) 0 于是 ()在(0 ，1) 内严格单调减少，又 (0)0，所以在(0，1)内 ()由(1)知 f()0，(当 (0，1) ，于是可知 f()在 (0，1)上严格单调减少，f(1) 一 1，故当 (0，1)时 f() 不等式左边证毕又故当 (0， 1)时，f() 不等式右边证毕【知识模块】 一元函数微分学
18、28 【正确答案】 分子有理化得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 所给函数定义域为(，1)(1， ) y ，令y0，得驻点 0 及 3 y ，令 y 0 得 0，由此可知 (1)函数的单调增加区间为(，1)和(3，)，单调减少区间为(1，3)；极小值为(2)函数图形在区间(，0)内是(向上)凸的，在区间(0，1)，(1， )内是(向上)凹的，拐点为点(0，0) (3) 由 知，1 是函数图形的铅直渐近线；又故 y2 是函数图形的斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由泰勒中值定理可知 f()f(0)f(0) ()3 其中 介于 0 与 之间， 1，1 分别令 1 和 1，并结合已知条件得 0f(1)f(0) (1)， 1 10 1f(1)f(0) (2)， 0 21 两式相减可得 f( 1)f( 2)6 由 f()的连续性，f() 在闭区间 1， 2上有最大值和最小值，设它们分别为 M 和 m，则有 m M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点1， 2 (1，1) 使 3【知识模块】 一元函数微分学
