1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= ，则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)2 设 f(x)在点 x=a 处可导，则 等于 ( )（A）f(a) （B） 2f(a) （C） 0（D）f(2a)3 设函数 f
2、(x)在 x=0 处连续，且 ，则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在4 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则 ( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加5 设 a 为常数， f(x)=aex 一 1 一 x 一 ，则 f(x)在区间(一 ，+)内的零点个数情况为 ( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点
3、，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点6 设函数 f(x)在区间a，+) 内连续，且当 xa 时， f(x)l 0，其中 l 为常数，若f(a)0，则在区间 内方程 f(x)=0 的实根个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1
4、（D）一 28 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x) 则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)则 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确9 两曲线 与 y=ax2+b 在点 处相切，则 ( )10 若 f(x)在 x0 点可导，则|f(x)|在 x0 点 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续二、填空题11 曲线 的渐近线是_12 已知 a，b e ，则不等式 成立的条件是 _13 曲线
5、的曲率及曲率的最大值分别为_14 曲线 y=ln(e 一 )的全部渐近线为_15 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0)，则 p(x)=_16 曲线 y=(2x-1) 的斜渐近线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式： f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程18 设 f(x)= 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)
6、=1，g(0)=一 1，求 f(x)，并讨论 f(x)在( 一 ，+)内的连续性19 求函数的导数：y= (a0)20 求函数的导数：y=e f(x).f(ex)21 已知22 设 f(t)具有二阶导数 求 f(f(x)，(f(f(x)23 24 函数 y=y(x)由方程 cos(x2+y2)+exx2y=0 所确定，求25 设 (a0，b0) ，求 y26 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：函数 (t)满足方程 “(t)一 =3(1+t)27 设 f(x)= 试问当 取何值时，f(x)在点 x=0 处，连续，可导。一阶导数连续， 二
7、阶导数存在28 29 设 y=sin4x 一 cos4x，求 y(n)30 设 y=exsin x，求 y(n)31 设 y= 求 y(n)(0)32 设 f(x)满足 f(x)+ 求 f(x)33 设 f(x)= 试确定常数 a，b，c，使 f(x)在x=0 处连续且可导34 顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?35 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 z 为多少时才能
8、使建造时所用的材料最省?36 试证明：曲线 恰有三个拐点，且位于同一条直线上37 求曲线 的斜渐近线38 求曲线 的斜渐近线39 作函数 的图形40 求函数 y=excos x 的极值考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一，3)(3，+)，f(x)在区间( 一，3)及(3，+)上分别是单调减少的【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 凑导数定义，【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续
9、，且 ，所以 f(0)=0从而有【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题令 g(x)=f(x)e-x=由于 e-x0，g(x) 与 f(x)的零点完全一样，又且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点当 a0 时，f(一)0，f(+) 0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点【知识模块】 一元函数微分学6
10、 【正确答案】 B【试题解析】 对于 f(x)在 上使用拉格朗日中值定理，得由 f(x) l0，得由于 f(x)0(xa)，所以 f(x)在 是单调递增函数，故零点 只有一个，答案选择(B)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g(x)=一 e-x，显然 f(x
11、)g(x)，但 f(x)=一 e-x，g(x)=e -x,f(x)g(x)，(1) 不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明 (2)不正确【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 ，故相交于该点将 x=2，y= 代人y=ax2+b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以将 x=2 代入得【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，|f(x)|=|x 2|在 x=0 处也可导
12、，排除(C)，(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 y=1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 e a b【试题解析】 ，得 x=e 当 xe 时，f(x)0，函数 f(x)单调减小，因此有 eab.【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 故 k1，当x=0 时， kmax=k(0)=1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 x=0 和 y=1【试题解析】 因为 ，x=0 为铅直渐近线【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当 x0 时，e x 一 p
13、(x)=o(x2)，由于ex=1+x+ +o(x2)，于是 ex 一 p(x)=(1-x)+(1b)x+ +o(x2)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 所以斜渐近线为 y=2x+1【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6) 处和点(1 ，f(1) 处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x-6)【知识模块】 一元函
14、数微分学18 【正确答案】 当 x0 时，f(x)可导，且 显然，当 x0 时，f(x)连续【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 其中，(xx)=(exlnx)=exlnx.(ln x+1)=xx(ln x+1)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=e f(x).f(x)f(ex)+ef(x).f(ex)ex【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 ，则 f(t)=4t2，即 f(x)=4x2f(x)=8x，由函数概念得 f(f(x)=f(8x)=4(8x)2=256x2， (f(f(x)=f(f(x).f(x)
15、=8f(x).8x=32x 2.8x=256x3.【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 两边取对数，得 两边同时对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 方程两端对 x 求导 一 sin(x2+y2)(2x+2yy)+ex 一 2xyx2y=0，【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 两边取对数【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 因当 0 时，极限 不存在而当 0 时,，故 0 时，f(x) 在 x=0 处连续当 一 10 时，即1 时， f(0)=0，f(x)在 x=0 处可导当 3 时，
16、f“(0)不存在；当 3 时，f“(0)=0 ，即 f(x)在点 x=0 处二阶可导【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因 y=(sin2x+cos2 x)(sin2xcos2x)=一 cos 2x，【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得式两边同时对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p
17、，水桶中水平面的高度为 H，水量为 q(如图 121)，则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以当 得 h2=3b2，故 h= 时漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 2367 米时，截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 当 t1，t一 1 或 t时，都有 x当 t1 时，当 t一 1 时，当 t时， 所以，曲线 有三条斜渐近线，分别是【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 写为参数方程形式 当且仅当 时，才有x所以曲线至多有一条斜渐近线，由于【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 定义域 (一 ，0)(0，+)，无周期性无奇偶性列表作图(如图 122)【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
