1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f“(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界3 设 F(x
2、)= 其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定4 设函数 f(x)= 在 x=0 处f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续5 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)一 f(0)=06 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)
3、|x 2，则 x=0必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)07 设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹8 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= 0x(x2 一 t2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）49 设 g(x)在 x=0 处二阶可
4、导，且 g(0)=g(0)=0，设 则 f(x)在x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导，导函数连续二、填空题10 若 f(t)= ，则 f(t)=_11 12 曲线 点处的法线方程是_13 14 设 y=ln(1+3-x)，则 dy=_15 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos xy=0 确定，则16 设 其中 f 可导，且 f(0)0，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 若函数 f(x)在(一，+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1，证明：f(x)=e x18 设 f(x)可导，证明：f(x)的两
5、个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点19 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，求证：(1)存在 (a，b)，使 f()+f()=0；(2)存在 (a，b) ，使 f()+f()=020 设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f2(0)+f(0)2=4试证：在(一2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=021 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使|f“()|422 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(a)f(b)
6、试证：存在， (a，b)，使得23 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0) ，在(a ，b) 内可导试证：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式 =f()一 f()成立24 设 f(x)在0， 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ， ， (0，)，使得 f()= sin 2f“()25 试求方程 ex=ax2(a0 为常数)的根的个数26 设 f(x)为a，b上的函数且满足 则称f(x)为a，b上的凹函数，证明： (1)若 f(x)在a，b上二阶可微，且 f“(x)0，则f(x)为a，b上的凹函数 (2)若 f(x)为a，b上的有界凹函数，则下列结论成立： (i) 0，1
7、，f(x 1+(1 一 )x2)f(x1)+(1)f(x2)，x 1，x 2a，b；(iv)f(x)为(a，b)上的连续函数27 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(n)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)，证明： (1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 处取得极小值28 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(n)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：当 n 为奇数时，(x 0，f(x 0)为拐点29
8、 求函数 f(x)=nx(1 一 x)n 在0，1上的最大值 M(n)及 30 求曲线 y=ex 上的最大曲率及其曲率圆方程31 设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 432 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb，试证：在 a，b内存在 ，使得33 设 f(x)在闭区间一 1， 1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在一 1，1 内存在 ，使得 f“()=334 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+
9、f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在 (0，3)，使 f()=035 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g“(x)0 ，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 ，证明：(1) 在(a， b)内，g(x)0 ；(2)在(a，b) 内至少存在一点 ，使36 在区间0 ，a上|f“(x)|M，且 f(x)在(0 ，a)内取得极大值证明： |f(0)|+|f(a)|Ma37 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： (1，2)，使 f(2)一 2f(1)=f()一 f()38 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明： (a，b)，使得39 设 ，
10、且 f“(x)0，证明：f(x)x40 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明： (a，b)，使f“()g()+2f()g()+f()g“()=041 设 f(x)在a,b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，证明： (a，b)，使42 设 f(x)=arcsin x， 为 f(x)在闭区间0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限 43 设 f(x)在a，b上有定义，在(a，b) 内可导，ba4 求证： (a，b)，使得f()1+f 2()考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
11、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0 ，但 x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在 x0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)=0 ， ，故 f(0)=0【知识
12、模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0f(x)在(0，+)内单调增；f“(x)0f(x)在(0，+) 内为凸曲线由 f(x)=f(一 x)f(x) 关于 y 轴对称f(x) 在(一 ，0) 内单调减，为凸曲线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则, =f(0)0，所以k=3，选(C) 其中(1)F(x)=(x 20xf(t)dt 一 0xt2f(t)dt)=2x0xf(t)dt；(2)洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右“，事实上不
13、是，因为 =f(0)存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 所以导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导 y=ln(1+3-x)=【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】
14、方程两边同时对 x 求导，可得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 作函数 ，x(一 ，+)，于是有 (x)=已知 f(x)=f(x)，从而 (x)=0，于是 当 x=0 时，易知 故 f(x)=ex【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x1x 2，则 F(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使
15、得 F()=0，即 f()e+f()e=ef()+f()=0由于 e0，因此必有 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (1)设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且(a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0(2)设F(x)= 则 F(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 f(0)一 f(一 2)=2f(1),一 2 10， f(2)-f(0)=2f(
16、2)，0 22令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2 因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1， 2上的最大值在 1， 2 (一 2，2)上取到，则 ()4，且 在 1， 2上可导，由费马定理有：()=0，即 2f().f()+2f().f“()=0 因为|f(x)|1，且 ()4，所以 f()0，于是有 f()+f“()=0， (一 2，2)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f(0)x+ (1)x2 (0 1x)在公式中取 利用题设可得把函数
17、f(x)在 x=1 展开成泰勒公式，得f“(1)一f“(2)=8|f“( 1)|+|f“(2)|8 从而，在 1 和 2 中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)，使|f“()|4 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)，又由柯西中值定理知【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 它们在区间a，b上连续，在(a ，b) 内可导，且 G(x)= 满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至少有一点 ，使得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因 f(x)和 g
18、(x)=cos 2x 在 内可导，且 g(x)=(cos 2x)=一 2sin 2x0， 故由柯西中值定理知，存在 使得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)f(x)= x=0 不是原方程的根(2)考查区间(一，0)f(x) 在(一，0)单调增，又则有对 0，f(x)在(一，0)有唯一零点 (3)考查区间(0 ，+)f(x)在(0，2单调减，在2 ，+)单调增，又于是，当 f(2)0 即 时，f(x)在(0，+)内无零点； ，f(x) 在(0，+)有唯一零点(即 x=2)；，f(x)在(0， 2)及(2，+)内分别有唯一零点，即在(0，+)内有且仅有两个零点【知识模块】 一元函
19、数微分学26 【正确答案】 (1)对 x，x 0a，b，有 f(x)=f(x0)+f(x0)(x 一 x0)+ (x-x0)2f(x 0)+f(x0)(xx0)，在上式中分别取 x=x1，x=x 2， 得到上述两式相加即得证 (2)先证(i)由(1)有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，分别取 x=x1， x=x2，x 0=x1+(1 一 )x2，得到 f(x1)f(x0)+(1 一 )f(x0)(x1x2)， f(x2)f(x0)+f(x0)(x2 一 x1) +(1 一 )得 f(x1)+(1-)f(x2)f(x0)=f(x1+(1 一 )x2)， 得证再证(iv) a，b，设 G
20、 为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的 ，mn，使得 x1=x2=xm=x+n，x m+1=xn=x由(ii)知令 0，则 n，故有 f(x+)一 f(x)0，从而证明了 f(x)的连续性【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 n 为偶数，令 n=2k，构造极限【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限当 f(2k+1)(x0)0 时， ，但 xx 0+时，f“(x)0；xx 0-时，f“(x)0，故(x 0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1 一(n+1)x(1 一 x)n-1， f
21、“(x)=n 2(n+1)x 一 2(1 一x)n-2令 f(x)=0，得驻点 x0= (0，1)，且有 f“(x0)=为 f(x)的极大值点，且极大值 f(x0)= 将它与边界点函数值 f(0)=0，f(1)=0，比较得 f(x)在0，1上的最大值 M(n)=f(x0)=且有【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由 y=ex，y“=e x 得曲线 y=ex 上任意点 P(x，y)处的曲率【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 设质点运动的距离 y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1 ，则有 y(0)=0,y(1)=1，y(0)=0，y(1)=0将 在 t=0 与
22、t=1 处的一阶泰勒展开分别为【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1)M， mf(x 2)M， mf(xn)M， + + mnf(x1)+f(x2)+f(xn)nM，故由介值定理可得 a，b，使得【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 f(x)=f(x 0)+f(x0)(xx0)+ ，取 x0=0，x=1 代入， f(1)=f(0)+ f“(0)(10)2+ f“(1)(10)3， 1(0，1) 取x0=0， x=一 1 代入， f(一 1)=f(0)+ f
23、“(0)(-1 一 0)2+ f“(2)(一 10)3， 2(一1，0) 一 :f(1)一 f(一 1)= f“(1)+f“(2)=10 因为 f“(x)存一 11上连续刚存存 m 和 M使得 mf“(1)M，mf“( 2)M 代入式，有m3M，由介值定理， -1，1，使得 f“()=3【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 函数 f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，由介值定理知，至少存在一点 0，2，使得于是便有 f()=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在 (，3)
24、(0，3)，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 (1)设 c(a，b)，g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x) 在a ，c，c， b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0，其中 1(a，c)， 2(c，b)，对 g(x)在 1， 2上运用罗尔定理，可得 g“(3)=0 因已知 g“(x)0，故 g(c)0 (2)F(x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理， F(a)=0F(b)=0【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f(c)=0 f(x) 在0，c与c，a之间
25、分别使用拉格朗日中值定理， f(c)一 f(0)=cf“(1)， 1(0，c)， f(a) 一 f(c)=(a一 c)f“(2)， 2(c，a)， 所以 |f(0)|+|f(a)|=c|f“(1)|+(a 一 c)|f“(2)| cM+(a 一 c)M=aM【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 把所证等式 改为 x，得 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)，两边同除以x2， 得F(2)=F(1)=f(2)一 f(1)由罗尔定理， (1，2)，使 F()=0，即 f(2)一 2f(1)=f()一 f()【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分
26、学39 【正确答案】 得 f(0)=0，f(0)=1因 f(x)二阶可导，故 f(x)在x=0 处的一阶泰勒公式成立，因 f“(x)0，故 f(x)x，原命题得证【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式 F(x)=F(a)+F(a)(xa)+ F“()(x 一 a)2(ax) 令 x=b，代入式，则 F(b)=F(a)+F(a)(b 一 a)+ F“()(b 一 a)2(ab) 因 f(a)=f(b)=g(a)=0，则 F(a)=F(b)=0，且 F(a)=0，代入式，得 F“()=0即 f“()g()+2f()g()+f()g
27、“()=0【知识模块】 一元函数微分学41 【正确答案】 将 f(x)在 x=a，x=b 展开泰勒公式f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (x-a)2【知识模块】 一元函数微分学42 【正确答案】 因 f(x)=arcsin x 在0，t 上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得【知识模块】 一元函数微分学43 【正确答案】 根据条件 b 一 a4，可以取 x1，x 2(a，b)，使得 x 2 一x14又因为 arctan f(x2)一 arctan f(x1)|arctan f(x2)|+|arctan f(x1)|，所以对函数arctanf(x)在区间x 1，x 2上用拉格朗日中值定理，便知 (x1，x 2) (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学
