1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 04xdx 的值为 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）62 3 函数 f(x)= (t2-t)dt(x0)的最小值为 ( )（A）（B）一 1（C） 0（D）4 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（A） 0xt(f(t)+f(一 t)dt（B） 0xt(f(t)-f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt5 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 axf(t)d
2、t+bx 在(a ，b)内的根有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个6 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（A）y= 0xf(t)dt（B） y=1+0xf(t)dt（C） y=02xf(t)dt（D）y=1+ 02xf(t)dt二、填空题7 8 函数 F(x)= (x0)的递减区间为_9 已知 01f(x)dx=1，f(1)=0，则 01xf(x)dx=_10 11 12 设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 y=0xf(x)dx 在(0， 0)处的切线方程是_13 设 f(x)= 则 -20f(x+1
3、)dx=_14 15 设 f(x)为连续函数，且 F(x)= ，则 F(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算定积分17 计算定积分18 19 计算 0xf(t)g(x-t)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而20 已知 f(x)连续， 0xtf(x-t)dt=1 一 cos x，求 的值21 22 设 tannxdx(n1)，证明：23 24 对于实数 x0，定义对数函数 In x= 依此定义试证：(1) =一 ln x(x0)；(2)ln(xy)=ln x+In y(x0，y0)25 计算 In=-11(x2 一 1)ndx26 计算 01xxd
4、x27 若 f(x)=0xcos dx，试证：f(0)=028 若 f(x)在( 一，+)上连续，且 f(x)=0xf(t)dt，试证：f(x)0(-x+)29 30 31 考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 从而 04xdx=0+1+2+3=6【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 此题若立刻作变换 tan x=t 或 tan ，则在 0x2 上不能确定出单值连续的反函数 x=(t)可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换 tan x=t 在
5、第 2 式中作变换 x= 一 t，即可化为第 1 式，于是【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 得唯一驻点【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0xf(r)dt 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)(C)中被积函数都是偶函数，选项 (D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数应选(A)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 则 F
6、(x)在a，b上连续，而且故 F(x)在(a，b)内有根又 F(x)=f(x)+0，所以 F(x)单调增加，它在 (a，b) 内最多只有一个根应选(B)【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 此极限属“ ”型，用洛必达法则【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 e
7、 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 F(x)= 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 一 1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法原积分= 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x)|01 一 01f(x)dx=一 1【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理然后再计算极限 xx+af(t)dt=f(x).a， x 介于 x，x+a 之间，【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 x 2sin x 是奇函数，故在 上的定积分值为 0原积分
8、【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 y=x【试题解析】 曲线在(0，0)处切线斜率 k=y|x=0=0xf(t)dt|x=0=f(0)=1所以曲线在(0，0)处，切线方程为 y=x【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，原积分= -11f(t)dt=-10(t+1)dt+01t2dt=【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是奇函数，在对称区间一 2，2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证
9、明过程或演算步骤。16 【正确答案】 令 1-x=sin t，则【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 ，则 x=t2，dx=2tdt ，故【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 x=u-t，则 g(x)一 g(u 一 t)= 于是0xf(t)g(xt)dt=0xtsin(xt)dt =0xtdcos(xt)=tcos(x-t)|0x0xcos(xt)dt =x+sin(xt)|0x=xsin x【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 x 一 t=u，有 0xtf(xt)dt=0x(x 一 u)f(u)du于是
10、 x 0xf(u)du 一0xuf(u)du=1 一 cos x两边对 x 求导，得 0xf(u)du=sin x，【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由分部积分法可知又因为 f(1)=0，f(x)=故【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 (2)令t=x，则有【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由分部积分可得 In=x(x2 一 1)n|-11 一 2n-11x2(x21)n-1dx=-2n-11(x2一 1)ndx 一 2n-11(x21)n-1dx=一 2nIn 一 2nIn-1，【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 ，所以 x=0 不是瑕点【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由 f(x)=0xf(t)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=cex，又 f(0)=0，故f(x)0【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 因 k 值不同，故分情况讨论：【知识模块】 一元函数积分学
