1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定2 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 则在 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导，且 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值3 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 ，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极小值（B） f(x0)是 f(x)
2、的极大值（C） (x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 设 y=f(x)是满足微分方程 y”一 y一 esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )（A）x 0 的某个邻域内单调增加（B） x0 的某个邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值5 设函数 f(x)具有连续的二阶导数，且点(0 ，f(0) 是函数 y=f(x)对应曲线的拐点，则（A）0（B） 2（C） f(0)（D）2f(0)6 已知函数 f(x)二阶可导，曲线 y=f”(x)的图形如图 2
3、3 所示，则曲线 y=f(x)( )（A）在(一 ，0) 内是凹的，在(0，+) 内是凸的，有一个拐点（B）在 (一 1，0)，(1 ，2) 内是凹的，在其他区间是凸的，有三个拐点（C）在 (一 1，0)，(0 ，1) ，(2 ，+)内是凸的，在其他区间是凹的，有三个拐点（D）在(一 1，0) ，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有四个拐点7 设函数 f(x)满足关系式 f”(x)+f(x)2=x，且 f(x)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0
4、)也不是曲线 y=f(x)的拐点8 曲线 的渐近线条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）39 设 f(x)=ln |(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)|，则方程 f(x)=0 的根的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xyx2=1 所确定的函数，求 y=y(x)的极值11 设 y=f(x)有二阶连续导数，且满足 xy“+3xy2=1-e-x (1)若 f(x)在 x=c(c0)处取得极值，证明 f(c)是极小值 (2)若 f(x)在 x=0 处取得极值，问 f(0
5、)是极小值还是极大值? (3)若 f(0)=f(0)=0，证明 x0 时， 12 设 a1， f(t)=at-at 在( 一，+) 内的驻点为 t(a)问 a 为何值时，t(a)最小? 并求出最小值13 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形的面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，并且 a1试确定 a 的值，使 S=S1+S2 达到最小，并求出最小值14 求曲线 的渐近线15 作函数 的图形16 证明：17 设 x0，证明 ln(1+x)18 设 x(0，1)，证明：(1)(1+x)ln 2(1+x)x 2；(2)19 设函数 f(x)在0，a上可导，且 f(
6、0)=0，f(x) 单调增加，证明：20 设 ba 0，证明不等式21 试证当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1)222 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 |f(x)|a，|f”(x)|b，其中 a，b 为非负常数，证明对任意 x(0，1)，有23 设函数在闭区间0，1上可微，对于0，1 上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0 ，1) 内，且 f(x)1，证明在(0，1)内方程 f(x)=x 有且仅有一个实根24 设在1 ，+) 上处处有 f”(x)0，且 f(1)=2,f(1)=一 3，证明：在(1，+) 内方程f(x)=0 仅有一个实根25 试就常数 k 的不同
7、取值，讨论方程 xe-x 一 k=0 的实根的个数26 讨论曲线 y=ln4x+4x 与 y=4ln x+k 交点的个数27 求曲线 y=lnx 的最大曲率28 求曲线 x=acos3t，y=asin 3t 在 处的曲率半径29 已知某企业的总收益函数为 R(Q)=26Q 一 2Q2 一 4Q3，总成本函数为 C(Q)=8Q+Q2，其中 Q 表示产品的产量求边际收益函数、边际成本函数以及利润最大时的产量30 某产品的成本函数为 C(Q)=aQ2+bQ+c，需求函数为 ，其中 P 为价格，Q 为需求量(产量) ，常数 a，b，c，d，e0，且 db，求： (1)利润最大时的产量及最大利润； (2
8、)需求量对价格的弹性； (3) 需求量对价格的弹性的绝对值等于1 时的产量考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如果 f(x)=g(x)=一 x2，在 x=0 处取极大值，但 F(x)=x4 在 x=0 处取极小值，故选项(A) 、(C) 不正确 如果 f(x)=一 x2，g(x)=1 一 x2，两函数都在 x=0 处取极大值，但 F(x)=一 x2(1 一 x2)在 x=0 处仍取极大值，事实上 F(x)=一2x+4x3，F“(x)=一 2+12x2， F(0)=0 ，F“(0)0
9、，即 F(x)在 x=0 处取极大值，因此(B)不正确，综上，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以又 故存在 x=0 的某个邻域 U(0，)，对任意 xU(0，)，由极限保号性 即 f(x)0=f(0)，由极值定义，应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 由极限的保号性，存在 x0 的某个邻域(x 0 一，x 0+)(0)，当 x(x0 一 ，x 0+)，有 当 x0 一 xx 0 时，f(x)0，当 x0xx 0+ 时， f(x)0，故 f(x)在 x=x0 处取极小值，从而应选
10、(A)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件知 f”(x)-f(x)=esinx，从而 f”(x0)-f(x0)= 又 f(x0)=0，从而 f”(x0)= ，由极值的第二充分条件，f(x)在 x0 处取极小值，因此应选(C)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 又f(x)有连续的二阶导数，故原极限= =f”(0)=0，从而应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由图形得表格如下由表格知，y=f(x) 在(一 1，0) 和(1，2)内是凹的，在(一，一 1)，(0，1)和(2，+)内是凸的，共有四个拐点
11、，故应选(D)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 将 x=0 代入已知方程，得 f”(0)=0故在 x=0 的充分小的邻域 U(0，)内，有 且一 x0 时 f”(x)0，0x 时 f”(x)0，从而 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 故曲线有水平渐近线 y=1故 x=一1 为铅直渐近线，即曲线有两条渐近线，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 u(x)0 时，函数 u(x)与 lnu(x)有相同的驻点，而 y=|(x 一 1)(x 一 2)
12、(x 一 3)|有两个驻点，所以 f(x)也有两个驻点，故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 在方程两端对 x 求导数，得 6y 2y一 4yy+2xy+2y-2x=0， 令 y=0，得 x=y，代入原方程得 x=1，y=1在式 两边再对 x 求导数，得 12yy2+6y2y”-4y2 一 4yy“+2xy”+4y-2=0，以 x=1，y=1，y=0 代入，得 y“(1)= 0 ，知 x=1 时 y=y(x)有极小值 y=1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (1)因 f(c)是极值，故 y(c)=0，代入方
13、程，得从而 f(c)是极小值(2)当 x0 时，由 y，y” 连续及 y(0)=0，有从而 f(0)是极小值(3)当 x0 时，令 (x)=x 一 1+e-x，有(x)=1e-x0(x0)，而 (0)=0，所以 (x)(0)=0，即 从而 f”(x)1由泰勒公式， (0，x) ，使【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 由 f(t)=atlna 一 a=0，得唯一驻点 t(a)= 又得唯一驻点 a=ee当 ae e 时，t(a) 0；当ae e 时，t(a)0，因此 t(ee)= 为极小值，从而也是最小值【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 当 0a1 时，如图 21 所示，
14、 S=S 1+S2=0a(ax-x2)dx+a1(x2 一ax)dx 令 S=0，得是极小值，也是最小值，此时当 a0 时，如图 2-2 所示，故 S 单调减少，a=0 时，S 取最小值，此时 综上所述，当 时，S 取最小值，此时【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 不存在 x0，使 故没有铅直渐近线而 故不存在水平渐近线 所以x+时，有斜渐近线 又因为即曲线有水平渐近线为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (1)函数的定义域为(一，1)(1， +)令 f(x)=0，得驻点 x=一 1，x=3因 f”(x)=0 无解，故没有拐点(3)因为 所以 x=1 是 f(x)的铅直
15、渐近线又所以 是 f(x)的斜渐近线(4)列表(5)极大值点(一 1，一 2)，极小值点 (3，0)，而 f(0)= (6)作图 24【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 f(x)= ，则【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arctanx，x0，则即 f(x)当 x0 时单调增加 又 f(0)=0，故 f(x)f(0)=0，从而 (1+x)ln(1+x)-arctanx0，【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 (1)令 f(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，则 f(0)=0 f(x)=ln 2(1+x)+2l
16、n(1+x)一 2x，f(0)=0 当 x0 时，ln(1+x)x，故 f”(x)0，f(x)单调减少;f(x)f(0)=0，故 f(x)单调减少，从而有 f(x)f(0)=0，即 (1+x)ln2(1+x)x 2 由(1)知 g(x)0，x(0，1)，故 g(x)在(0，1) 内单调减少故当 x(0，1)时，有【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 F(t)=0txf(x)dx 一 0tf(x)dx，0ta所以 F(t)在0，a上单调增加，而 F(0)=0，从而 F(t)0，即 F(t)在0，a上单调增加，于是 F(a)F(0)=0 ，即【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答
17、案】 令 f(x)= ，xa0，则当 xa0 时 f”(x)0，f(a)=0 ，则 f(x)0又f(a)=0，故 f(x)0，xa特别的，当 ba0 时，有 f(b)0，即【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 设 f(x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，则 f(1)=0，令 f“(x)=0，则 x=1当 0x1 时,f“(x) 0，当x1 时,f“(x) 0，因此 f”(1)=2 是 f”(x)的最小值f”(x)f”(1)0，因此曲线 y=f(x)在(0， +)上为凹的又由 f(1)=0，知 f(1)=0 为函数 f(x)的最小值 因此，当x0 时,f(x)0 ，即 (
18、x 2 一 1)ln x(x 一 1)2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由泰勒公式，有两式相减，有所以当 x(0，1)时(1 一 x)2+x21，所以 |f(x)|【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设 F(x)=f(x)一 x，则 F(x)在0，1上连续 由于 0f(x)1，所以 F(0)=f(0)0，F(1)=f(1) 一 10， 由介值定理知，在(0，1)内至少存在一点 ，使F()=0，即 f()= 假设有两个 x1，x 2(0，1)，且 x1x2，使 F(x1)=F(x2)=0，则由罗尔定理，存在 (0，1)，使 F()=f()一 1=0，这与 f(x)1
19、矛盾，故 f(x)=x 有且仅有一个实根【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 将函数 f(x)在 x=1 处展开为一阶泰勒公式，得由题设 f”(x)0，知于是 f(x)23(x 一 1)=53x取 ,f(x0)0，又 f(1)=20，由介值定理知，存在 (1，x 0) (1，+)，使得 f()=0，即方程 f(x)=0 在(1，+) 内有实根存在 由于 f”(x)0， (1，+)，所以 f(x)单调减少，于是f(x)f(1)=一 3，即当 x1 时,f(x)0，f(x)单调减少，故方程 f(x)=0 在(1，+) 内只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(
20、x)=xe-x 一 k，则 f(x)=(1 一 x)e-x 令 f(x)=0，得唯一驻点x=1当 x1 时 f(x)0，当 x1 时 f(x)0，所以 f(1)=e-1 一 k 是 f(x)的最大值，因此如果 e-1 一 k0，即 ke -1 时,f(1)0，且 从而当0ke -1 时,f(x)=0 有两个实根，当 k0 时,f(x)=0 有唯一实根 如果 e-1 一 k0，即 ke -1 时,f(x)=0 无实根 如果 e-1 一 k=0，即 k=e-1 时 f(x)=0 有唯一实根【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 f(x)=ln4x+4x 一 4lnx 一 k问题等价于讨
21、论函数 f(x)在(0，+)内零点的个数，由 知 x=1 是 f(x)的唯一驻点当 0x1 时,f(x)0；当 x1 时,f(x)0 故 f(1)=4-k 是函数 f(x)的最小值 当 4-k0，即k4 时,f(x)无零点，即两曲线无交点 当 4-k=0，即 k=4 时,f(x)有唯一零点 x=1，即两曲线只有一个交点 当 4-k0，即 k4 时，由于故 f(x)有两个零点，分别在区间(0，1)和(1，+) 内，即两条曲线有两个交点【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 边际收益函数为 R(
22、Q)=264Q 一 12Q2边际成本函数为 C(Q)=8+2Q利润函数 L(Q)=R(Q)一 c(Q)=18Q 一 3Q2-4Q3令 L(Q)=186Q 一12Q2=0，得 Q=1， 又 L”(1)=一 300，故企业获得最大利润时的产量 Q=1【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)由需求函数解得 P=deQ，从而利润函数为 L(Q)=pQC(Q)=(deQ)Q 一(aQ 2+bQ+c) =一(a+e)Q 2+(d-b)QC，令 L(Q)=一 2(a+e)Q+(db)=0，解得 ，而 L“(Q)=-2(a+e)0，所以 (2)需求的价格弹性 (3)当 =1 时,【知识模块】 一元函数微分学
