1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则在 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在2 设 f(x)具有二阶连续导数，且 ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1,f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标3 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )（A）若 存在，则 f(0
2、)=0（B）若 存在，则 f(0)=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在4 设 f(x)在a ，b可导 ，则( )（A）f +(a)=0 （B） f+(a)0（C） f+(a)（D）f +(a)05 设 f(x)在a ，b上二阶可导，且 f(x)0，则不等式 成立的条件是( )（A）f(x)0,f(x) 0（B） f(x)0,f(x)0（C） f(x)0,f(x)0（D）f(x)0,f(x) 06 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 f(x)在( 一，+)可导，x 00，(x 0
3、,f(x0)是 y=f(x)的拐点，则( )（A）x 0 必是 f(x)的驻点（B） (一 x0，一 f(x0)必是 y=一 f(一 x)的拐点（C） (一 x0，一 f(一 x0)必是 y=-f(x)的拐点（D）对任意 xx 0 与 xx 0，y=f(x)的凸凹性相反8 设函数 f(x)=x 3 一 1(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件9 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（A）若 f(x)在(一，+) 上可导且单调
4、增加，则对一切 x(一，+)，都有 f(x)0（B）若 f(x)在点 x0 处取得极值，则 f(x0)=0（C）若 f(x0)=0，则(x 0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点坐标（D）若 f(x0)=0,f(x0)=0,f(x0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点10 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值11 设0 ，4 区间上 y=f(x)的导函数的图形如图 21 所示，则 f(x)( )（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，4 单调下降且为凹的（B）在 0，1，
5、3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的12 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是F(x)在 x=0 处可导的 ( )（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件13 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）314 设 f(x)有二阶连续导数，且 则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0
6、)是 f(x)的极小值（C） (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点15 曲线 ( )（A）既有垂直又有水平与斜渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）只有垂直与水平渐近线（D）只有垂直与斜渐近线16 设函数 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点17 设 ，则( )（A）f(x)在1，+)单
7、调增加（B） f(x)在1，+)单调减少（C） f(x)在1，+)为常数 （D）f(x)在1，+)为常数 018 设在0 ，1上 f(x)0，则 f(0)f(1)f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（A）f(1)f(0)f(1)-f(0)（B） f(1)f(1)一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)一 f(1)f(0)19 设 则( )（A）F(x)在 x=0 点不连续（B） F(x)在 x=0 点不可导（C） F(x)在 x=0 点可导，F(0)=f(0)（D）F(x)在 x=0 点可导，但 F(0)f(0)20 设
8、函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时，有( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 0二、填空题21 曲线 的斜渐近线方程为_22 设 =_23 曲线 的水平渐近线方程为_24 曲线 的斜渐近线方程为_25 设 y=sin4x，则 y(n)=_26 曲线 处的切线方程为_27 曲线 的过原点的切线是_28 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_29 曲线戈 y=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是_.三、解答
9、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)f(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h)，试求 a，b 的值31 设 eabe 2，证明 .31 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1证明：32 存在 (0，1)，使得 f(f)=1 一 ；33 存在两个不同的点 ，(0，1) ，使得 f()f()=134 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值 f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明存在 (
10、a，b)，使得 f()=g()35 (1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)-f(a)=f()(ba)(2) 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A36 设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 ，求函数 (t).考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a)2，
11、显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊 f(x)满足: 则 f(x)满足题中条件，且 f(x)在 x=1 处取极小值，而其余均不正确故选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查的是可导的极限定义及连续与可导的关系由于已知条件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的特殊函数 f(x)判断取特殊函数 f(x)=x，则 但 f(x)在x=0 不可导，故选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D
12、【试题解析】 由导数定义及题设得 ，故选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需要过点(a,f(a)平行于 x 轴的直线在曲线 y=f(x)的下方，连接点(a,f(a)和点(b,f(b)的直线在曲线 y=f(x)的上方(如图 23)当曲线 y=f(x)在a，b是单调上升且是凹时有此性质于是当 f(x)0,f(x)0 成立时，上述条件成立，故选 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2x在 x=0 处的最高阶导数的存在性
13、事实上，由 可立即看出 f(x)在 x=0处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 从几何上分析，y=f(x)与 y=一 f(一 x)的图形关于原点对称x 00，(x 0,f(x0)是 y=f(x)的拐点，则(一 x0，一 f(x0)是 y=一 f(一 x)的拐点故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 且由函数f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件为 f-(1)=f+(1)，可得一 3(1)=3(1)，即 (1)=0，故选 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 若在(一
14、，+)上 f(x)0，则一定有 f(x)在(一，+)上单调增加，但可导函数 f(x)在(一，+) 上单调增加，可能有 f(x)0例如 f(x)=x3 在(一，+)上单调增加，f(0)=0故不选 Af(x) 若在 x0 处取得极值，且 f(x0)存在，则有 f(x0)=0，但当 f(x)在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f(x0)=0，例如 f(x)=x在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B如果 f(x)在x0 处二阶导数存在，且(x 0,f(x0)是曲线的拐点坐标，则 f(x0)=0，反之不一定，例如 f(x)=x4 在 x0=0 处 f(0)=0，
15、但 f(x)在(一 ，+)没有拐点，故不选 C由此选D【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 因当 x0 时， 从而可取 f(x)=x2，显然满足题设条件而 f(x)=x2 在 x=0 处取得极小值，故选 D【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0， 1)或(3，4)时 f(x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降当 x(1，3)时 f(x)0，那么 f(x)在1 ，3单调上升又 f(x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的 f(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4 是凸的故选B【知识模块】 一元函数微分学12
16、【正确答案】 A【试题解析】 令 (x)=f(x)sinx，显然 (0)=0由于而由 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件是 +(0)与 +(0)都存在且相等可知，若 f(0)=0，则必有 +(0)=+(0)；若 +(0)=一 f(0)，即有 f(0)=一 f(0)，从而 f(0)=0因此 f(0)=0是 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 D【试题解析】 本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判断所以 y=0 是曲线的水平渐近线；
17、所以 x=0 是曲线的垂直渐近线；所以 y=x 是曲线的斜渐近线故选 D【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 可知，存在 x=0 的某邻域UR(0)，使对任意 xU(0)，都有 即 f(x)0从而函数 f(x)在该邻域内单调增加于是当 x0 时，有 f(x)f(0)=0 ；当 x0 时 f(x)f(0)=0，由极值的第一判定定理可知 f(x)在 x=0 处取得极小值故选 B【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(一，一 3)0， +)，且只有间断点 x=一 3，又，所以 x=一 3 是曲线的垂直渐近线
18、x0 时，因此 是曲线的斜渐近线(x一)故选 A【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导，得 f(x)+2f(x)f(x)=1令 x=0，可得f(0)=1(因由上式可推得 f(x)连续)又 f(0)=0，由拐点的充分条件可知， (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点故选 C【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 C【试题解析】 按选项要求，先求 f(x)又 f(x)在1，+) 连续，则 故选 C【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f(x)0，x 0，1，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格
19、朗日定理，可得 f(1)一 f(0)=f()，(0， 1)因此有 f(0)f()f(1)，即 f(0)f(1)一 f(0)f(1)故选 B【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 B【试题解析】 不必求出 F(x).利用已知结论判断,设 f(x)在a，b连续，则 F(x)=x0xf(t)dt 在a，b可导，且 F(x)=f(x)(xa，b)，x 0 是a，b某定点由于 F+(0)F-(0)，所以 F(x)在 x=0 不可导，故选 B【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=f(一 x)可知,f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数
20、，即 f(x)为奇函数 f(x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f(x)0,f(x)0，则当 x0 时，有 f(x)0,f(x)0故选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题21 【正确答案】 【试题解析】 结合斜渐近线方程公式因为【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 先考查 (x)的可导性并求导(x) 在 x=0 处的左导数为(x)在 x=0 处的右导数为所以 (0)=0因此【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解由于因此曲线的水平渐近线为【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐
21、近线方程为 y=ax+b因为所以所求斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【试题解析】 先将原式分解为【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【试题解析】 在点 在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此，所求的切线方程为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标把(0，0)代入上式，得 x0=一 3 或 x0=一 15则斜率分别为 所以切线方程为x+25y=0 与 x+y=0【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 由题干可知，所求
22、切线的斜率为 1由 得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为 y0=1.(x 一 1)，即 y=x 一 1【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 (x 一 2)2+(y 一 2)2=2【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 【正确答案】 由题设条件知，【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一10，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使
23、得 F()=0，即 f()=1 一【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 在0，和 ，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)， (，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(A)=F(B)=0又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2(a，b)使得若 x1=x2，令 c=x1，则 F(C)=0若x1x 2，因 F(x1)=g(x1)一 g(x1)0，F(x 1)=f(x2)一 g(x2)0，从而存在 cx1，x 2c(a， b)，
24、使 F(C)=0在区间a，c ，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1(a，c) ，2(c， b)，使得 F()=F()=0再对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，知存在(1， 2)c(a，b)，有 F()=0，即 f()=g()【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 (1)作辅助函数 易验证(x)满足：(a)=(b)；(x) 在闭区间a ，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使()=0，即 所以 f(b)-f(a)=f()(b 一 a)(2)任取 x0(0，) ，则函数 f(x)满足在闭区间0 ，x 0上连续，开区间(0 ，x 0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 x0(0，x 0)c(0，)，使得【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
