1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)是定义在(一 1，1)内的奇函数，且 =a0，则 f(x)在 x=0 处的导数为 ( )（A）a（B）一 a（C） 0（D）不存在2 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x
2、同阶但非等价的无穷小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小4 已知函数 f(x)=lnx 一 1，则 ( )5 函数 y= x2+6x+1 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( )（A）(一 1，0)（B） (一 ，0)（C） (1，0)（D）( ，0)6 函数 f(x)= 在 x= 处的 ( )7 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则 f(n)(x)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n!f(x)n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1)!f(x) n+18 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=
3、1，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0，则它的图形是 ( )二、填空题9 曲线 在 t=1 处的曲率 k=_10 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_11 设函数 f(x)= 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_12 曲线 y=x+ 的凹区间是_13 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则a，b，c，d 分别为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)=x3+4x2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x
4、)=0 在(一，0)内的实根情况15 求 y= 的反函数的导数。16 设 y= ，a ，b，c 是三个互不相等的常数，求 y(n)17 设函数 f(y)的反函数 f 一 1(x)及 ff 一 1(x)与 f“f 一 1(x)都存在，且 f 一 1f 一 1(x)0证明： 。18 求函数 y= 的导数19 y= ，求 y。20 设 y=y(x)是由 sin xy=ln +1 确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值21 设 y=f(ln x)ef(x)，其中 f 可微，计算 22 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x)， f(2)=1 ， 计算 f(n)(2)
5、23 设曲线 f(x)=en 在点(1，1)处的切线与 z 轴的交点为(x n，0)，计算 f(xn)。24 曲线 y= 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?25 设 (x)= 又函数 f(x)在点 x=0 处可导，求 F(x)=f(x)的导数26 证明：不等式 1+xln(x+ ，一 x+27 讨论方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 实根的情况28 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况29 设 fn(x)=x+x2+一 xn，n=2，3，(1) 证明方程 fn(x)=1 在0
6、，+)有唯一实根xn；(2)求 30 设 fn(x)=1 一(1 一 cos x)n，求证：(1) 对于任意正整数 n，f n(x)= 中仅有一根；(2)设有 xn 31 在数 1， ，中求出最大值32 证明：方程 xa=ln x(a0) 在(0，+)上有且仅有一个实根33 设 0k1，f(x)=kx 一 arctan x证明：f(x) 在(0 ，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x0(0，+)，使 f(x0)=0考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)为( 一 1，1)
7、内的奇函数，则 f(x)=0于是故f一 (0)=f+(0)=a，得 f(0)=a，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 故f+(0)=0，从而 f(0)存在，且 f(0)=0，应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，而 =1，即 dy 与x 是等价无穷小，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝对值函数写成分段函数，f(x)=即得(B) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)
8、的切线方程为 y 一1=6x，因此与 x 轴的交点为(一 ，0)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 得 f“(x)=f(x)=(f(x) 2=2f(x)f(x)=2f(x)3， 这样n=1，2 时 f(n)(x)=n!f(x)n+1 成立假设 n=k 时，f (k)(x)=k!f(x)k+1则当 n=k+1 时，有 f k+1(x)=k!(f(x)k+1=(k+1)!f(x)kf(x)=(k+1)!f(x)k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选
9、(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 一【试题解析】 利用洛必达法则， =b，由于 f(x)在 x=0
10、处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=一 1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 y=1+ 当 x0 时，y“0，曲线是凹的；当 x0时，y“0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 1，一 3，一 24，16【试题解析】 由条件有 解方程可得a=1，b=一 3，c=一 24，d=16【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 f(一 5)=一 110，f(一 1)=50，f(0)=一 10，所以 f(x)在一 5，一 1及 一 1，0上满足零
11、点定理的条件，故存在 1(一 5，一 1)及 2(一1，0)，使得 f(1)=f(2)=0，所以方程 f(x)=0 在(一，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1 上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点3，使得 f(3)=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程f(x)=0 在(一，0)内只有两个不等的实根【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设 x=f(y)则其反函数为 y=f 一 1(x)，对 x=f(y)两边关于 x
12、求导，得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 故 y“(0)=e3(3e3 一 4)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边求导数得 f“(x)=e f(x)f(x)=e 2f(x)， 两边再求导数得 f“(x)=e2f(x)2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f (4)(x)=2e3f(x)3f(x)=3!e4f(x)， 由以上规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n 一 1)!enf(x)
13、， 所以 f(n)(2)=(n1)!en【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn 一 1 x=1=n，所以切线方程为 y=1+n(x 一 1)，令 y=1+n(x 一 1)一 0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F(0)=f(0)(0)=0所以【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x) 的最小值为 f(0)=0，于是，对一切
14、x(一，+)，有 f(x)0，即有【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a，讨论方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况 显然， =+，所以，应求函数 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a 的极值，并讨论极值的符号 由 f(x)=6x2一 18x+12=6(x1)(x 一 2)得驻点为 x1=1，x 2=2，又 f“(x)=12x 一 18，f“(1)0，f“(2)0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=5 一 a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4 一 a 当
15、极大值 f(1)=5 一 a0，极小值 f(2)=4 一 a0，即4a5 时， f(x)=2x39x2+12x 一 a 有三个不同的零点，即方程 2x3 一 9x2+12x 一a=0 有三个不同的实根； 当极大值 f(1)=5 一 a=0 或极小值 f(2)=4 一 a=0，即 a=5或 a=4 时，f(x)=2x 3 一 9x2+12x 一 a 有两个不同的零点，即方程 2x39x2+12x 一a=0 有两个不同的实根； 当极大值 f(1)=5 一 a 0 或极小值 f(2)=4 一 a0，即a5 或 a4 时，f(x)=2x 3 一 9x2+12xa 有一个零点，即方程 2x3 一 9x2
16、+12x 一 a=0有一个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 f(x)=axex+b，因为 =+，求函数 f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f(x)=ae x+axex=aex(1+x)，驻点为 x=一 1， f“(x)=2ae x+axexaex(2+x)，f“(一 1)0，所以，x=一 1 是函数的极小值点，极小值为 f(一 1)=b 一 当 b (0)时，函数 f(x)无零点，即方程无实根； 当 b= (0)时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； 当 0b时，函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根； 当 b0
17、时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 f n(x)连续，且 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理， xn(0，1)，使 fn(xn)=1，n=2 ，3，又 x0 时，f n(x)=1+2x+nxn 一 10，故 fn(x)严格单增，因此 xn 是 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根 (2)由(1) 可得，x n(0，1)，n=2，3 ，所以 xn有界 又因为 fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，所以 xn+xn2+xnn=xn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1，即(x n+xn2+xn)一(x n+
18、1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10，因此 xnx n+1，n=2，3，即x n严格单调减少【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)因为 fn(x)连续，又有 fn(0)=1，又因为 fn(x)=一n(1 一 cos x)n 一 1 sin x0，x 内严格单调减少因此，满足方程 fn(x)= 中仅有一根【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 先考查连续函数 f(x)= (x0) 令 f(x)=0 得 x=e，且有当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时，f(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e) 为 f(x)在 x0 时的最大值，而 2e3，
19、于是所求的最大值必在 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 令 f(x)=ln xx，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=一 10，X1，当 xX 时，有 f(x)M 0，任取 x0X，则 f(1)f(x0)0，根据零点定理， (1，x 0)，使得 f()=0，即方程 x=ln x 在(0，+) 上至少有一实根又 ln x 在(0，+)上单调增加，因 0，一 x 也单调增加，从而 f(x)在(0，+)上单调增加，因此方程 f(x)=0 在(0 ，+) 上只有一个实根，即方程 x=ln x 在(0，+)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
