1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=xx 在区间 ，+)上 ( )（A）不存在最大值和最小值（B）最大值是（C）最大值是（D）最小值是2 函数 f(x)=2x+ ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=一 1 处取极小值， x=0 处取极大值3 若 f(x)在 x0 点至少二阶可导，且 =一 1，则函数 f(x)在 x=x0 处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值4 设函数 f(
2、x)= ，则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 时，必有 f(x1)f(x 2)5 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，则 ( )（A）f(0)=0 且 f一 (0)存在（B） f(0)=1 且 f一 (0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在6 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意
3、x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则 ( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(一 z)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加7 设 a 为常数， f(x)=aex 一 1 一 x 一 ，则 f(x)在区间(一 ，+)内的零点个数情况为 ( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(z)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x
4、)无零点8 设函数 f(x)在区间a，+) 内连续，且当 xa 时， f(x)l 0，其中 l 为常数若f(a)0，则在区间 (a，a+ )内方程 f(x)=0 的实根个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题9 若函数 f(x)=asin x+ 处取得极值，则 a=_。10 曲线 y= 的渐近线是_11 已知 a，b e ，则不等式 成立的条件是 _12 曲线 y= 的曲率及曲率的最大值分别为_13 曲线 y=ln(e 一 )的全部渐近线为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 f(x)在( 一，+)上连续， =+，且 f(x)的最小值 f(x0)x 0
5、，证明：ff(x)至少在两点处取得最小值15 设 T=cos n，=arccos x，求 16 已知 y=x2sin 2x，求 y(50)17 计算 。18 已知 f(x)= ，求 f(1)19 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程20 设 f(x)= 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=一1，求 f(x)，并讨论 f(x)在(一 ，+)内的连
6、续性21 求函数的导数：y= (a0)22 求函数的导数：y=e f(x)f(e x)23 已知 y= 24 设 f(t)具有二阶导数， f( x)=x2，求 ff(x)，ff(x)25 设 ，求 y26 函数 y=y(x)由方程 cos(x2+y2)+exx2y=0 所确定，求 27 设 y= (a0，b0，求 y28 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 =3(1+t)。29 设 f(x)= 试问当 a 取何值时，f(x)在点 x=0 处，连续，可导，一阶导数连续， 二阶导数存在30 设 y= ，求 y(n)(n1)31 设 y=sin4xc
7、os4x，求 y(n)32 设 y=ex sin x，求 y(n)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y=x x(ln x+1)，令 y=0，得 x= 时，y0，函数单调增加，故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= 令 f(x)=0，得 x=一 1，且当 x=0 时，f(x)不存在，f(x)在 x=一 1 左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=一 1 处取极大值；在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识
8、模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 0，当 0x 一 x0 时，0，由于(x 一 x0)20，于是 f(x)一 f(x0)0，所以 f(x0)f(x)，x 0 为极大值点故选(A) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一，3)(3，+)， f(x)=一 0 (x3)则 f(x)在区间(一，3)及(3，+) 上分别是单调减少的【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，所以 f(0)=0从而有 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 根据单
9、调性的定义直接可以得出(D)项正确【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题 令 g(x)=f(x)e 一 x=一 a 一(1+x+ )e 一 x，由于 e 一 x0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又g(x)= 0，且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f(一)0，f(+) 0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点 当 a0，f(x)e 一 x=a 一(1+x+ )e 一 x0
10、，f(x)无零点【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 故零点 只有一个，答案选择(B) 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acos x+cos 3x，因 x=0，a=2 这时 f“(x)=一 2sinx 一 3sin 3x， 为极大值点【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y=1【试题解析】 =e0=1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 e a b【试题解析】 令 f(x)= =0，得 x=e当 xe 时，f(x)0，函数 f(x)单调减小，因此有 eab 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案
11、】 ，1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x=0，x= 和 y=1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x0，则 F(x)在(一，+)上连续，且 F(x)0，bx 0，使得 F(b)0，于是由零点定理知 x2(x0，b) ，使得 F(x2)=0，即有 x1x 0x 2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得 ff(x1)=f(x0)=ff(x2)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 =一 nsin n(一 sin)=nsin nsin，因为 =arcco
12、s x，当 x1 一 时，0，所以【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6) 处和点(1 ，f(1) 处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x 一6)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答
13、案】 当 x0 时，f(x)可导，且故 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(x)在(一 ，+) 内连续【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y= lnaax a 一 1，其中，(xx)=(exlnx)=exlnx(ln x+1)=x x(ln x+1)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 y=e f(x)f(x)f(e x)+ef(x)f(e x)ex【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 t= ，则 f(t)=4t2，即 f(x)=4x2 f(x)=8x，由函数概念得 ff(x)=f(8x)=4(8x) 2=2
14、56x2， ff(x)=ff(x) f(x)=8f(x)8x=32x 28x=256x 3【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方程两端对 x 求导 一 sin(x2+y2)(2x+2yy)+ex 一 2xyx2y=0【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 两边取对数【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 当 3 时，f“(0)不存在；当 3 时，f“(0)=0 ，即 f(x)在点 x=0 处二阶可导【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 因 y=(sin2x+cos2x)(sin2xcos2x)=一 cos 2x， y (n)=一2ncos(2x+ )【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
