1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sin x)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)一 f(0)=02 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有f(x)x 2，则x=0 必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)03 设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+) 内二阶可导
2、，又 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹4 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= 0x(x2 一 t2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导且导函数连续6 曲线 y= ，当 x时，它有斜渐近线 ( )（
3、A）y=x+1（B） y=一 x+1（C） y=一 x 一 1（D）y=x 一 17 当 x0 时，曲线 y=xsin ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线8 曲线 y= ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，也有铅直渐近线二、填空题9 设 y= 则 y=_10 设 y=ln(1+3 一 x)，则 dy=_11 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+y+cos xy=0 确定，则 =_12 设 =_13 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
4、4 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：当 n 为奇数时，(x，f(x 0)为拐点15 求函数 f(x)=nx(1 一 x)n 在0，1上的最大值 M(n)及 (n)16 求曲线 y=ex 上的最大曲率及其曲率圆方程17 设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 418 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb，试证：在 a，b内存在 ，使得 f()= 19 设 f(x)在闭区间一 1，
5、 1上具有三阶连续导数，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在一 1，1 内存在 ，使得 f“()=320 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在 (0，3)，使 f()=021 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g“(x)0 ，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 ，证明： (1) 在(a， b)内，g(x)0 ； (2)在(a，b) 内至少存在一点 ，使 22 在区间0 ，a上f“(x)M，且 f(x)在(0，a) 内取得极大值证明：f(0)+f(a) Ma23 设 f(x)
6、在闭区间1，2上可导，证明： (1， 2)，使 f(2) 一 2f(1)=f()一 f()24 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明：25 设 =1，且 f“(x)0，证明：f(x)x26 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明： (a，b)，使f“()g()+2f()g()+f()g“()=027 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，证明： (a，b)，使 f“()f(b)一 f(a)。28 设 f(x)=arcsin x， 为 f(x)在闭区间0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求
7、极限 29 若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n 一1又 xx 0 时， (n)(z) (n)(x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)30 设函数 f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且 f“(x)0试证： (1)若 x0(a，b)，则对于(a ，b)内的任何 x，有 f(x 0)f(x)一 f(x0)(xx0)，当且仅当 x=x0 时等号成立； (2)若 x1，x 2，x n(a，b)，且 xix i+1(i=1，2，n 一 1)，则 ，其中常数 ki0(i=1 ，2， ，n) 且 ki=131 若 x一 1，证明： 当 01 时
8、，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x)1+x32 求证：当 x0 时，有不等式 arctan x+ 考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知 f(0)=0， =0，故 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0f(x)在(0，+)内单调增；f“(x)0f(x)在(0，+) 内为凸曲线由 f(x)=f(一 x)f(x) 关于 y 轴对称f(
9、x) 在(一 ，0) 内单调减，为凸曲线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则， =f(0)0，所以 k=3，选(C)其中F(x)=x 20xf(f)dt 一 0xt2f(t)dt=2x0xf(t)dt； 洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为 =f(0)存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 所以导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因此有斜
10、渐近线 y=一 x 一 1，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 =1，由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 =+，由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导 y=ln(1+3 一 x)=一【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，可得【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答
11、案】 cost2dt 一 2x2cosx4【试题解析】 =cos t2dt 一 2x2cos x4【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限但 xx 0+时，f“(x)0；xx 0 一 时，f“(x)0，故(x 0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1 一(n+1)x(1 一 x)n 一 1，f“(x)=n 2(n+1)x 一 2(1一 x)n 一 2【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由 y=ex，y“=e x 得曲线 y=ex 上任
12、意点 P(x，y)处的曲率【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设质点运动的距离 y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1 ，则有y(0)=0，y(1)=1，y(0)=0，y(1)=0【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1)M， mf(x 2)M， mf(xn)M， (n) +(n)mnf(x 1)+f(x2)+f(xn)nM，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 函数 f(x)在0 ，3上
13、连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M， mM，由介值定理知，至少存在一点 0，2，使得 f()=1，于是便有 f()=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在(，3) (0，3)，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 (1)设 c(a，b)，g(C)=0 由 g(a)=g(C)=g(b)=0，g(x)在a，c ，c， b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0，其中 1(a，c)， 2(c，b)，对g(x)在 1， 2上运用罗尔定理，可得 g“(3)=0 因已知 g“(x)0
14、，故 g(C)0 (2)F(x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)=0故【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f(C)=0 f(x)在0，c 与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理， f(C) 一 f(0)=cf“(1)， 1(0，c)， f(a) 一 f(C)一(a一 c)f“(2)， 2(c，a)， 所以 f(0)+f(a) =cf“( 1)+(a 一 c)f“( 2) cM+(a 一 c)M=aM【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 把所证等式 改为 x，得 xf(x)一 f(
15、x)=f(2)一 2f(1)， F(2)=F(1)=f(2)一 f(1)由罗尔定理，(1，2)，使 F()=0，即 f(2)一 2f(1)=f()一 f()【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因 =1，得 f(0)=0，f(0)=1 因 f(x)二阶可导，故 f(x)在x=0 处的一阶泰勒公式成立， f(x)=f(0)+f(0)x+ ( 介于 0 与 x 之间)因f“(x)0，故 f(x)x，原命题得证【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式 F(x)=F(a)+F(a
16、)(x 一 a)+ F“()(x 一 a)2 (ax) 令 x=b，代入式，则 F(b)=F(a)+F(a)(b 一 a)+ F“()(b 一 a)。 (ab) 因 f(a)=f(b)=g(a)=0，则 F(a)=F(b)=0，且 F(a)=0，代入式，得 F“()=0即 f“()g()+2f()g()+f()g“()=0 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 将 f(x)在 x=a，x=b 展开泰勒公式故原命题得证【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 因 f(x)=arcsin x 在0，t 上连续，在(0，r) 内可导，对它用拉格朗日中值定理，得【知识模块】 一元函数微
17、分学29 【正确答案】 令 u(n 一 1)(x)=(n 一 1)(x)一 (n 一 1)(x) 在x 0，x上用微分中值定理得 u (n 一 1)(x)一 u(n 一 1)(x0)=u(n)()(x 一 x0)，x 0 x 又由 u(n)()0 可知 u(n 一 1)(x)一 u(n 一 1)(x0)0，且 u(n 一 1)(x0)=0，所以 u(n 一 1)(x)0，即当 xx 0 时， (n 一 1)(x) (n 一 1)(x) 同理 u(n 一 2)(x)=(n 一 2)(x)一 (n 一 2)(x)0 归纳有 u(n 一 3)(x)0，u(x)0，u(x) 0于是，当 xx 0 时，
18、(x)(x)【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)将 f(x)在 x0 点泰勒展开，即 f(x)=f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)+ (x一 x0)2， 在 x0 与 x 之间 由已知 f“(x)0，x(a，b)得 (x 一 x0)20(当且仅当 x=x0 时等号成立 )于是 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，即 f(x 0)f(x)一 f(x0)(xx0)(当且仅当 x=x0 时等号成立 ) (2) 因为 x1=(a，b) 取 x0= ，对xi(i=1，2，n)利用(1)的结果有 f(x 0)f(xi)一 f(x0)(xi 一 x0)，i=1，2，n，当且仅当 xi=x0 时等号成立 而 x0x1 且 x0xn，将上面各式分别乘以ki(i=1，2，n)后再求和，有【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)则有 f(x)=(1+x) 一 1，f“(x)=(1)(1+x) 一 2，由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ ， (0， 1)，可知当 x一 1，01时，( 一 1)0，1+0故 0，所以 f(x)1+x同理可证当 x一1， 0 或 1 时，有(1+x) 1+x 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
