1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为 ( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k22 设 f(x)连续，且 ，则( )（A）f(f)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值3 设 f(x)连续，f(0)=0 ， ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f
2、(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点4 若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f(x)0，则在(-，0)内( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 05 设 f(x)在(-，+) 上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B） -x0 为-f(-x) 的极小值点（C） x0 为-f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)6 当 x0，1时，f(x) 0，则 f(0)，f(1)，f(1)-f(0)的大小次序为(
3、)（A）f(0)f(1)-f(0)f(1)（B） f(0)f(1)f(1)-f(0)（C） f(0)f(1)f(1)-f(0)（D）f(0)f(1)-f(0)f(1)二、填空题7 f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f(x)=_8 =_9 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 =_10 设 =_11 设 ，则 t=0 对应的曲线上点处的法线为_12 设 f(x)连续，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)= 求 f(x)14 求常数 a， b 使得 f(x)= 在 x=0 处可导15 设 f(x)= 求 f(x)并讨论 f(x)在 x=0 处的
4、连续性16 设函数 f(x)在区间 0，3 上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1证明：存在 (0，3)，使得 f()=017 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x) 0，试证明存在 (a，b)使18 设 f(x)在a,b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得19 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得20 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得21 设 f(x)在a，b
5、上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f 证明：存在 (a，b)，使得 f()=f()22 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=023 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得24 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，连接点 A(a，f(x)，B(b，f(b) 的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得f()=025 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导
6、，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0， f()026 设 ba 0，证明：27 设 f(x)在a，b上满足f(x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明：f(a) +f(b)2(b-a)28 设 f(x)在0，1上阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f(x)M ，证明：29 设函数 f(x)，g(x) 在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f(a)=g(a)，f(x)g(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x) g(x)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=3x2-3=0，得x=1，f(x)=6x，由 f(-1)=-60，得 x=-1 为函数的极大值点，极大值为 f(-1)=2+k，由 f(1)=60，得 x=1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)=-2+k，因为 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，所以 2+k0 或-2+k0，故k2，选(C)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 =-2 得 f(0)=1，由极限的保号性，存在0，当 0 x 时， 0，即 f(x)1=f(0)，故 x=0 为 f(x)的极大点，应选(D) 【知识模块】 一元函
8、数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由 及 f(x)的连续性，得 f(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， 0，从而 f(x)0，于是 f(x)在(-，) 内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(-，0)时，f(x) 0，当 x(0，)时，d(x)0，x=0 为 f(x)的极小值点，选 (B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(-，0)内有 f(x)0因为 f(x)为奇函数，所以在(-，0)内 f(x) 0，选(C)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 yy=f(
9、-x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以-x 0 为 f(-x)的极大值点，从而 x0 为-f(-x)的极小值点，选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)-f(0)=f(c)(0c 1)，因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c)f(1)，即 f(0)f(1)-f(0)f(1)，应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1-2sin2x+3x+2，f(x)=1-2x2+3arcsinx+2，f(x)
10、=【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 6【试题解析】 因为 F(X)为奇函数，所以 f(X)为偶函数，由=3f(-1)=3f(1)=6【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 y=-2x【试题解析】 t=0 对应的曲线上点为(0，0)，又故法线方程为 y-0=-2(x-0)，即 y=-2x【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 f(x)【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 当x1 时，f(
11、x)= 当 x-1 时，f(x)=-1；当x1 时，f(x)=1；又，则 f(x)在 x=-1 处不连续，故也不可导由 f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续因为所以 f(x)在 x=1 处也不可导，故 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 当 x0 时，所以 f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以
12、 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2 ，使得 f(c)=1因为 f(x)在c ，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 (x)=f(x) (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x) 0，从而就有
13、【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 (x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0【试题解析】 由 -f(x)lnx+f(x)lna=0，或f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna=0 ，辅助函数为 (x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使
14、得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)f(x)g(x) ，所以【试题解析】 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 ，整理得 f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x)=0，还原得f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0而 (x)=【试题解析】 由
15、【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0， 0，令 (x)=e-xf(x)，则 (x)=e-xf(x)-f(x)因为 (a)0，使得(1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (2， 2) (a，b)，使得 ()=0，即 e-f()-f()=0，因为 e-0，所以 f()=f()【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 存在 因为 f(0)=f(1)，所以 f()=-f()，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 F(x)=x2，F(x)=2x0(aab)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得【知识模块】 一元函数微分学
16、24 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得因为点 A，B ，C 共线，所以 f(1)=f(2)，又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b) ， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方法一 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)-f(a)=f(
17、)(b-a)= 其中 (a，b) 因为 0a b，所以方法二等价于 b(lnb-lna)b-a，令 1(x)=x(lnx-lna)-(x-a)， 1(a)=0， 1(x)=lnx-lna0(xa)由 得 1(x)0(xa) ，而 ba，所以1(b)0，从而【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在 a ，b上的最小值，从而(c)=0由微分中值定理得，其中 (a，c)，(c ，b) ，两式取绝对值得两式相加得f(a)+f(b)2(b-a)【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f(x)(0-x)+ (0-x)2，(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+ (1-x)2，(x，1)，两式相减得 f(x)= f“()x2-f()(1-x)2，取绝对值得 f(x) x2+(1-x)2，因为 x2x，(1-x) 21-x，所以 x2+(1-x)21，故f(x)【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 (x)=f(x)-g(x)，显然 (a)=(a)=0，(x)0(xa)由得 (x)0(xa) ；再由 得 (x)0(x a)，即 f(x)g(x) 【知识模块】 一元函数微分学
