1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 则 f(x)在( 一，+)内( )（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点2 设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3|，则导数 f(x)不存在的点的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）34 函数 f(x)=(x2+x 一 2)sin2在区间 上不可导点的个数是( )（A）3（
2、B） 2（C） 1（D）05 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。则 (x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 (x)在 x=0 处不连续（D）可导且 (x)在 x=0 处连续6 设函数 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导7 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续但不可导（D）可导8 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)
3、在 x=1 处不可导。（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a。（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b。（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab。9 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )（A）（B）（C）（D）10 设 f(x)=xsin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）311 设 f(x)在a，b可导 ，则( )（A）f +(a)=0（B） f+(a)0（C） f+(a) 0（D）f +(a)012 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)
4、，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件13 设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g(a)存在，则 g(a)=0，g(a)=0 是F(x)在 x=a 处可导的 ( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件14 设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（A）f（A）=0 且 f(a)（a）=0（B） f（A）=0 且 f(a)0（C） f(A) 0 且 f(a)
5、0（D）f（A）0 且 f(a)015 设函数 f(x)在 x=0 外连续，下列命题错误的是( )（A）若 存在，则 f(0)=0（B）若 存在，则 f(0)=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在二、填空题16 为奇函数且在 x=0 处可导，则 f(0)=_。17 设函数 则 f(x)=_。18 设 348 可导，则349=_。19 设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=ex(1-y)确定，则 =_。20 设 y=(1+sinx)x，则 dy x-=_。21 已知 ，则 y=_。22 设函数 =_。23 设 ，则 f(x)=_。24 已知 则 y=_。25 设
6、f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设 其中 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=1。26 a、b 为何值时， g(x)在 x=0 处连续。27 a、b 为何值时， g(x)在 x=0 处可导。28 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意的 x(一，+)f(x) 都存在，并求 f(x)。29 设 y=xx2(x0)，求30 设 y=f(t), 其中 f，g 均二阶可导且 g(
7、x)0，求考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题可以先求出 f(x)的表达式，再讨论其不可导点。x1 时,x=1 时, x1时, 即 f(x)的表达式为可见 f(x)仅在 x=1 两点处不可导，故应选 C。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 设 (x)=(x一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，则 f(x)=(x)。使 (x)=0的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 (x)在这些点的值。(x)=(x 一2)2(x 一 3)
8、3+2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)3+3(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，显然，(1)0，(2)=0，(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2x在 x=0 处的最高阶导数的存在性。事实上，由 可立即看出 f(x)在 x=0处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 设 g(x)=x2+x 一 2，(x)=sin2x ，显然 g(x)处处可导，(x) 处处连续但有不可导点。所以只需
9、考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零。(x)=sin2x 的图形如图 12-3 所示，在 内的不可导点为因为，所以 g(x)=g(x)(x)在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导，且其余点均可导。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以 (x)在 x=0处连续。故 (x)在 x=0 连续。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 c【试题解析】 显然 f(0)=0，对于极限是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， 因此 f(x)在 x=0处连续，排除 A、B。又因为 不存在，所以 f(x)在 x=0 处不可导，故选 C。
10、【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由 f+(0),f-(0)都存在可得 f(x)在 x=0 右连续和左连续，所以 f(x)在 x=0 连续；f +(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导。所以选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 因 且由f(0)=b 可知，【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f(x)在 x=a 处可导，即该极限存在是 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 c【试题解析】 【知
11、识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由导数定义及题设得 故选 D。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 令 (X)=f(x)sinx，显然 (0)=0。由于而由 (x)在x=0 处可导的充分必要条件是 +(0)与 +(0)都存在且相等可知，若 f(0)=0，则必有 +(0)=-(0)；若 +(0)=-(0)，即有 f(0)=一 f(0)，从而 f(0)=0。因此 f(0)=0 是(x)在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件。故选A。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x
12、)在 x=a 处不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求 F(a)。题设 (x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 当g(a)=0 时， 下面证明若 F（A ）存在，则 g（a）=0。反证法，若 由商的求导法则，(x) 在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g（a）=0，g（a）=0 是 F(x)在 x=a处可导的充要条件。故选 A。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 若 f（A）0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D。当 f(x)在 x=a可导，且 f（A）0 时，f(x) 在 x=a 点可导。当 f（A ）=0 时，上两式分别是f(x)在 x=
13、a点的左、右导数，因此，当 f（A）=0 时，f(x)在 x=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f（a）0，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查的是导数的极限定义及函数连续与可导的关系。由于已知条件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的特殊函数 f(x)判断。取特殊函数 ，但 f(x)在 x=0 不可导，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题16 【正确答案】 2g(0)【试题解析】 由 g(x)在 x=0 处可导可知，g(x)在 x=0 处连续。又因为 g(x)是奇函数，所以 g(0)=0。根
14、据导数的定义可得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 当 x0时， 当 x=0 时，【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 先考察 (x)的可导性并求导。(x) 在 x=0 处的左导数为【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y一 1=ex(1-y)(1 一 yxy)，将x=0，y=1 代入上式，可得 y(0)=1。所以【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 一 dx【试题解析】 运用等价转换 y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)，于是因此 dy x=y()dx=
15、一 dx。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数，则有【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 4【试题解析】 由已知 而 x1 时 f(x)=2，所以 f(一 1)=f(0)=2，代入可得【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1+3x)e 3x【试题解析】 先求出函数的表达式，即于是有 f(x)=e3x+x.e3x.3=(1+3x)e3x【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 易知【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 n!【试题解析】 由于 d(x)=(x+1)(x+2)(x+n)+x(x+2)(x+n)
16、+(x+1)(x+2)(x+n1)，所以 f(0)=n!。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由题意 若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 故 b=一 1，a 为任意实数时，g(x)在 x=0 处连续。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=一 1)，且g+(0)=g+(0)，所以【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(0)=0，为证明 f(x)存在，则由导数定义【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 在 y=xx2 两端取对数得 lny=xxlnx，在该式两端同时对 x 求导，【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由积分上限函数求导法则可得【知识模块】 一元函数微分学
