1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则( )（A）f(x)在 x=x0 处必可导，且 f(x0)=a（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导（C） f(x)在 x=x0 处有极限，但未必连续（D）以上结论都不对2 设 f(x)可导且 则当 x0 时，f(x)在 x0 点处的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小。（B）与 x 同阶的无穷小。（C）比 x 低阶的无穷小。（D）比x 高阶的无穷小。3 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量 x=一 01
2、时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)等于( )（A）一 1（B） 01（C） 1（D）054 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0,f(x)0 ， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy05 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于( )（A）ln31（B）一 ln31（C）一 ln21（D）ln216 设 g(x)可微， =( )（A）一 ln21（B） ln21（C）一
3、 ln22（D）ln227 =( )（A）（B）（C） In(1+lnx)一 In(1+2x)（D）In(1+lnx)一 21n(1+2x)8 设 f(x)=(x 一 a)(x 一 b)(xc)(x 一 d)，其中 a，b，c ，d 互不相等，且 f(k)=(k 一a)(k 一 b)(k 一 c)，则 k 的值等于( )（A）a（B） b（C） c（D）d9 对任意的 x(一，+) ，有 f(x+1)=f2(x)，且 f(0)=f(0)=1，则 f(1)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）以上都不正确10 设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时
4、有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时，有( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 011 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f2(x)，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数是( )（A）n!f(x) n+1（B） nf(x)n+1（C） f(x)2n（D）n!f(x) 2n12 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f（A）f （B ）0，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有（C）当 f（A）=f（B）时
5、，存在 (a，b)，使 f()=0。（D）存在 (a，b) ，使 f（B）-f （A）=f()(b 一 a)。13 设在0 ，1上 f(x)0，则 f(0)，f(1),f(1) 一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0)（B） f(1)f(1)一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)一 f(1)f(0)14 设 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）315 设函数 f(x)在 R+上有界且可导，则( )（A）（B）（C）（D
6、）二、填空题16 =_.17 设函数 则 y=f(x)的反函数 x=f-1(y)在 y=0 处的导数=_。18 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x),f(2)=1，则 f(2)=_。19 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定，则 =_。20 已知 xy=ex+y，则 =_。21 沿 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数则 =_。22 设 y=y(x)是由方程 x2 一 y+1=ey 所确定的隐函数，则 =_。23 设可导函数 y=y(x)由方程=_。24 设 y=y(x)是由方程 确定的隐函数，则 y=_。25 设 y=y(x)
7、由方程 所确定，则 y(0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数。26 写出 f(x)在一 2，2上的表达式；27 问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导。28 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题29 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xey-1=1 所确定。设 z=f(lny 一 sinx)，求30 设函数 y=f(x)由参数方程 所确
8、定，其中 (t)具有二阶导数，且 求函数 (t)。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左、右导数 f+(x0)和 f+(x0)与在 x=x0 处的左、右极限 区分开。但不能保证 f(x)在 x0 处可导，以及在 x0 处连续和极限存在。例如 显然，x0 时 f(x)=1，因此但是 不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续，不可导。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 点处可导及微分的定义可
9、知 于是即当x0 时， dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由微分的定义可知，函数 f(x)在 x0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 dy x=x0=f(x0)x，所以有 01=y(一 1)x=一 01y(一 1)，即有 y(一 1)=一 1。而且 y(一 1)=f(x2) x=-1=f(x2).2x x=-1=一 2f(1)，因此 f(1)=0 5，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数单调性的判 f(x)0 可知,f(x)严格单调增加，由 f(x)0 可知,f
10、(x)是凹函数。作函数的图象如图 12-4 所示，显然x0 时，ydy=f(x 0)dx=f(x0)x 0，即知选择 A。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 函数 h(x)=e1+g(x)两边同时对 x 求导，可得 h(x)=e1+g(x)g(x)。在上面的等式中令 x=1，结合已知条件 h(1)=1，g(1)=2，可得 1=h(1)=e1+g(1)g(1)=2e1+g(1)，因此得 g(1)=一 ln21，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 h(x)=e sin2x+g(x).2cos2x+g(x)，则【知识模块】 一元函数微分学
11、7 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件得 f(x)=(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)+(x 一 a)(xc)(x 一 d)+(x一 a)(x 一 b)(x 一 d)+(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)，且已知 f(k)=(ka)(kb)(kc)，故k=d。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=1 可知 f(x)在 x=0 处连续。令 x=0，则 f(1)=f2(0)=1，且由导数的定义可得【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x
12、)=f(一 x)可知 f(x)为偶函数，因可导偶函数的导数是奇函数，可导奇函数的导数是偶函数，即 f(x)为奇函数 f(x)为偶函数，因此当 x0 时，有f(x)0,f(x)0；当 x0 时，有 f(x)0,f(x)0。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=f2(x)可得 f(x)=2f(x)f(x)=2!f(x)3。假设 f(k)(x)=k!f(x)k+1，则 f(k+1)(x)=(k+1)k!f(x)kf(x)=(k+1)!f(x)k+2，由数学归纳法可知,f (n)(x)=n!f(x)n+1 对一切正整数成立。【知识模块】 一元函数微分学
13、12 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f(x)在闭区间a ，b 上有定义，故选项 A、C 、D 均不一定正确，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f(x)0，x 0，1，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得f(1)一 f(0)=f()， (0，1)。因此有f(0)f()f(1)，即可得f(0)f(1) 一 f(0)f(1) 。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 D【试题解析】 容易验证 f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由罗尔定理知至少有 1(0，1)，2(1， 2)，使 f(1)=f(2
14、)=0 成立，所以 f(x)至少有两个零点。又 f(x)中含有因子x，因此可知 x=0 也是 f(x)的零点，因此选 D。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 B【试题解析】 可以用反证法证明选项 B 是正确的。假设 ，则由拉格朗日中值定理可知，存在 ，使得 x 2x，所以当 x+ 时，+，有 f(2x)一 f(x)=f()x(x+)，但这与f(2x) 一 f(x)f(2x)+ f(x)2M 矛盾(f(x)M)。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题16 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 x 一 t=u，则【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 由反函
15、数的求导法则可知【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题设知 f(x)=ef(x)，在此方程两边同时连续两次对 x 求导得 f(x)=ef(n)y(x)=e2f(x)，f(x)=2e 2f(n)f(x)=2e3f(x)，又 f(2)=1，故 f(2)=2e3f(2)=2e3。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 一 e【试题解析】 当 x=0 时，y=1。在方程两端对 x 求导，得 y=一 ey 一 xeyy，整理得y(1+xey)=一 ey【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy=ex+
16、y(1+y)，即其中 y=y(x)是由方程 xy=ex+y 所确定的隐函数。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 一 3【试题解析】 方程两边对 x 求导可得，y+xy+yey=1，解得 再次求导可得，2y+xy+y ney+(y)2ey=0，整理得 当 x=0 时，y=0，y(0)=1，代入(*) 得，【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 1【试题解析】 将 x=0 代入原方程可得 y=0。方程 x2 一 y+1=ey 两端同时对 x 求导，有 将 x=0，y=0 代入上式，可得 式(*)再次对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 一 1【试题解析】
17、 ，令 x=0，则 y(0)=0。方程两端同时对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 在方程两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 一 2【试题解析】 将 x=0 代入方程 可得 y=1，即 y(0)=1。在方程两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 当一 2x0，即 0x+22 时，f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 24=kx(x+2)(x+4)。所以,f(x) 在一 2，2上为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 根据已知 f(0)=0。【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
