1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf(x)+3xf(x)32=1 一 e-x，若 fx0)=0(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值。（B） f(x0)是 f(x)的极小值。（C） (x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0,f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。2 设 ，则在 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D
2、）f(x)的导数不存在3 设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(1)=0， 则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值。（B） f(1)是 f(x)的极小值。（C） (1,f(1)是曲线 f(x)的拐点。（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点。4 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 ,则在点 x=0 处f(x)( )（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值5 设 f(x)有二阶连续导数，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0,f(0)是曲线 y=f(x)的
3、拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。6 设 f(x)在a ，b上可导 f(a)f(b)0，则至少存在一点 x0(a，b)使( )（A）f(x 0)f（A）。（B） f(x0) f（B）。（C） f(x0)=0。（D）7 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 曲线 ( )（A）既有垂直又有水平与斜渐近线。（B）仅有垂直渐近线。（C）只有垂直与水平渐近线。（D）只有垂直与斜渐近线。9 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内( )（A）有极
4、值点，无零点。（B）无极值点，有零点。（C）有极值点，有零点。（D）无极值点，无零点。二、填空题10 曲线 处的切线方程为_。11 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_。12 曲线 ,上对应于 的点处的法线斜率为_。13 曲线 在(0，0)处的切线方程为_。14 曲线 上对应于 t=1 点处的法线方程为_。15 曲线 在点(0，0)处的切线方程为_。16 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 _。17 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则=_。18 已知一个长方形的长 l 以 2 cm
5、s 的速率增加，宽 w 以 3cms 的速率增加。则当 l=12 cm，w=5 cm 时，它的对角线增加速率为_ 。19 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_。20 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是_。21 设 则 f(x)的极值为_,f(x)的拐点坐标为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)sindx=0， 0f(x)cosxdx=0。证明在(0，)内f(x)至少有两个零点。23 设函数 f(x)，g(x) 在a，
6、b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值 f（A ）=g(a),f(bb)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f()=g()。24 (I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f（B） -f（A）=f()(b 一 a)；( )证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0 ，)(0)内可导，且 ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A。24 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：25 存在 (0，1)，使得 f()=1；26 存在 (一 1，1)，使得 f()+f()=1。2
7、7 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且证明：存在 ，使得 f()+f()=2+2。28 设 eabe 2，证明29 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导，且 f（A）=f （B）=1，证明：必存在， (a，b)，使得 e-f()+f()=1。30 证明函数恒等式31 设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f(x)0，记 un=f(n)，n=1，2，又u1u 2，证明考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=
8、x 0 是 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得 x0f(x0)+3x0f(x0)2=1 一 e-x0，即得 (分 x00 与 x00 讨论) ，由极值的第二判定定理可知，f(x)在 x0 处取得极小值，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解。取 f(x)一 f（A）=一(x 一 a)2，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊函数 f(x)满足 则f(x)满足题中条件，且 f(x)在 x=1 处取极小值，而
9、其余均不正确。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 因当 x0 时， ，故极限条件等价于 。从而可取 f(x)=x2，显然满足题设条件，而 f(x)=x2 在 x=0 处取得极小值，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 可知，存在 x=0 的某邻域 U3(0)，使对任意 xUa(0)，都有 ，f(x)0。从而函数 f(x)在该邻域内单调增加。于是当 x0 时，有 f(x) f(0)=0；当 x0 时 f(x)f(0)=0，由极值的第一判定定理可知 f(x)在 x=0 处取得极小值。故选 B。【知识模块】
10、一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，不妨设 f（a）0,f （b）0。由可知，存在 x=a 的右邻域 时,f(x 1)f（A ）f（A ）不是 f(x)在a，b 上最小值。同理可证 f（B）也不是 f(x)在a，b上最小值。所以 f(x)在a，b上的最小值点 x=x0(a，b)，由极值的必要条件知 f(x0)=0。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判断。所以 y=0 是曲线的水平渐近线；因为 所以 x=0 是曲线的垂直渐近线；又因为所以y=x 是曲线的斜
11、渐近线。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(一，一 3)U0， +)，且只有间断点 x=一 3，又，所以 x=一 3 是曲线的垂直渐近线。x0 时，【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意 f(x)是一个凸函数，因此 f(x)0，在点(1，1) 处的曲率而 f(1)=一 1，由此可得 f(1)=一 2。在闭区间1，2上,f(x)f(1)=一 10，即 f(x)单调减少，没有极值点。根据拉格朗日中值定理，对于f(2)一 f(1)=f()【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 在
12、点 处的切线的斜率为： ，在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 由题干可知，所求切线的斜率为 1。由 得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为 y 一 0=1.(x 一 1)，即 y=x 一 1。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查参数方程求导及导数的几何意义。因为即曲线在对应于 的点的切线斜率为又因为切线和法线的斜率互为负倒数，故曲线在对应于 的点的法线斜率为 。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 y=2x【试题解析】 所以 。因此切线方程为 y
13、=2x。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 由此可得法线的斜率为一 1，因此可得法线方程为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 即(0，0)点切线的斜率为一 2。因此点(0，0) 处的切线方程为 y 一 0=(一 2).(x 一 0)，即 y=一 2x。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 一 2【试题解析】 本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线的几何意义。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 3cm/s【试题解析】
14、 设 l=x(t)，w=y(t) ，对角线增加的速率为 s(t)。根据题意，在 t=t0 时，x(t0)=12，y(x 0)=5，且 x(t0)=2，y(t 0)=3。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (一，1)【试题解析】 本题主要考查参数方程曲线的凹凸性。又因 x=t3+3t+1 是单调增加的，在 t0 时，x(一 ，1)，故 x(一，1)时，曲线上凸。【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 y(3y2 一 2y+x)=x 一 y1 (*)令 y=0，有x=y，代入 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 中，可得(x
15、 一 1)(2x2+x+1)=0，那么 x=1 是唯一的驻点。下面判断 x=1 是否是极值点：对(*)式求导得 y(3y22y+x)+y(3y2 一2y+x)x=1 一 y。把 x=y=1，y(1)=0 代入上式，得 。故 y(x)只有极值点为 x=1，且它是极小值点。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 对 f(x)求导 f(x)=e-x22x=0，得 x=0。当 x0 时 f(x)0；当 x0时 f(x)0。所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0。又因 f(x)=2e-x4(14x4)=0，可得 当时 f(x)0.故拐点坐标为【知识模块】 一元函数微分学三、
16、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 反证法，如果 f(x)在(0 ，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0) 。这与假设相矛盾。如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，) 内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 f(x)sin(x 一 a)dx0.但是，另一方面 0f(0)sin(x 一 a)dx=0f(x)(sinxcosa 一cosxsina)dx=cos0f(x)sinxd
17、x 一 sina0f(x)cosxdx=0。这个矛盾说明 f(x)也不可能在(0，) 内只有一个零点，因此它至少有两个零点。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F（A ）=F（B）=0.又f(x)，g(x) 在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2(a，b) 使得 。若 x1=x2，令 c=x1，则 F(c)=0。若x1x 2，因 F(x1)=f(x1)一 g(x1)0，F(x 1)=f(x2)一 g(x2)0，由介值定理知，存在cx1，x 2c(a，b)，使 F(c)=0。在区间a，c ，c，
18、b上分别利用罗尔定理知，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 F(1)=F(2)=0。再对 F(x)在区间，上应用罗尔定理，知存在 (1， 2)c(a，b)，有 F()=0，即 f()=g()。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 (I)作辅助函势 ，易验证 (x)满足：(a)=(b)；(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 所以 f（B）-f （A）=f()(ba)。任取 x0(0，) ，则函数 f(x)满足在闭区间0 ，x 0上连续，开区间(0 ，x 0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存
19、在 0(0，x 0)c(0，)，使得 又由于，对(*)式两边取 x00+ 时的极限：故 f+(0)存在，且 f+(0)=A。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x，则 F(x)=f(x)一 1，且 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一1=0，由罗尔定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 G(x)=exf(x)一 1，由(I)知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，)c(
20、一 1，1)，使得 G()=0，即 ef()一 1+ef()=0，即 f()+f()=1。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 则 F(1)=F(0)=0。在区间 上分别应用拉格朗日中值定理，【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 对函数 y=ln2x 在a ，b上应用拉格朗 r 日中值定理，得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设 F(x)=exf(x)，由已知 f(x)及 ex 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此存在 ，(a，b)，使得 F （B）一 F（A）=ebf（B）一 eaf（A） =F()(ba) =e f()+
21、f()(ba) 及 e b 一 ea=e(ba)。将以上两式相比，且由 f（A）=f（B）=1，整理后有 e-f()+f()=1。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 ，要证 f(x)=g(x)在 x(一1，1)时成立，只需证明：f(x) ，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)；存在 x0(一 1， 1)，使得 f(x0)=g(x0)。由初等函数的性质知,f(x)与 g(x)都在(一 1，1) 内可导，且容易计算得到即当 x(一1，1)时 f(x)=g(x)。又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)，即原等
22、式成立。【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 对函数 f(x)分别在区间k ，k+1(k=1，2，n，)上使用拉格朗日中值定理 u2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(1)0，1 12，u n-1 一 un-2=f(n 一1)一 f(n 一 2)=f(n-2)，n 一 2 n-2n 一 1，u n 一 un-1=f(n)一 f(n 一 1)=f(n-1)，n 一1 n-1n。因 f(x)0，故 f(x)严格单调增加，即有 f(n-1)f( n-2)f( 2)f( 1)=u2 一 u1，则 un=(un 一 un-1)+(un-1 一 un-2)+(u2 一 u1)+u1=f(n-1)+f(n-2)+f( 1)+u1f( 1)+f(1)+f( 1)+u1=(n 一 1)(u2 一 u1)+u1，于是有【知识模块】 一元函数微分学
