1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在 0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )（A） 存在（B） 存在（C） 存在（D） 存在2 设曲线 y 2ab 与曲线 2yy 31 在点(1，1)处切线相同，则( )（A）a1， b1（B） a1，b1（C） a2，b1（D）a2 ，b13 设 f()在( ，)上有定义， 00 为函数 f()的极大值点，则( )（A） 0 为 f()的驻点（B） 0 为f()的极小值点（C） 0 为f()的极小值点（D）对一切的 有
2、 f()f(0)4 设 f(0)f ( 0)0，f( 0)0，则下列正确的是( )（A）f( 0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极大值（C） f(0)是 f()的极小值（D）( 0，f( 0)是 yf()的拐点5 设 f() 3a 2b 在 1 处有极小值2，则( )（A）a1， b2（B） a1，b2（C） a0，b3（D）a0， b36 设 f() 31g()，其中 g()连续，则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件二、填空题7 设曲线 yln 与 yk 相切，则公共切线为_8 曲线 在点(0，1
3、)处的法线方程为_9 曲线 re 在 处的切线方程为 _10 设 ，则 t0 对应的曲线上点处的法线为 _11 设函数 yy()由方程 ey cos(y)0 确定，则 _12 设 f() ，则 f(n)()_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 证明：当 0 时， 2 (1)ln 2(1) 14 证明不等式：arctan ln(1 2)15 求 y 0(1t)arctantdt 的极值16 设 PQ 为抛物线 y 等的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值17 证明：当 0 1 时， (1)ln 2(1) 218 证明：对任意的 ，yR 且 y，有 19
4、设 ba 0，证明： 20 证明：21 证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q122 证明方程 ln 在(0，)内有且仅有两个根23 设 k0，讨论常数忌的取值，使 f()ln k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点24 设 f() ，讨论 f()的单调性，凹凸性，拐点，水平渐近线25 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() f()26 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：(1)存在 (a，b)，使得 f()2f() (2)存在 (a，b) ，
5、使得 f()f() 027 设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()f() f(2) 2f(1)28 设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0，证明：存在， (1，2)，使得考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 f() 显然一 0，而 f()在 0 处不可导，A 不对；即 存在只能保证 f()在 0 处右可导，故 B 不对； 因为，所以 h0 时 htanh h3， 于是 存在不能保证 f()在 0 处可导，故 D 不对
6、； f(0)，选 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y 2ab 得 y2a， 2y y31 两边对 求导得2yy 33y 2y，解得 y ， 因为两曲线在点(1，1)处切线相同，所以 解得 应选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 yf()的图像与 yf() 的图像关于 y 轴对称，所以 0 为f()的极大值点，从而 0 为f( )的极小值点，选 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)0，所以存在 0，当 0 0 时，0，从而当 (0 ， 0)时，f()0；当 (0， 0)时，f()0，
7、即( 0，f( 0)是 yf()的拐点，选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 f()3 22ab，因为 f()在 1 处有极小值2， 所以解得 a0，b3，选 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)0，f (1) .(21)g()0， f +(1) (21)g()0， 因为 f (1)f +(1)0，所以 f()在 1 处可导 设 f()在 1 处可导， f -3g(1)， f +(1)3g(1)， 因为 f (1)f +(1)0，所以 g(1)0，故 g(1)0 为 f()在 1 处可导，应选 C【知识模块】 一元函数微分学
8、二、填空题7 【正确答案】 y 1【试题解析】 设当 a 时，两条曲线相切，由 得 ae 2 两条曲线的公共切线为 ylne 2 (e 2)，整理得切线为 y 1【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 y21【试题解析】 在点(0，1)处 t0，则对应点处法线的斜率为2， 所以法线方程为 y12(0)，即 y21【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 y【试题解析】 当 时，0，y k1，所求切线方程为 y 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y2【试题解析】 t0 对应的曲线上点为(0，0)， 又 ，切线斜率为 k ， 故法线方程为 y2(0)，即 y2【知识模块】
9、一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 求导，得解得【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 今 f() ，解得 A3，B2，即 f() ，于是 f(n)()【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 f() 2(1)ln 2(1)，f(0)0； f()2 ln 2(1)2ln(1)，f(0)0； f() 0(0)， 由得 f()0(0)； 由 得 f()0(0)，即 2(1)ln 2(1)(0)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 f()arctan ln(1 2)，f(0)0 令
10、 f()arctan0，得 0， 因为 F() 0，所以 0 为 f()的极小值点，也为最小值点，而 f(0)0，故对一切的 ，有 f()0，即 arctan ln(1 2)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 y(1)arctan0，得 0 或 1，yarctan ，因为 y(0)10，y(1) 0，所以 0 为极小值点，极小值为y0；1 为极大值点，极大值为【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 P(a， )，因为 y 关于 y 轴对称，不妨设 a0 y(a)，过 P 点的法线方程为 y (a) ， 设 Q(b， )，因为 Q 在法线上，所以 (ba) ，解得 b
11、a PQ 的长度的平方为 L(a)(ba)2 ， 由 L(a)0 得 a2 为唯一驻点，从而为最小值点， 故 PQ的最小距离为【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 f() 2(1)ln 2(1)，f(0)0： f()2ln 2(1)2ln(1)，f(0)0； f()2 0(01)， 由得 f()0(01)； 再由得 f()0(01)， 故当 0 1 时，(1)ln2(1) 2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 f(t) et，因为 f(t) e t0，所以函数 f(t)e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 ，y R 且 y，有 ，即【知识模块】 一元函数微
12、分学19 【正确答案】 (ab)(lnb lna) 2(ba) 0令 ()(a )(ln lna)2( a)，(a)0， ()ln lna 1，(a) 0，() 0(0) 由 ()0(a) 再由 ()0( a) (b)0， 原不等式得证【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 f()1 一 0则 0 为 f()的最小值点，而最小值为 f(0)0，故 f()0，即 1ln【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 f()pqcos，因为 f()1qsin0，所以 f()在(， )上单调增加，又因为 f() ， ，所以 f()有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根【知识模块】
13、 一元函数微分学22 【正确答案】 ，令 f()ln ，令 f() 0， 得 e ，因为 f(e) ，所以 f(e)2 0 为 f()的最大值，又因为 f()， f()，所以 f()在(0，)内有且仅有两个实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 f() 的定义域为(0，)， f()k， f() 由 f()ln10，得驻点为 ，由 f() 0，得 为 f()的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f()在(0，)内没有零点； (2)当 k 1 时，函数 f()在(0，)内有唯一零点 ； (3)当0k 时，函数 f()在(0，)内有两个零点，分别位于(0， )与(
14、，)内【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 f() 0，所以 f()在(，) 上单调增加 因为 f() ，当 0 时，f()0；当 0 时，f() 0，则 yf()在(， 0)的图形是凹的，yf()在(0，) 内是凸的， (0，0)为 yf()的拐点 因为 f() f()，所以 f()为奇函数 由得为曲线 yf()的两条水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 ()(b) af()，显然 ()在 a，b上连续，在(a，b)内可导， 因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 由 ()(b )a1 (b)f()af()得 (b) a
15、1 (b)f()af()且(b ) a1 0，故 f() f()【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (1)令 () f()，因为 f(a)f(b) 0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 () f()2f() 且0，故 f()2f() (2)令 ()f() ，因为 f(a)f(b) 0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 ()f() f()，故 f()f()0【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 () ， 则 ()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)(2)f(2) f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2) ，使得 ()0， 而 () ， 故 ff()f(2) 2f(1)【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 F()ln ，F() 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 ln2ln1 其中 (12) f(2)f(1)f()(21)f()，其中 (1，2) ， 故【知识模块】 一元函数微分学
