1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()可导，则当 0 时， ydy 是 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小2 设函数 f() 则在点 0 处 f()( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续3 设 f() 则在 1 处 f()( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不是连续可导（D）连续可导4 若 f() f()，且在 (0，) 内 f()0，f() 0，则在(，0)内( )（A）f() 0，f ()0（B） f()0，f()
2、0（C） f()0，f()0（D）f() 0，f ()05 f()在( ， )内二阶可导，f()0， 1，则 f()在(，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零6 若 f()在 0 的某邻域内二阶连续可导，且 1，则下列正确的是( )（A）0 是 f()的零点（B） (0，f(0)是 yf() 的拐点（C） 0 是 f()的极大值点（D）0 是 f()的极小值点二、填空题7 设 f() ，且 f(0)存在，则a_， b_ ，c _8 设 f()在 2 处可导，且 2，则 f(2)_，f(2)_9 设 f()二阶连续可导，且 1，f(
3、0)e，则 _10 设 f(u)可导，yf( 2)在 01 处取得增量 005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则 f(1)_11 设 y ，则 _12 设 则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求常数 a， b 使得 f() 在 0 处可导14 设 f() 求 f()并讨论 f()在 0 处的连续性15 设函数 f()在区间0 ，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1) f(2)3，f(3)1证明：存在 (0，3)，使得 f()016 设函数 f()和 g()在区间a ，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)g(b)0，g()0，试证明存在 (
4、a，b)使 017 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得f()18 设 f()，g()在a，b 上连续，在(a，b)内可导，且 g()0证明：存在 (a，b) ，使得19 设 f()在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt(1)f() 020 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( )0证明：存在 (a，b)，使得 f()f()21 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1) ，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()f() 022 设 f()在a，b上连续，
5、在(a ，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得f() f()23 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 yf() 交于点 C(c，f(c)( 其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得f() 024 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)f(b)，且 f()在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0，f()025 设 ba 0，证明：26 设 f()在a，b上满足f()2，且 f()在(a，b)内取到最小值证明：f(a) f(b)2(ba) 27 设 f()在0，1上二阶
6、连续可导且 f(0)f(1) ，又 f()M ，证明：f() 28 设函数 f()，g()在a， )上二阶可导，且满足条件 f(a)g(a)，f(a)g(a) ，f()g()(a)证明：当 a 时，f()g()考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f()可导，所以 f()可微分，即ydyo( )，所以ydy是 的高阶无穷小，选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f()0， f()f(0)0，所以 f()在 0 处连续； 由得 f()在 0 处
7、可导，且 f(0)0； 当 0 时， f()3 2sin cos ；当 0时，f()2， 因为 f(0)，所以 f()在 0 处导数连续，选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 (21)3f(1)，所以f()在 1 处连续 因为 3，所以f()在 1 处可导 当 1 时，f() 21，因为 f()3f(1) ，所以 f()在1 处连续可导，选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数，故在(，0)内有 f()0因为 f() 为奇函数，所以在( ，0)内 f()0，选 C【知识模块】 一元函数微分
8、学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 1，得 f(0)0，f(0) 1，因为 f()0，所以 f()单调减少，在(，0) 内 f()f(0) 10，故 f()在( ，0)内为单调增函数，再由 f(0)0，在(，0)内 f()f(0)0，选 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由 1 得 f(0)0， 由 1f(0)得 0 为极小点，应选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 2；2；2【试题解析】 f(00) f()a，f(0)2，f(0 0)c ， 因为 f()在 0 处连续，所以 f(00)f(0)f(0 0)， 从而 a2，c 2，即因为
9、 f()在 0 处可导，即 f+(0)f -(0)，故 b 2【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 0；8【试题解析】 因为 2，所以 f()0，再由 f()在 2 处的连续性得 f(2)0 由 2，得f(2)8【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 由 1 得 f(0)0，f(0) 1，于是【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由 dy2f( 2) 得 dy 1 2f(1)0 0501f(1) ， 因为y 的线性部分为 dy，由01f(1) 015 得 f(1) 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一
10、元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 f()在 0 处可导，所以 f()在 0 处连续，从而有 f(00)2a f(0)f(00)3b，由 f()在 0 处可导，则 32a106b，解得【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 当 0 时，f() 当 时，所以 f()在 0 处连续【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 因为 f()在0，3上连续，所以 f()在0，2上连续，故 f()在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)f(1)f(2)3M，即 m1
11、M，由介值定理，存在 c0，2，使得 f(c)1 因为 f()在c，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c) f(3)1，根据罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()0【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 ()f() bg(t)dtg() af(t)dt，()在区间a，b上连续，在区间(a ，b)内可导，且 ()f() bg(t)dtf()g()g()f()g() af(t)df f()bg(t)dtg() af(t)dt， 因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使() 0，即 f()bg(t)dtg() af(t)dt0， 由于 g(b)0 及 g
12、()0，所以区间(a， b)内必有 g()0， 从而就有 bg(t)dt0， 于是有 0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 ()f(b)lnf()lnf()lna，(a)(b)f(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()0 而 () f()ln f()lna， 所以 f(b)f()f()(lnlna) 0，即 f【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 F()f()g(b) f(a)g() f()g()，则 F()在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)F(b)f(a)g(b) ，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()0，而 F() f()
13、g(b) f(a)g()f()g()f()g()，所以【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 () 0f(t)dt 0f(t)dt 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0 而 () 0f(t)dt(1)f()，故 0f(t)dt(1)f()0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0，f( )0，今 ()e -f()，则 ()e f()f() 因为 (a)0，( )0，(b) 0，所以存在使得 (1)( 2)0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()0， 即 e f()f() 0，因为 e 0，所以
14、f()f()【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 存在 (0， )，( ，1)，使得因为 f(0)f(1)，所以 f()f()，即 f()f()0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 F() 2，F()20(a b)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得 整理得再由微分中值定理，存在 (a，b)， 使得f()，故 f()【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得因为点 A，B ，C 共线，所以 f(1)f( 2)， 又因为 f()二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得 f() 0【知
15、识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 f()在a，b上不恒为常数且 f(a)f(b) ，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)f(b) ，不妨设 f(c)f(a)f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c) ，(c， b)，使得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(t) lnt,由微分中值定理得 f(b)f(a)f()(b a) ， 其中 (a，b) 因为 0 ab，所以 ，从而即【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因为 f()在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f()在a ，b 上的最小值，从而 f(c)0 由微
16、分中值定理得，其中 (a，c) ，(c ，b) ， 两式取绝对值得两式相加得f(a) f(b)2(ba) 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f()f()(0) (0) 2，(0，) ， f(1)f() f()(1) (1) 2，( ，1)， 两式相减得 f() f()2f()(1) 2， 取绝对值得 f() 2(1) 2， 因为 2，(1)21 ，所以 2(1) 21，故 f() 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 ()f()g()，显然 (a)(a) 0，()0(a) 由得 ()0( a)； 再由 得 ()0( a) ，即 f()g()【知识模块】 一元函数微分学
