1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。2 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )3 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )（A）若 存在，则 f(0)=0。（B）若 存在，则 f(0)=0。（C）若 存在，则 f(0)存在。（D）若 存在，则 f(0)存在。4 设 g(x)可微， h(x)=esin2xg(x)
2、， =( )（A）一 ln21。（B） ln21。（C）一 ln22。（D）ln22。5 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0。（B）对任何 (a，b)， f(x)一 f()=0。（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0。（D）存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)。6 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是( )（A） ln2+3。（B） ln2+3。（C）一 8ln2+3。
3、（D）8ln2+3 。7 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 1-2-2 所示，则导函数 y=f(x)的图形为( )8 设函数 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。9 设 f(x)在a ，b上可导，f (a)f(b)0，则至少存在一点 x0(a，b)使( )（A）f(x 0)f(a)。（B） f(x0) f(b)。（C） f(x0)=0
4、。 （D）f(x 0)= f(a)+f(b)。二、填空题10 设 (x)= =_。11 已知 y=ln(x+ )，则 y=_。12 已知 xy=exy ，则 =_。13 设 =_。14 作变量替换 x=lnt，方程 +e2xy=0 可简化为_。15 曲线 上对应于 t= 的点处的法线斜率为_。16 已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加。则当 l=12cm，=5cm 时，它的对角线增加速率为_。17 函数 y=x2x 在区间(0，1 上的最小值为_。18 设 y=y(x)由参数方程 确定，则=_， =_，y=y(x) 在任意点处的曲率 K=_。三、解答题
5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题。19 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1。证明：20 存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；21 存在两个不同的点 ， (0，1)，使得 f()f()=1。22 (I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)-f(a)=f()(b 一 a)；()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 f(x)=A，则 f (0)存在，且 f (0)=
6、A。23 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数，且 f(x0)=0，f (x0)0，证明当 f(x0)0，f(x)在 x0 处取得极小值。24 设函数 f(x)=lnx+ ，求 f(x)的最小值。25 试确定方程 x=aex(a0) 实根的个数。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2x在 x=0 处的最高阶导数的存在性。事实上，由 f(x)= 可立即看出，f(x)在 x=0处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选 C。【知识模
7、块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f(x)在 x=a 处可导，即该极限存在是 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查的是导数的极限定义及函数连续与可导的关系。由于已知条件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的特殊函数 f(x)判断。取特殊函数 f(x)=x，则 =0，但f(x)在 x=0 不可导，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 h (x)=esin2xg(x) 2cos2x
8、+g (x)，则【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f(x)在闭区间a ，b 上有定义，故选项 A、C 、D 均不一定正确，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=3 时，根据等式 t2+2t=3，得 t=1，t=一 3(舍去) ，因此有所以过点 x=3(y=ln2)的法线方程为：yln2=一 8(x 一3)，令 y=0，可得法线与 x 轴交点的横坐标为 ln2+3，故应选 A。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 由题干图象可知： 当 x0 时，f(x)单调递增，所以 f(x)0； 当x0 时，
9、随着 x 的增大，f(x)先单调递增，再单调递减，最后再单调递增，对应的f(x)先大于零，再小于零，最后再大于零；观察四个选项，可知选 D。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)=x 一f (x)2，该等式右边可导，故 f(x)可导。在题设等式两端对 x 求导，得 f (x)+2f(x)f(x)=1。 令 x=0，可得 f(0)=1。又 f(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，不妨设 f(a)0，f (b)0。由 f(a)= 0可知，存在
10、 x=a 的右邻域 x1 (a)时，f(x 1)f(a) f(a)不是 f(x)在a，b 上最小值。同理可证 f(b)也不是 f(x)在a，b上最小值。所以 f(x)在a，b上的最小值点x=x0(a，b) ，由极值的必要条件知 f(x0)=0。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 先考察 (x)的可导性并求导。(x) 在 x=0 处的左导数为 (0)=0；(x)在 x=0 处的右导数为 (0)=0。所以 (0)=0。当 x0 时， (x)=ln(1+x2)2=；当 x0 时， (x)= 。因此 f(x)=f(x)(x)=【知识模块】 一元函数微分学11 【正确
11、答案】 【试题解析】 易知【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy=exy (1+y)，即 y=，其中 y=y(x)是由方程 xy=exy 所确定的隐函数。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 +y=0【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 +1【试题解析】 本题考查参数方程求导及导数的几何意义。又因为切线和法线的斜率互为负倒数，故曲线在对应于 t= 的点的法线斜率为+1。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 3cms【试题解析】
12、 设 l=x(t)，=y(t)，对角线增加的速率为 s(t)。根据题意，在 t=t0 时，x(t0)=12，y(t 0)=5，且 x(t0)=2，y (t0)=3。又因 s(t)=，所以 s(t0)=3。故对角线增长速率为 3cms 。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x2x(2lnx+2)，令 y=0 得驻点为 x= 。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 由参数方程求导法则，因此，y=y(x) 的曲率【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 一 2tex =0 得 ex
13、dx=2tdt，由条件 x t=0=0 得 ex=1+t2，即x=ln(1+t2)。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一10，F(1)=10，故由零点定理知，存在 (0， 1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 在0，和 ，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)， (，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 (I)作辅助函数 (x)=f(x)一 f(a)一 (x 一 a)，易
14、验证(x)满足：(a)=(b)；(x) 在闭区间a ，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，且 (x)=f(x)一 。根据罗尔定理，可得在 (a， b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 f()一 =0，所以 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)。()任取 x0(0，) ，则函数 f(x)满足在闭区间0，x 0上连续，开区间(0，x 0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 x0(0，x 0) (0，)，使得 f(x0)= 。 (*)又由于=A，对(*) 式两边取 x00 时的极限：f (0)=A，故 f (0)存在，且f (0)=A。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由
15、题设 f(x0)0，且由导数定义可知 f(x0)=0。则对于 x0 的去心邻域(x 0，x 0)(x0，x 0+)(0)，有 0。当 x(x0 一 ，x 0)时，x 一 x00，则 f(x)0；当x(x0，x 0+)时，x 一 x0 0，则 f(x)0。由第一充分条件可知，f(x)在点 x0 处取得极小值。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由题意 f(x)= ，令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1。当x(0，1)时，f (x)0，f(x)单调递减；当 x(1，+)时，f (x)0，f(x)单调递增。所以函数在 x=1 处取得最小值 f(1)=1。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 将已知方程变形为 xex 一 a=0，令 f(x)=xex a，x0，则 f(x)=ex xe x =(1 一 x)ex ，由 f(x)=0，解得 x=1，因此当 x(0，1)时，f (x)0，即f(x)单调递增；当 x(1，+) 时，f (x)0，即 f(x)单调递减。所以 x=1 是 f(x)的最大值，且 f(1)= 一 a。又因为 f(0)=一 a0， =一 a0，所以当 a 时，f(1)0，原方程有两个实根； 当 a= 时，f(1)=0，原方程只有一个实根；当a 时，f(1)0，原方程无实根。【知识模块】 一元函数微分学
