1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=(x2+x 一 2)sin2x在区间 上不可导点的个数是( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。2 设 f(x)=xsin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。3 设 =a，则( )（A）f(x)在 x=x0 处必可导，且 f(x0)=a。（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导。（C） f(x)在 x=x0 处有极限，但未必连续。（D）以上结论都不对。4 2xlnxln(1+x)dt=( )
2、（A） ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)。（B） ln(1+lnx)一 ln(1+2x)。（C） ln(1+lnx)一 ln(1+2x)。（D）ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)。5 设在0 ，1上 f(x)0，则 f(0)，f (1)，f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（A）f (1)f (0)f(1)f(0)。（B） f(1)f(1)一 f(0)f (0)。（C） f(1)一 f(0)f (1)f (0)。（D）f (1)f(0)一 f(1)f (0)。6 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（A）若 f(x)在(一，+
3、) 上可导且单调增加，则对一切 x(一，+)，都有 f(x)0。（B）若 f(x)在点 x0 处取得极值，则 f(x0)=0。（C）若 f(x0)=0，则(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）若 f(x0)=0，f (x0)=0，f (x0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点。7 设常数 k0，函数 f(x)=lnx +k 在(0，+)内零点个数为( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。8 已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf(x)+3xf(x)2=1 一 ex ，若 f(x0)=0(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值。（B）
4、f(x0)是 f(x)的极小值。（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。9 曲线 y= +ln(1+ex)渐近线的条数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。二、填空题10 设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=ex(1y) 确定，则 =_。11 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_。12 设 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 =_。13 设 x=et ，y= 01ln(1+2)d，则 =_。14 设 y=sin4x，
5、则 y(n)=_。15 曲线 在(0，0)处的切线方程为_。16 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_。17 函数 f(x)=4x 3 一 18x2+27在区间0，2上的最小值为_，最大值为_。18 曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知函数 f()具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xey1 =1 所确定。设 z=f(lnysinx)，求 。19 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)=02f(x)dx=f
6、(2)+f(3)。20 证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；21 证明存在 (0，3)，使 f()=0。22 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)= 。证明：存在 ，使得 f()+f()=2+2。23 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。24 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。25 讨论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下
7、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 g(x)=x2+x 一 2，(x)=sin2x ，显然 g(x)处处可导，(x) 处处连续但有不可导点。形如 f(x)=g(x)(x) ，其中 g(x)在 x0 的某邻域内连续，(x)在 x=x0 处可导，则 f(x)在 x0 处可导 (x0)=0。根据上述结论，只需验证 (x)在不可导点处 g(x)是否为零。(x)=sin2x的图形如图 123 所示，在内的不可导点为 x=0， ，1。因为 g(0)=一 20，g( )0，g(1)=0 ，所以f(x)=g(x)(x)在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导
8、，且其余点均可导。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(3)(0)不存在。因此 n=2，选 C。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左、右导数 f (x0)和 f (x0)与 f(x)在 x=x0处的左、右极限 区分开。=a，但不能保证 f(x)在 x0 处可导，以及在 x0 处连续和极限存在。例如但是不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续，不可导。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 2xlnxln(1+t)dt=ln(1+lnx)(lnx) 一 ln
9、(1+2x)(2x)=ln(1+lnx) 一 ln(1+2x)2= ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)，故选 A。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f(x)0，x0，1 ，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f(1)一 f(0)=f()， (0，1)。 因此有 f (0)f ()f (1)， 即可得 f (0)f(1)一 f(0)f (1)。 故选 B。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 若在(一，+)上 f(x)0，则一定有 f(x)在(一，+)上单调增加，但可导函数 f(x)在(一，+) 上单
10、调增加，可能有 f(x)0。例如 f(x)=x3 在(一，+)上单调增加，f (0)=0 故不选 A。 f(x)若在 x0 处取得极值，且 f(x0)存在，则有 f(x0)=0，但当 f(x)在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f(x0)=0，例如f(x)=x在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B。 如果 f(x)在 x0处二阶导数存在，且(x 0，f(x 0)是曲线的拐点，f (x0)=0，反之不一定，例如 f(x)=x4在 x0=0 处 f(0)=0，但 f(x)在(一 ，+) 没有拐点，故不选 C。由此选 D。【知识模块】 一元函数微分学7 【正
11、确答案】 B【试题解析】 因 f(x)= ，令 f(x)=0，得唯一驻点 x=e，f(x)在区间(0，e)与(e， +)内都具有单调性。又 f(e)=kO，而因此根据零点存在定理可知，f(x)在(0，e)与(e ，+)内分别有唯一零点，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得 x0f(x0)+3x0f(x0)2=1 一 ex 0，即得 f(x0)= 0(分 x00 与 x00 讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在 x0 处取得极小值，故选 B。【知识模块】 一元函数微分
12、学9 【正确答案】 D【试题解析】 本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判断。因为=0，所以y=0 是曲线的水平渐近线；因为 =，所以 x=0 是曲线的垂直渐近线；所以 y=x 是曲线的斜渐近线。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y一 1=ex(1y) (1 一 yxy)，将x=0，y=1 代入上式，可得 y(0)=1。所以 =f(0)=1。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 n！【试题解析】 由于 f (x)=(x+1)(x+2)(x
13、+n)+x(x+2)(x+n)+(x+1)(x+2)(x+n一 1)， 所以 f(0)=n！。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 一 3【试题解析】 方程两边对 x 求导可得，y+xy +yey=1，解得 y= 。再次求导可得，2y +xy+yey+(y)ey=0，整理得 y= (*)当 x=0 时，y=0，y (0)=1，代入(*) 得，y (0)= =一(2+1)=一 3。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 0【试题解析】 由题干可得，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 先将原式分解为 由数学归纳法，求余弦函数的 n 阶导数，即(cosax
14、) =一 asinax=acos(ax+ )，(cosax) =一 a2sin(ax+ )=a2cos(ax+)，(cosax) (n)=ancos(ax+ )，【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=2x【试题解析】 所以 =2。因此切线方程为 y=2x。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 (一，1)【试题解析】 本题主要考查参数方程曲线的凹凸性。又因x=t3+3t+1 是单调增加的，在 t0 时，x(一，1)，故 x(一，1)时，曲线上凸。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 (x)=4x3 一 18x2+27，则 (x)=12x
15、(x 一 3) 所以 (x)在0 ，2单调递减，(0)=27 ，(2)=一 13，利用介值定理知，存在唯一x0(0，2)，(x 0)=0。且 f(0)=27，f(x 0)=0，f(2)=13 。因此，f(x) 在0，2上的最小值为 0，最大值为 27。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 (x 一 2)2+(y 一 2)2=2【试题解析】 由题干可知，由曲率圆的定义可知，圆心位于点 D(1，1)所在的法线 y=x 上，其图像如图 1 一 25 所示，圆心坐标为(2，2) 。 因此，所求方程为(x 一 2)2+(y 一 2)2=2。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说
16、明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 令 =lnysinx，则 。在等式y 一 xey1 =1 的两边对 x 求导，得 y一 eyy1 一 xey1 y=0，即 y= ，又 y(0)=1，可得 y(0)=1。在 y= 两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，x0，2 。由于 f(x)在0 ，2上连续，所以可知F(x)在0 ，2上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在 (0，2)，使得 f()=，即 2f()=02f(x)dx，所以 f()=f(0)。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 f(
17、2)+f(3)=2f(0)，即 =f(0)，又因为 f(x)在2，3上连续，由介值定理知，至少存在一点 12，3使得 f(1)=f(0)。又因为函数在0，上连续，在(0，)上可导，且 f(0)=f()，由罗尔定理知，存在 1(0，)，有f(1)=0。因为 f(x)在， 1上是连续的，在( ， 1)上是可导的，且满足 f()=f(0)=f(1)，由罗尔定理知，存在 2(， 1)，有 f(2)=0。因为 f(x)在 1， 2上是二阶可导的，且 f(1)=f(2)=0，根据罗尔定理，至少存在一点 (1， 2)，使得 f()=0。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一
18、 x3，则 F(1)=F(0)=0。在区间 上分别应用拉格朗日中值定理，将上面两个等式相加 F(1)一 F(0)= f()一 2+ f()一 2=0，即 F()+F()=f()一 2+f()一 2=0，整理后得 f ()+f()=2+2。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 f (x)=3ax2+2x，由题意 f(0)=0，f (一 1)=3a 一 2=0，由此可得a= ，于是 f(x)=2x2+2x， f(x)=4x+2，令 f(x)=0，则可得 x= 。列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下：由此可知，函数 f(x)的单调增区间是( 一，一 1)和(0，+)，单调减区间是(
19、一1，0)，极大值是 f(一 1)= ，极小值为 f(0)=2，拐点是 。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 f(x)=xsinx+2cosx+x，需证 0ax 时，f(x)是单调增加的。f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosx一 sinx+， f (x)=cosx 一 xsinxcosx=一xsinx 0， 所以 f(x)严格单调减少。 又 f ()=cos+=0， 故 0a x 时，f(x)的一阶导数大于零，从而函数单调增加，根据 ba 可得，f(b)f(a)， 即可得bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。【知识模块】 一元函数微分学25
20、 【正确答案】 曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数等价于方程 (x)=ln4x 一4lnx+4x 一 k 在区间(0，+)内的零点个数。对以上方程两端求导得 (x)=(ln3x 一 1+x)，可知 x=1 是 (x)的驻点。当 0x1 时，ln3x0，则 ln3x 一 1+x0，而 0，因此 (x) 0，即 (x)单调减少；当 x1时，ln 3x0，则 ln3x 一 1+x0，且 0，因此 (x)0，即 (x)单调增加。故(1)=4一 k 为函数 (x)的唯一极小值，即最小值。当 (1)=4一 k0，即当k4 时，(x)(1)0，(x)无零点，两曲线没有交点；当 (1)=4一 k=0，即当k=4 时， (x)(1)=0，(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；当 (1)=4 一 k0，即当 k4 时，由于由连续函数的介值定理，在区间(0 ，1) 与 (1，+)内各至少有一个零点，又因 (x)在区间(0，1)与(1，+)内分别是严格单调的，故 (x)分别各至多有一个零点。因此，当 k4 时，(x)有两个零点。综上所述，当 k4 时，两曲线没有交点；当 k=4 时，两曲线仅有一个交点；当 k4 时，两曲线有两个交点。【知识模块】 一元函数微分学
