1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。(x)=则 (x)在 x=0 处( )（A）不连续。（B）连续但不可导。（C）可导但 (x)在 x=0 处不连续。（D）可导且 (x)在 x=0 处连续。2 设 f(x)在a ，b可导，f(a)= ，则( )（A）f (a)=0。（B） f (a)0。（C） f (a)0。 （D）f (a)0。3 设 f(x)可导且 f(x0)= ，则当x0 时，f(x) 在 x0 点处的微分 dy 是( )（A
2、）与x 等价的无穷小。（B）与 x 同阶的无穷小。（C）比 x 低阶的无穷小。（D）比x 高阶的无穷小。4 设 f(x)=(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)，其中 a，b，c ，d 互不相等，且 f(k)=(k 一a)(k 一 b)(k 一 c)，则 k 的值等于( )（A）a。（B） b。（C） c。（D）d。5 设 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。6 设区间0 ，4 上 y=f(x)的导函数的图形如图 12 一 1 所示，则 f(x)( )（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，
3、4 单调下降且为凹的。（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的。（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的。（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的。7 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)
4、也不是曲线 y=f(x)的拐点。8 函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，且设 =一 1，则在 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(0)0。（B） f(x)取得极大值。（C） f(x)取得极小值。（D）f(x)的导数不存在。9 曲线 y=1 一 x+ ( )（A）既有垂直又有水平与斜渐近线。（B）仅有垂直渐近线。（C）只有垂直与水平渐近线。（D）只有垂直与斜渐近线。二、填空题10 设 y=(1sinx) x，则 dy x=_。11 0xsin(xt) 2=_。12 设 y=y(x)是由方程 x2 一 y+1=ey 所确定的隐函数，则 =_。13 已知 =_。14 设函数 y
5、= ，则 y(n)(0)=_。15 曲线 上对应于 t=1 点处的法线方程为_。16 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是_。17 曲线 y= 的水平渐近线方程为_。18 曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 的点的坐标是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 (1)= ， (1)=6，已知 ，求函数 (t)。19 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：20 存在 (0，1)，使得 f()=1；21 存在 (
6、一 1，1)，使得 f()+f()=1。22 设 eabe 2，证明 ln2bln2a (b 一 a)。23 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求 y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。24 证明：xln +cosx1+ ，一 1x1。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以 (x)在x=0 处连续。故(x)在 x=0 连续。故选 D。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)在a，b 上可导可知，f (a)= 。显然，x 一
7、a0，又 f(a)= 0，从而有0，再由极限的局部保号性可知， 0，即 f (0)0，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 点处可导及微分的定义可知 dy=f(x0)x= x，于是，即当x0 时，dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件得 f (x)=(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)+(x 一 a)(x 一 c)(xd)+(x一 a)(x 一 b)(x 一 d)+(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)，且已知 f(k)=(k 一 a)(k 一 b)(k 一
8、 c)，故 k=d。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 容易验证 f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由罗尔定理知至少有 1(0，1)，2(1， 2)，使 f(1)=f(2)=0 成立，所以 f(x)至少有两个零点。又 f(x)中含有因子x，因此可知 x=0 也是 f(x)的零点，因此选 D。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0，1)或(3，4)时，f (x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降。 当 x(1，3)时 f(x)0，那么 f(x)在1，3单调上升。 又 f(x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的；
9、f(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4是凸的。 故选B。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论 x=0 两边 f(x)，f (x)的符号。可以选择区间(一 1，1)来讨论。可见 f(x)在 x=0 两边异号，因此(0，0) 是极值点；f (x)在 x=0 两边异号，所以(0，0)也是曲线的拐点。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解。取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a)2，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在
10、其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(一，一 3)0， +)，且只有间断点 x=一 3，又=+，所以 x=一 3 是曲线的垂直渐近线。x0 时，因此y=一 2x+ 是曲线的斜渐近线(x一) 。故选 A。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 一 dx【试题解析】 运用等价转换 y=(1+sinx)x=exln(1sinx) ，于是 y=exln(1sinx) ln(1+sinx)+x ，因此 dy x=y()dx=一 dx。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 sinx 2【试题解
11、析】 令 x 一 t=，则=sinx2。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 1【试题解析】 将 x=0 代入原方程可得 y=0。方程 x2 一 y+1=ey 两端同时对 x 求导，有 (*)将 x=0，y=0 代入上式，可得 =0。式(*) 再次对 x求导得【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 2【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。易归纳证得 y(n)(x)= ，故 y(n)(0)= 。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y+x 一 =0【试题解析】 当 t=1 时， ，
12、 =1，由此可得法线的斜率为一 1，因此可得法线方程为【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 y(3y2 一 2y+x)=x 一 y (*)令 y=0，有 x=y，代入 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 中，可得(x 一 1)(2x2+x+1)=0，那么 x=1 是唯一的驻点。下面判断 x=1 是否是极值点：对(*)式求导得 y(3y2 一 2y+x)+y(3y2 一 2y+x)x=1 一y。把 x=y=1，y (1)=0 代入上式，得 y(1)= 0。故 y(x)只有极值点为 x=1，且它是极小值点。【知识模块】 一元函数微分学
13、17 【正确答案】 y=【试题解析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于因此曲线的水平渐近线为 y= 。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 (一 1，0)【试题解析】 将 y=2x+1，y =2 代入曲率计算公式，有整理得(2x+1) 2=1，解得 x=0 或一 1。又x0，所以 x=一 1，此时 y=0，故该点坐标为(一 1，0)。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 = t2+t3+C2。又已知 (1)= ，可得 C2=0，因此 (t)= t2+t3(t一 1)。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数
14、微分学20 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x，则 F(x)=f(x)一 1，且 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一1=0， 由罗尔定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 G(x)=exf(x)一 1，由(I) 知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G()=0，则存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 G()=0，即 ef()一 1+ef()=0，即 f()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 (x)=ln2x 一 ，则 (x)
15、= ， (x)= ，所以当 xe 时， (x)0，因此 (x)单调减少，从而当 exe 2 时， (x) (e2)=0，即当 exe 2 时，(x)单调增加。因此当 exe 2 时，(b)(a)(e a be 2)，即 故 ln2b 一 ln2a (b 一 a)。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 已知 。令=0，得 t=1。当 t=1 时， ；当 t=一 1 时，x=一 1，y=1。令。列表如下由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=1，极小值为 ；曲线 y=y(x)凹区间为 ；曲线 y=y(x)的拐点为 。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 f(x)= ，可得故 f(x)0，而 f(0)=0，即得 当一 1x0 时，有1，所以 一 sinx0，故 f(x)0，所以当 1x0 时，f(x)f(0)，即得【知识模块】 一元函数微分学
