1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(0)0，则 f(x)在点 x0 可导的充要条件为（A） 存在 （B） 存在（C） 存在 （D） 存在 2 设 f(x)3x 3x 2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶 n 为（A）0 （B） 1（C） 2（D）33 设 ，则在 xa 处（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0 （B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值 （D）f(x)的导数不存在 4 设 yf(x)是方程 y“2y4y0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)0，则函数 f(x)在点 x
2、0 处（A）取得极大值 （B）取得极小值（C）某邻域内单凋增加 （D）某邻域内单调减少 5 已知 f(x)在 x0 的某个邻域内连续，且 f(0)0 ，则在点x0 处 f(x)（A）不可导 （B）可导，且 f(0)0（C）取得极大值 （D）取得极小值 6 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)0， ，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，(0)也不是曲线 yf(x)的拐点 7 设周期函数 f(x)在(，)内可导，周期为 4，又，则曲线 yf(x)在(5，f(5) 点处的切
3、线斜率为（A） （B） 0（C） -1（D）-28 设函数 f(x)在点 xa 处可导，则函数f(x)在点 xa 处不可导的允分条件是（A）f(a)0 且 f(a)0 （B） f(a)0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0 （D）f(a)0 且 f(a)09 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是（A）至少存在一点 x0(a，6)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b) （C）至少存存点 x0(a， b)，使得 f(x0)0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)0 10 设 f(x)
4、的导数在 xa 处连续，又 ，则（A）xa 是 f(x)的极小值点（B） xa 是 f(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 yf(x)的拐点（D）xa 不是 f(x)的极值点， (a，f(a)也不是曲线 yf(x)的拐点 11 设函数，f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则（A）当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()0（B）对任何 (a，6)，有 （C）当 f(a)f(b)时，存在 (a，b)，使 f()0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)f(a) f()(b a) 12 使函数 f(x)2x 39x12xa 恰好有两个不同的零点的 a 等于（A）
5、2 （B） 4（C） 6（D）813 设 f(x)xsinxcosx，下列命题中正确的是（A）f(0)是极大值， 是极小值（B） f(0)是极小值， 是极大值（C） f(0)是极大值， 也是极大值（D）f(0)是极小值， 也是极小值 14 以下四个命题中，正确的是（A）若 f(x)在(0 ，1)内连续，则 f(x)在(0，1) 内有界（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)存(0，1)内有界（D）若 f(x)在(01)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界 15 设 f(x0)f“(x 0)0，f(x 0)0，则下
6、列选项正确的是（A）f(x 0)是 f(x)的极大值 （B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值 （D）(x 0，f(x 0)是曲线 yf(x)的拐点 16 设函数 f(x)在 x0 处连续，且 ，则（A）f(0)0 且 f(0)存在 （B） f(0)1 且 f(0)存在（C） f(0)0 且 f (0)存在 （D）f(0)1 且 f (0)存在 17 设 f(x)是奇函数，除 x0 外处处连续，x0 是其第一类间断点，则 0xf(t)dt 是（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数（C）在 x0 间断的奇函数 （D）在 x0 间断的偶函数 18 设函数 g(x
7、)可微，h(x)e 1g(x) ，h(1) 1，g(1)2，则 g(1)等于（A）ln31 （B） ln31（C） ln21（D）ln21 二、填空题19 已知 f(3)2，则 _。20 对数螺线，e 在点( ，) 处的切线的直角坐标方程为_21 曲线 ylnx 上与直线 xy1 垂直的切线方程为 _22 设 _。23 设函数 yy(x) 由方程 exy cos(xy)0 确定，则 _24 知函数 yy(x) 由方程 ey6xyx 210 确定，则 f“(0)_25 当 x_时，函数 yx.2 x 取得极小值26 函数 (x0)的单凋减少区间为_27 曲线 的斜渐近线方程为_28 已知曲线 y
8、x 33a 2x b 与 x 轴相切，则 b2_29 已知 _30 设 ，则 f(n)(x)_31 设方程 xy y 确定 y 是 x 的函数，则 dy_32 设 yf(lnx)e f(x)，其中 f 可微，则 dy_33 设 ，则 f(f)_34 设 _。35 设 _。36 设 f(x)xe x，则 f(n)(x)在 x_处取极小值_37 设函数 f(x)在 x2 的某邻域内可导，且 f(x)e f(x)，f(2)1，则 f(2)_。38 设函数 f(u)可微，且 f(0) ，则 zf(4x 2y 2)在点(1，2)处的全微分_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。39 设函数
9、 f(x)在闭区间0，1上可微对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0 ，1) 内，且 f(x)1，证明：在(0，1)内有且仅有一个 x，使得 f(x)x40 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且在(a，6) 内有 f(x)0，证明：在(a ，b)内存在唯一的 ，使曲线 yf(x) 与两直线 yf()，xa 所围平面图形的而积 S1 是曲线 yf(x)与两直线 yf()，xb 所围平面图形面积 S2 的 3 倍41 设在0 ， 上函数 f(x)有连续导数，且 f(x)k0，f(0)0证明：f(x)在(0， )内有且仪有一个零点42 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，
10、1)内可导，且 ，证明：在(0， 1)内存在一点 c，使 f(c)043 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)f(b)g(a)g(b)0，试证： (1)在开区间 (a，b)内 g(x)0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点，使 44 设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a ，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)f(b) 证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()045 设 f(x)在( 1，1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0，试证： (1)对于(1，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)f(0) x
11、f(x)x)成立； (2)46 设 ba e，证明：a bb a47 设 f(x)在0，1上具有二阶导数且满足条件f(x) a ，f“(x)b，其中a，b 都是非负常数， c 是 (0，1)内任意一点，证明： 48 试证：当 T0 时，(x 21)lnx(x1) 249 设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)1，试证：存在， (a，b)，使得 e f()f() 150 设 a1， f(t)a tat 在( ，)内的驻点为 t(a)问 a 为何值时，t(a) 最小? 并求出最小值考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
12、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【知识模块】
13、一元函数微分学13 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题19 【正确答案】 1；【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 yx1；【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】
14、 2；【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 4a 6；【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 e 2t(2t1)；【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 ；【知识模块】 一元
15、函数微分学36 【正确答案】 (n1)， ；【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 2e 3；【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 4dx2dy。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。39 【正确答案】 作辅助函数 F(x)f(x)x 存在性用介值定理，唯一性可用反证法证明【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 先分别求出 S1 和 S2 的表达式，再根据 S13S 2 构造辅助函数，用介值定理证明存在性，而唯一性则可用单调性进行推导【知识模块】 一元函数微分学41 【正确答案】 由题设 f(0)0，应用拉格朗日中值定理，再找一
16、点其函数值火于零，即可证明零点的存在性，利用导数大于零，从而 f(x)严格单调，即可证明唯一性【知识模块】 一元函数微分学42 【正确答案】 利用罗尔定理，条件从已知积分等式中去找【知识模块】 一元函数微分学43 【正确答案】 (1)用反证法，假设存在一点为零，可导出矛盾；(2)用原函数法构造辅助函数：F(x)f(x)g(x) g(x)f(x)利用罗尔定理即得【知识模块】 一元函数微分学44 【正确答案】 应用拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学45 【正确答案】 (1)直接用拉格朗日中值定理即可得存在性，用单调性判断唯一性；(2)由，可得 ，也可用 f(x)二阶泰勒展开式，并与(1)
17、中已有的结果进行对比推导【知识模块】 一元函数微分学46 【正确答案】 令 f(x)xlna alnx(xa) ，或令 ，xe，利用单调性【知识模块】 一元函数微分学47 【正确答案】 用 f(x)在点 xc 处的二阶泰勒展开式【知识模块】 一元函数微分学48 【正确答案】 构造辅助函数 f(x)(x 21)lnx(x1) 2，或，利用单调性；也可对 lnx 在 1 与 x 之间用拉格朗日中值定理和单调性；或直接用泰勒公式来证明【知识模块】 一元函数微分学49 【正确答案】 两次用拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学50 【正确答案】 a e e，t(e e)1e 1【知识模块】 一元函数微分学
