1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a ， ，则当 0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 g() 0f(u)du，其中 f() ，则 g()在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点3 设 f()在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） af(t)dt（B） af(t)dt（C） 0f(t)dt 0f(t)dt（D） tf(t)dt二、填空题4 _5 _6 _7
2、_8 max2， 2d_9 _10 _11 _12 _13 _14 设 f()满足等式 f()f() ，且 f(1)4，则 01f()d_15 设函数 yy()满足y o()，且 y(1)1，则 01y()d_ 16 设 ，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f()在( a，a)(a 0)内连续，且 f(0)2 (1)证明：对 0 a，存在001，使得 0f(t)dt 0 f(t)dtf()f()， (2)求18 设 an tannd(n2)，证明：19 设 f()有界，且 f()连续，对任意的 (，)有f()f() 1证明：f()120 设 f()在( ，)上
3、有定义，且对任意的 ，y(，) 有f()f(y) y证明： abf()d(ba)f(a) (ba) 221 设 f()在0，1上连续，且 0mf()M，对任意的 0，1，证明：22 设 f()在a，b上连续且单调增加，证明： abf()d abf()d23 设 f()在(0，)内连续且单调减少证明： 1n+1f()d f(k)f(1) 1nf()d24 设 f()在a，b上连续且单调减少证明：当 0 k1 时， 0kf()dk01f()d25 设 f()在0，1上连续且f()M 证明：26 设 f()在0，a 上一阶连续可导，f(0) 0，令 f()M 证明： 0af()d M27 设 f()
4、在0，1上连续，且 f(1)f(0) 1证明： 01f2()d128 设 f()在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： abf2()d abf()2d29 设 f()在a，a上连续可导，且 f(a)f(b) 0证明：f() abf()d(ab)30 设 f()在a，b上连续可导，证明：f() abf()d31 设 f()在0，1上二阶可导，且 f()0证明： 01f(2)df( )32 设 f()在区间 a，b上二阶可导且 f()0 证明： (ba)f( )abf()df(a)f(b)33 设 f()C0，1，f()0证明积分不等式：ln 01f()d01lnf()d考研数学二（一元函数积分
5、学）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1，所以两无穷小同阶但非等价，选 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f()在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g()在(0 ，2)内连续，选 C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】
6、【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 max 2， 2 ，当 1 时，max2， 2d C1； 当12 时，max2， 2d 2C 2； 当 2 时，max 2， 2d C 3 取C2C【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 2【试题解析】
7、 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为故 aln2【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 (1)令 F() 0f(t)dt 0 f(t)dt，显然 F()在0， 上可导，且 F(0)0，由微分中值定理，存在 001，使得 F()F()F(0) F()，即 0f(t)dt 0 f(t)dtf()f() (2)令 A，由【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 a na n+2同理 ana n-2 因为 tann，tan n+2 在0，
8、上连续，tan ntann+2，且tann，tan n+2 不恒等， 所以 ，即 ana n+2， 于是a n an+22a n，即 an ， 同理可证 an【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 ()e f()，则 ()e f()f()， 由f()f()1得()e ，又由 f()有界得 () 0，则 ()()() ()d，两边取绝对值得 e f() ()d ede ，所以f()1【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为(ba)f(a) abf(a)d，所以【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因为 0 0 于是 f() Mm，两边积分得【知识模块】 一元函数
9、积分学22 【正确答案】 令 () 因为 f()在a，b上单调增加，所以 ab()d0，【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 1n+1f()d 12f()d 23f()d nn+1f()d， 当 1，2时，f()f(1)，两边积分得 12f()df(1)， 同理f()df(2)，f()df(n) ，相加得； 当 1，2时，f(2)f()，两边积分得 f(2)12f()d， 同理 f(3)23f()d，f(n) n-1nf()d， 相加得 f(2)f(n) 1nf()d，于是 f(k)f(1) 1nf()d【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 0kf()dk 01f()d 0
10、kf()dk 0kf()d k1f()d (1k)0kf()dk k1f()dk(1 k)f(1)f( 2) 其中 10，k， 2k，1因为0k1 且 f()单调减少， 所以 0kf()dk 01f()dk(1 k)f( 1)f( 2)0，故0kf()dk01f()d【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由微分中值定理得 f()f(0)f()，其中 介于 0 与 之间， 因为 f(0)0，所以f()f()M， 0，a ， 从而 0af()d 0af() d 0aMd M【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由 1f(1)f(0
11、) 01f()d， 得 121( 01f()d)20112d01f2()d 01f2()d，即 01f2()d1【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由 f(a)0，得 f()f(a)f() af(t)dt，由柯西不等式得【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 因为 且 f(a)f(b)0，所以两式相加得f() f() d【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 因为 f()在a，b上连续，所以 f()在a，b上连续，令f(c) f() 根据积分中值定理， f()df() ，其中a， b 由积分基本定理，f(c)f() cf()d，取绝对值得 f(c) f() cf()
12、df() abf()d，即【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(t)，其中 介于 与 t 之间，从而【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 由泰勒公式得 f()其中 介于 与之间， 因为 f()0，所以有两边积分得 abf()d(ba)令 () f()f(a) af(t)dt，且 (a)0，其中 a， 因为 f()0，所以 f()单调不减，于是 ()0(ab)，【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 令 g(t) lnt(t0)，g(t) 0，再令 0 01f()d，则有 g(t)g(0)g( 0)(t 0) gf(0)g(0)g( 0)f() 0， 两边积分，得 01lnf()dln01f()d【知识模块】 一元函数积分学
