1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为 ( )（A）1+sinx。（B） 1 一 sinx。（C） 1+cosx。（D）1 一 cosx。2 定积分 I= =( )3 设 f(x)= F(x)=0xf(t)dt，则( )（A）F(x)在 x=0 处不连续。（B） F(x)在(一，+)内连续，但在 x=0 处不可导。（C） F(x)在(一，+)内可导，且满足 F(x)=f(x)。（D）F(x)在(一，+) 内可导，但不一定满足 F(x)=f(x)。4 设
2、 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性( )（A）仅与 m 的取值有关。（B）仅与 n 的取值有关。（C）与 m，n 的取值都有关。（D）与 m，n 的取值都无关。5 由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( )二、填空题6 已知f (x3)dx=x3+C(C 为任意常数)，则 f(x)=_。7 =_。8 =_。9 =_。10 =_。11 =_。12 1 =_。13 已知 ekx =1，则 k=_。14 曲线 y= ，直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为_。15 曲线 =1 相应于 的一段弧长 s=_。三
3、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求不定积分 ln(1+x2)dx。16 设 f(x)= 。17 证明 f(x)是以 为周期的周期函数；18 求 f(x)的值域。19 设 f(x)在 一 ，上连续，且有 f(x)= + f(x)sinxdx，求 f(x)。20 已知 f(2)= ，f (2)=0 及 02f(x)dx=1，求 01x2f(2x)dx。21 (I)设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一 ，+)恒有 aal f(x)dx=0lf(x)dx。()计算 02 dx。22 设 f(x)在区间a，b上可导，
4、且满足 f(b)cosb= cosxdx 。证明至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=f()tan。23 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f (x)0，g (x)0。 证明对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。24 设 f(x)=1 xttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积。25 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 ，试确定 a、b、c 的值，使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小。25 函数 y= 与直线 x
5、=0，x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为F(t)。26 求 的值；27 计算极限 。27 一容器的内侧是由图中(如图 136)曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2+y2=2y(y )与 x2+y2=1(y )连接而成。28 求容器的容积；29 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为 gms 2，水的密度为 103kgm 3。)考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
6、符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 F(x)=sinx，得 F(x)=f (x)dx=sinxdx=一 cosx+C1， 所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C1)dx=一 sinx+C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数。 令 C1=0，C 2=1 得 F(x)=1 一 sinx。故选 B。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，则 I=。故选 B。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 关于具有跳跃间断点的函数的变
7、限积分，有下述定理： 设 f(x)在a，b上除点 c(a，b) 外的其他点都连续，且 x=c 为 f(x)的跳跃间断点。又设 F(x)=cxf(t)dt，则： F(x)在a，b上必连续； 当 xa，b且 xc 时，F (x)=f(x)； F(c)必不存在，且 F (c)=f(c )，F (c)=f(c )。 直接利用上述结论(本题中的c=0)，可知选项 B 正确。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，x=1 是该积分可能的两个瑕点，因此有【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算
8、公式，得Vx=0f2(x)dx=0( )2=0sin3xdx=一 0(1 一 cos2x)dcosx=(cosx 一cos3x) 0= 。故选 B。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 +C【试题解析】 对等式f (x3)dx=x3+C 两边求导得 f(x3)=3x2。令 t=x3，等式两边积分，故 f(x)= +C。【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 secxtanx+x+C【试题解析】 =tanxsecxdx 一(sec 2x 一1)dx=secx 一 tanx+x+C。【知识模块】 一元函数积分学9
9、【正确答案】 【试题解析】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt，于是【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 0【试题解析】 令 I n=ex sinnxdx=一 ex sinnx+nex cosnxdx=一 ex sinnxnex cosnxn2In。所以 In= +C。则【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令 x= ，则有【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 一 2【试题解析】 1= ekx dx=20 ekxdx=2 ekx 0b，已知要求极限存在，所以 k0。那么 1=0 一
10、 ，所以 k= 一 2。【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 直接利用旋转体的体积公式可得，如图 1-3-10 所示，x 的积分从 1到 2。 V=12(x2 一 1)dx= 12 一 x 12=)=。【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由已知可得 。则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由题设条件可得 f(x+)= ，设 t=+，则有 f(x+)=f(x)，因此 f(x)是以， 为周期的周期函数。【知识模块
11、】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为sinx周期为 ，故只需在0， 上讨论值域。因为 f(x)=sin(x+ )sinx =cosxsinx，【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由于 f(x)sinxdx 存在，且记为 A，于是可得，f(x)= +A，对等式右边积分作积分变量变换：x=t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0。于是【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (I)证明：必要性：设 (a)=aal f(x)dx 一 0lf(x)dx，由题设 (a)=f(a+l)一 f(a)=0，则 (a)=c(常数) 。
12、设 a=0，则 c=(0)=0，那么 aal f(x)dx=0lf(x)dx。充分性：在 aal f(x)dx=0lf(x)dx 两边对 a 求导，得 f(a+l)一 f(a)=0，故 f(x)以 l为周期。()利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 在上式第 2 项中作变量替换 x= 一 t，即可化为第 1 项，故【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由 f(x)在区间a ，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而F(x)=f(x)cosx 在a， 上连续，由积分中值定理，知存在一点 ca， 使得 F(b)=f(b)cosb= f(x)cosxd
13、x= =F(c)。在c， b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) (a，b)，使 F()=f()cos 一 f()sin=0，即得 f()=f()tan， (a，b)。【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设 F(x)= 0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一 f(x)g(1)， 则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F (x)=g(x)f(x)f (x)g(1)=f(x)g(x)一 g(1)，由于 x0，1时，f (x)0，g (x)0，因此 F(x)0，即 F(x)在0，1 上单调递减。 注意到 F(1)= 01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt
14、 一 f(1)g(1)， 而又因为 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)f(t) 0101f(t)g(t)dt =f(1)g(1)一 01f(t)g(t)dt， 故 F(1)=0。 因此 x0，1时，F(x)F(1)=0，由此可得对任何 a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因为 tt为奇函数，可知其原函数 f(x)=1 xttdt= 1 0ttdt+ 0xttdt 为偶函数，由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1，0) ，(1，0) 。
15、又由 f(x)=xx，可知 x0 时，f (x)0，故f(x)单调减少，因此 f(x)f(一 1)=0(一 1x0)。当 x0 时，f (x)=xx0，故f(x)单调增加，所以当 x0 时，y=f(x)与 x 轴有一交点 (1，0)。综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积 A=1 1f(x) dx=2 1 0f(x)dx。当x0 时，f(x)= 1 xttdt= 1 x 一 t2dt=一 (1+x3)，因此 A=21 0 (1+x3)dx= 。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 已知该曲线过原点，因而 c=0，又当 0x1 时，y0，可知a0，a+b0，于是
16、该曲线在 0x1 上与 x 轴所围成的面积为 01(ax2+bx)dx=，即 a=1 一 b。该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积为V=01y2dx=01(ax2+bx)2dx= ，可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小，a，b 的值应分别是【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 曲线可表示为 x=f(y)= 则其容积为【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 利用微元法，所做功的计算分为两部分：【知识模块】 一元函数积分学
