1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则( )（A）I 1I 2 。（B） I1 I 2。（C） I2I 1（D）I 2 I 1。2 设 f(x)=0x(ecoste cost )dt，则( )（A）f(x)=f(x+2)。（B） f(x)f(x+2)。（C） f(x)f(x+2)。（D）当 x0 时，f(x) f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)。3 设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt。（B） 0xtf(t)+
2、f(一 t)dt。（C） 0xf(t2)dt。（D） 0xf(t)2dt。4 曲线 y=ex sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为 ( )（A） 03ex sinxdx。（B） 03sinxdx。（C） 0sinxdx 一 2ex sinxdx 23ex sinxdx。（D） 02ex sinxdx 一 23ex sinxdx。5 由曲线 y=1 一(x 一 1)2 及直线 y=0 围成图形(如图 133)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( )二、填空题6 =_。7 =_。8 =_。9 已知曲线 y=f(x)过点(0， )，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为 xln(
3、1+x2)，则 f(x)=_。10 =_。11 设 a0，则 I=a a =_。12 0 =_。13 由曲线 y= 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_。14 设无界区域 G 位于曲线 y= (ex +)下方，x 轴上方，则 G 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积为_。15 设曲线的参数方程为 的曲线段的弧长s=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求 。17 设 f(x)是区间0， 上单调、可导的函数，且满足 0f(x)f1 (t)dt=0xt dt，其中 f1 是 f 的反函数，求 f(x)。18 计算 01 dx，其中 f(x)=1x
4、dt。19 设 f(x)连续可导，F(x)= 0xf(t)f(2a 一 t)dt。 证明： F(2a)一 2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)。20 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0f(x)cosxdx=0。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使( 1)=f(2)=0。20 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。21 试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积等于在区间x0，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；22 又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f(x) ，证明(I)中的 x0 是唯一的。22
5、椭球面 S1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转一周而成，圆锥面 S2 是过点(4，0)且与椭圆 =1 相切的直线绕 x 轴旋转一周而成。23 求 S1 及 S2 的方程；24 求 S1 与 S2 之间的立体体积。25 过点(0 ，1)作曲线 L： y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域D 由 L 与直线 AB 围成。求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。26 设有摆线 试求 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积。考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
6、 B【试题解析】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 1。从而，可见有I1I 2，又由 I2 知，应选 B。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意 f(x+2)一 f(x)=xx2 (ecost 一 ecost )dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 f(x+2)一 f(x)= (ecost 一 ecost )dt=20(ecost 一 ecost )dt 一 20(ecos+ecos )d，因此 f(x+2)一 f(x)=0，故选 A。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 易知 f(t)+f(一 t)为偶函
7、数，t 为奇函数，故 tf(t)+f(一 t)为奇函数，由函数及其导函数奇偶性的关系可知，其原函数 0xtf(t)+f(t)dt 必为偶函数。同理可知，A，C 为奇函数，D 无法判断。故选 B。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时 y0，当 x2 时 y0。所以y=ex sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积为 0ex sinxdx 2ex sinxdx 23ex sinxdx。 故选 C。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 按选项，要把曲线表示成 x=x(y)，于是要分成两部分x=1 (0y1)，则 V 是以下
8、两个旋转体的体积之差：V 1=01(1+ )2dy，V 2=01(1 一 )2dy，于是 V=V1 一 V2=01dy，故选 D。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 e2x+x 一 ex+C【试题解析】 令 t=ex+1，则 ex=t 一 1，x=ln(t 一 1)，dx= dt。【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 (1+x2)ln(1+x2)一 1【试题解析】 由题设可知 =xln(1+x2)，且 y(0)= ，则【知识模块】 一元函数积分学1
9、0 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 a2ln3【试题解析】 由题干可知，原式可化为根据定积分的几何意义可得： a 0 a2(半径为 a 的半圆的面积)。所以【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 4ln2【试题解析】 先画图，作出 y=4x 与 y= 的交点(1，4)，直线 y=x 与 y= 的交点(2，2)，由图可知，面积 S 分两块(如图 138)。S=01(4x 一 x)dx+12( 一 x)dx=2 一=4ln2。【知识模块】
10、一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 由题意【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 x(t)=cost，y (t)= sint，因此当t 时，曲线的弧微分为 ds=cottdt。因此，相应的曲线段的弧长为 s= =ln2。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 =一earcsinex 一 lne x +C。【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 在 0f(x)f1 (t)dt=0xt dt 的两边同时对 x 求导得 f1 f(x)f(x)= ，也就是 xf(x)= ，即 f(x)=，两
11、边再分别积分得 f(x)=lnsinx+cosx+C。 (*)将 x=0 代入题中的已知方程可得 0f(0)f1 (t)dt=00t dt=0。由于 f(x)是区间0， 上单调、可导的函数，则 f1 (x)的值域为0 ， ，且为单调非负的，所以 f(0)=0。代入(*)式可得 C=0，故 f(x)=lnsinx+cosx。【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法。其中由题意，f(1)=0，因此【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 F(2a) 一 2F(a)=02af(t)f(2at)dt 一 2f0af(t)f(2a 一 t)dt =一 a2af(t
12、)df(2at)一 0af(t)f(2at)dt =一 f(t)f(2at) a2a+a2af(t)f(2a 一 t)dx0af(t)f(2a 一 t)dt =f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(t)f(2a 一 t)dx0af(t)f(2a 一 t)dt =f2(a)一 f(2a)f(0)+0af(2a 一 )d0af(t)f(2a 一 t)dt =f2(a)f(2a)f(0) 。【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 0=0cosxdx=0cosxdF(x) =F(x)cosx 0+0F(x)si
13、nxdx =0F(x)sinxdx， 所以存在(0， )，使 F()sin=0，不然，则在(0，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 0F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，) 时，sin0，故 F()=0。 由以上证得，存在满足0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0， 再对 F(x)在区间0， ， 上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，) ， 2(，)，使得 F (1)=F(2)=0，且 f(1)=f(2)=0。【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 本题可转化为证明 x0，f(x 0)=x01f(x)dx。令 (x)=一 xx1f(t
14、)dt，则(x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1) 上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x0(0，1)，使得 (x0)=0，即 (x0)=x0f(x0)一 x01f(t)dt=0。 也就是 x0f(x0)=x01f(x)dx。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 F(x)=xf(x)一 x1f(t)dt，且由 f(x) 有 F(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0，即 F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此(I)中的点 x0 是唯一的。【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】
15、由题意得 S1 的方程为 =1。计算得过点(4，0)与，所以 S2 的方程为 y2+z2=【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 设切点坐标为 A(x0，lnx 0)，斜率为 ，因此该点处切线方程为ylnx0= (x 一 x0)，又因为该切线过 B(0，1)，所以 x0=e2，故切线方程为y= +1，切线与 x 轴交点为 (1，0)。因此直线 AB 的方程为 y= (x 一 1)。区域的面积为 旋转一周所围成的体积为【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 这是由参数方程给出的曲线，由于 x()=1 一 cos，y ()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积【知识模块】 一元函数积分学
