1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则有 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 （A） arctan(cos2x)+C（B） arctan(cos2x)+C（C） arctan(一 cos2x)+C（D）3 设 则 f(x)= ( )（A）（B）（C） lnx 一 2ex（D）lnx+2ex4 积分 ( ) 5 积分 ( ) 二、填空题6 已知 是 f(x)的原函数，则7 8 xx(1+lnx)的全体原函数为_9 若 且 x=at+b(a
2、0)，则10 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_11 将 分解为部分分式乘积的形式为_12 设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)=_13 14 函数 的递减区间为_15 已知 f(1)=0，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求17 求不定积分18 已知 f(x)的一个原函数为(1+sin x)lnx，求19 求20 求21 求22 求不定积分23 求积分24 求积分25 计算积分：设 求26 计算积分：已知 求27 计算28 计算 其中29 若 f(x)在( 一，+)上连续，且 试证： f(x)0(一x+)30 判别积分 的敛散性30 设 f(x)为连
3、续函数， 试证明：31 F(x)的奇偶性正好与 f(x)的奇偶性相反；32 若 f(x)为奇函数，则 f(x)的一切原函数均为偶函数；若 f(x)为偶函数，则有且仅有一个原函数为奇函数考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 可得I2I 1 其次， 其中 故 I3I 1，从而I2I 1I 3，故选 (D)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由题中所给式子变形得则在上式两端作1，e上的积分，得
4、 解得故应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=t5，则 dx=6t5dt所以 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 因为 是 f(x)的原函数，所以 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 x x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xx(1+lnx)，所以 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 F(t)+C ，
5、其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是 其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 xlnx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=lnu，由 f(ex)=1+x，得 因此 f(x)=xlnx+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 由因式分解易得： 同项对比系数可得： 故答案如上所填【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 则【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 此极限属 型，用洛必达法则因此 【知识
6、模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 令 f(x)0，即得xe2【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 一 1【试题解析】 用分部积分法 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 方法一 方法二 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 由于 又由于(1+sinx)lnx 为f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sinx)lnx=cosxlnx+ 且故 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】
7、一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 利用表格的形式： 所以 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 有 dx=tdt，于是 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因 x=一(1 一 x)一 1，从而可凑微分法【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 t=x 一 2，则由定积分的分段可加性得， 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 t=x 一 2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得， 【知识模块
8、 一元函数积分学27 【正确答案】 令 则 x=t2，dx=2tdt ，故 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由分部积分法可知 又因为 f(1)=0故 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=Cex，又 f(0)=0，故 f(x)0【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 因为 而 收敛，所以绝对收敛【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 设 f(x)为奇函数， 所以是偶函数 设 f(x)为偶函数， 则 所以 F(x)是奇函数【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 f(x)的一切原函数可以表示成 的形式若 f(x)为奇函数，由上题知 为偶函数，故 都是偶函数 若 f(x)为偶函数，由上题知 为奇函数，f(x)的一切原函数 当且仅当 C=0时为奇函数，故偶函数 f(x)的原函数中仅有一个为奇函数【知识模块】 一元函数积分学
