1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 ( ) 2 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f“(x)0，f(x)0I3=(b-a)f(b)，则 I1，I 2，I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I13 函数 的最小值为 ( )（A）（B）一 1（C） 0（D）4 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )5 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 在(a， b)内的根有 ( )（A）0 个（B）
2、1 个（C） 2 个（D）无穷多个二、填空题6 定积分7 设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 在(0，0)处的切线方程是_8 设 则9 10 设 f(x)为连续函数，且 则 F(x)=_11 12 设 f(x)是连续函数，且 则 f(7)=_13 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 判别积分 的敛散性15 计算16 求不定积分17 设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积18 计算曲线 yln(1 一 x2)上相应于 的一段弧的长度19 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中
3、 a0 且是常数20 设 求21 求不定积分22 计算23 求24 求25 求26 计算27 求28 求28 设曲线 y=ax2(a0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D求29 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)；30 a 的值，使 V(a)为最大考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x) 0，f“(x)0，故 y
4、=f(x)单调递减且图形为凹如图131 所示，I 1 是梯形 ABCD 的面积，I 2 是曲边梯形 ABCD 的面积，I 3 是长方形 A1BCD 的面积由图可知 I3I2I1 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 令得唯一驻点 知 f(x)在处取最小值【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有为奇函数，因为其他原函数与此原函数相差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C) 中被积函数都是偶函数，选项(D)中仅能确定为非负函数，
5、故变上限积分不一定是偶函数应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 令 则 F(x)在a，b上连续，而且 故 F(x)在(a，b)内有根 又所以 F(x)单调递增，它在 (a，b)内最多只有一个根应选(B) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 x2sinx 是奇函数，故在 上的定积分为 0所以 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 y=x【试题解析】 曲线在(0，0)处的切线斜率所以曲线在(0，0)处的切线方程为 y=x【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，则 【知识
6、模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是奇函数，在对称区间一 2，2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式 即知【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(x 3-1)3x2=1， 令 x=2，即得【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ln3【试题解析】 因 是奇函数，因此 所以 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7、骤。14 【正确答案】 而 发散，所以发散【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 根据 k 的取值，分情况讨论： 当 k1 时，即积分收敛； 当k=1 时， 即积分发散； 当k1 时， 即积分发散【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 r()=一 asin， 由对称性得 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 当 x1 时， 当 0x1 时，当 x0 时，因为 f(x)在(一，1)内连续，所以在(一，1) 内存在，因而 在 x=
8、0 处可导、连续，因此有即 C2=一 1+C3，C 3=1+C2 又因 x=1 为f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故 此处的 C1 和 C2 是两个相互独立的常数【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 方法一 方法二 令 则 所以 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 方法一 因为 x2+1 一(x 2+1)2 一 2x2=(x2+ +1)(x2 一 +1)，所以可令 比较系数得 方法二 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 方法一 方法二 于是 所以 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 于是 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 方法一 方法二 用万能代换 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 方法一 令 则 所以 方法二 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由 的交点为 直线 OA 的方程为 旋转体的体积【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 当 a0时，得 V(a)的唯一驻点 a=4；当 0a4 时，V(a) 0；当 a4 时，V(a)0故a=4 为 V(a)的唯一极大值点，为最大值点【知识模块】 一元函数积分学
