1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2，则下列曲线中与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )2 由曲线 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( )3 抛物线 y2=2z 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( )（A）（B） 18（C）（D）84 曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( )（A）（B）（C） 9（D）65 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形的面积是 ( ) 二、填空题6 7 设 f
2、sin2x)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_8 9 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 _10 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围面积为 则 a=_11 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_12 函数 y=lnx 在区间1， e上的平均值为_ 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 计算16 求17 求18 计算19 求积分：20 求积分：21 计算积分： 其中x表示不超过 x 的最大整数22 计算积分：23 求24 设 求25 设函数 x=x(y)由方程
3、x(yx)2=y 所确定，试求不定积分26 设 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，其反函数为 g(x)，若求 f(x)27 计算定积分28 计算定积分29 计算 其中，当 x0 时，f(x)=x，且 30 证明：考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在点(0，1) 处切线为 y=1+2z选项(D)中函数记为y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在点(0，1)处切线方程也为y=1+2x故应选 (D)【知识模块】 一元函数积分
4、学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 选 y 为积分变量，如图 132 所示，两条曲线的交点坐标可由方程组 解得，为 所求面积【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 故弧长【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 当 时，lnx0；当 x1，e 时，lnx0所以面积 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 所以因此 【知识模块】 一元
5、函数积分学8 【正确答案】 sinx【试题解析】 令 x 一 t=u，【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 平面图形面积【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 1【试题解析】 所围面积 所以 a=1【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体体积【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 ln2(tanx)+C 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 lnx=t，则 x=et， 所以 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 设 x=tanu，则 dx=sec2udu，所以 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和dv 令 u=ln(sinx)， 则 于是 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 方法一 设 则 所以 方法二 设 令 x=sect，则 则【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数、偶函数在对称区间上的积分性
7、质简化计算，本题还用到了华里士公式 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由于(x 一 lnx)1 一 lnx，分子分母同时除以 x2，则因 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 u=sin2x，则有 当 时，当 时， 因此有于是 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 yx=t，由题可得(y 一 t)t2=y，故 从而有 由 得 t3 一 3t
8、A(t3+t2 一 t 一1)+B(t2+2t+1)+C(t3 一 t2 一 t+1)+D(t22t+1) =(A+C)t3+(A+BC+D)t2+(一 A+2BC一 2D)tA+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得 解出 所以 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 tx=u，则 dt=du，于是 将等式两边对 x 求导，同时注意到 gf(x)=x，于是有 当 x0 时，有 对上式两端积分，得到 可知由于 f(x)在 x=0 处连续，又 f(0)=0，解得 C=0，于是 f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一 x【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 1 一 x=sint，则 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 方法一 令 x=u 一 t，则于是 当 时，有 所以当 时，有 当 时，有 方法二 令 xt=u，则 当时，有 当 时，有 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 在 上有：2x 一 10； (1+x)(2 一 x)0； 故可知左式一右式0，于是原不等式成立【知识模块】 一元函数积分学
