1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 ( ) 2 设 则当 x0 时，f(x)与 g(x)相比是 ( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ4 若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 的值为 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）65 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 ( )（A）在(a，b)内的图形为凸（B）在 (a， b)内的图形为凹（C）在 (a， b)内有拐点（D）在(a，b)
2、内有间断点二、填空题6 积分7 积分8 已知函数 F(x)的导函数为 且 则 F(x)=_9 10 若 则 f(x)=_11 12 设 f(x)连续，则13 14 设 ，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 证明：15 并由此计算 In；16 17 已知 求积分18 已知 f(x)连续， 求 的值19 计算19 对于实数 x0，定义对数函数 依此定义试证：20 21 ln(xy)=lnx+lny(x0，y0)22 计算23 若 试证：f(0)=024 设函数 f(x)连续，且 已知 f(1)=1，求的值25 设在区间e，e 2上，数 p，q 满足条件 px+qlnx，求
3、使得积分取得最小值时 p，q 的值26 设 xOy 平面上有正方形区域 D=(x，y)|0x1 ，0y1及直线 l：x+y=t(t0) 若S(t)表示正方形区域 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求27 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0试证明： 28 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小29 如图 131 所示，设曲线方程为 梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0，证明： 30 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，
4、并且满足又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小31 计算考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 需要计算 f(x)与 g(x)比值的极限 故当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故 N=0，x 3e
5、x2 是奇函数，故 所以 PNQ【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (x)利用 |xt|的分段性分解变形，有 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是 (D)要讨论其余三个选项，只需求出 (x)，讨论 (x)在(a，b)内的符号即可因 故 y=(x)在(a，b)内的图形为凹应选(B)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8
6、 【正确答案】 【试题解析】 由题意有 故 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 令 t=x2，则 因此 其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 是形如 形式的变上限积分，由知， 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 0【试题解析】 显然 积分难以积出考虑积分中值定理，其中 x 介于 x，x+a 之间所以 【知识模块】 一元函数积分学14
7、【正确答案】 【试题解析】 令 3x+1=t， 可知 所以 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 当 n=2k 时，当n=2k+1 时， 其中【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 由当 时，0tanx1，于是 则 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 当 a0，1 时，当 =1 时，当 =一 1 时， 当 =0 时， 综上， 故 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 x 一 t=u，有 于是 两边对 x 求导，得 在上式中，令 得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案
8、】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 则有 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 t=x，则有 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由分部积分可得 故 递推得 又所以【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因为 所以 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 u=2xt，则 t=2x 一 u，dt=一 du 当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 由已知得 两边对 x 求导，得 即 令 x=1，得故 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 方法一 设直线 y=px+q 与曲线 y=ln
9、x 相切于点(t ，lnt)，则有 于是 I(p,q)=I(p)= (px-lnp-1-lnx)dx= p(e4-e2)-(lnp+1)(e2-e)-e2. 令 得唯一驻点 所以 为极小值点，即最小值点此时 方法二 设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t，lnt)，则有 于是 令 得唯一驻点所以 为极小值点，即最小值点此时【试题解析】 要使 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=lnx 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 P0，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t
10、)的极值点后，再求出 p，q 的值【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由题设知 所以 当0x1 时， 当 1x2 时， 当 x2 时， 因此 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 因为 所以 【试题解析】 积分 对于 A0 收敛，由于 对于 B0，积分 总是存在的，所以对任意 B0，积分 也收敛按定义， 便可计算【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 因为 所以 处的切线 l 方程为 即 所围面积 令得 t=1 又 S“(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由题意可得 故 又 所以【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由题设，当 x0 时， 据此，并由 f(x)在 x=0 处的连续性，得 又由已知条件 即 C=4 一以因此， 旋转体的体积为 令得 a=一 5又 故当 a=一 5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
