1、考研数学二（一元函数积分学）试卷模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在下列等式中，止确的结果是（A）f(x)dx f(x) （B） df(x)f(x)（C） f(x)dxf(x)（D）df(x)dxf(x)2 设函数 f(x)与 g(x)在0 ，1上连续，且 f(x)g(x)，且对任何 c(0，1)（A） （B） （C） （D） 3 设 g(x) 0xf(u)du，其中 则 g(x)在区间(0，2)内（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续4 设 ，其中 f(x)为连续闲数，则 等于（A）a 2 （B） a2f(a) （C） 0（
2、D）不存在5 设 f(x)是连续函数，且 ，则 F(x)等于（A）（B）（C）（D）6 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程在开区间(a，b) 内的根有（A）0 个 （B） 1 个 （C） 2 个 （D）3 个7 设 f(x)，(x)在点 x0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)是 (x)的高阶无穷小，则当 x0 时， 0xf(t)sintdt 是 0xt(t)dt 的（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小 （D）等价无穷小 二、填空题8 已知 f(lnx)1lnx，则 f(x)_9 已知xf(x)dxarcsinxC，则 _10 ，则 01f
3、(x)dx_。11 已知 f(x)的一个原函数为 ln2x，则xf(x)dx _12 已 f(ex)xe x ，且 f(1)0则 f(x)_13 _。14 _。15 _。16 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求 。18 求 。19 求 。20 求不定积分 。21 求不定积分 。22 求不定积分 。23 计算 。24 求 。25 已知 是函数 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx26 求不定积分(arcsinx) 2dx27 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x) ，已知 F(0)1，F(x)0，试求 f(x)28 求 .29 设 .
4、30 假设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0，记 F(x)，证明在(a，b) 内 F(x)031 设 f(x)，g(x) 在区间 a，a(a0) 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)f(x)A(A 为常数) (1)证明 a af(x)g(x)dxA 0ag(x)dx； (2)利用(1)的结论计算定积分 sinxarctane xdx32 设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 试证存在(0， 1)，使 f()f()033 f(x)在区间ab上连续，在(a，b) 内可导，且 ，求证：在(a ，b)内至少存在一点 ，使 f()034 设函数
5、f(x)在(，)内连续，且 F(x) 0x(x2t)f(t)dt，试证： (1)若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数； (2)若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减35 设 f(x)在0，)上连续，单调不减且 f(0)0，试证明函数 F(x)在0，)上连续且单凋不减(其中 n0)36 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 ，k1，证明至少存在一点 (0，1)，使得 f()(1 1 )f()37 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 ，证明：存在一点 (0，1)，使得 f()2f()38 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且 g(x)0
6、利用闭区间上连续函数的性质，证明：存在一点 a，b ，使 abf(x)g(x)f() abg(x)dx39 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)dt abg(t)dt 证明： abxf(x)dxabxg(x)dx40 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)0 ，f(x)0 ，g(x)0证明：对任何 a0，1，有 0ag(x)f(x)dx 01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。考研数学二（一元函数积分学）试卷模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 xe 2C；【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 2lnxln 2xC；【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】
8、 一元函数积分学13 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 ln3；【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函
9、数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 x 2cosx4xsinx6cosxC【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 x.(arcsinx) 2 2xC【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 (e2x arctanex arctane x)C【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 直接求导后利用积分中值定理即得【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 (1)积分的可加性和换元积分法作；(2)【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案
10、】 构造辅助函数 F(x)xf(x)，在区间，1上应用罗尔中值定理【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 对等式左端先用积分中值定理，再用罗尔中值定理【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 (1)利用奇偶函数的定义和定积分的性质；(2)证明 F(x)0【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 在点 x0，验证 再证明 F(x)0【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 作辅助函数为 F(x)xe 1x f(x)再利用积分中值定理和微分中值定理证明【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 作辅助函数为 F(x)xe 1x f(x)利用积分中值定理和微分中值定理【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 利用 f(x)，g(x) 在a，b上连续，证明 在 f(x)的最大值与最小值之间，再由介值定理即得【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 令 F(x)f(x)g(x) ，G(x) axF(t)dt，将积分不等式转化为函数不等式即可【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论【知识模块】 一元函数积分学
